2025-2026学年河南省郑州市巩义市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省郑州市巩义市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2+2iiA.2−2i B.2+2i C.−2−2i D.−2+2i2.已知命题p：∀a∈R，a+1>a；命题q：∃a∈R，a2<2a−1，则(

)A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13A.1 B.2 C.3 D.114.已知双曲线C的两个焦点分别为(0,3)，(0,−3)，点(2A.32 B.3 C.2 D.5.已知椭圆x24+y2m=1(0<m<4)A.−5 B.−3 C.3 D.56.从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀21060270优秀5080130合计260140400某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的110(即去掉最后面那个0)后，代入公式χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dα0.100.050.010.005χ2.7063.8416.6357.879A.该同学的计算方法正确，根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联

B.该同学的计算方法正确，根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联

C.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为χ2≈59.6，根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联

D.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为χ2≈59.6，根据小概率值α=0.017.设A，B是两个随机事件，满足P(A)=13，P(B|A)=14，P(B|AA.112 B.16 C.138.已知函数f(x)=(2x+1)ex−ax在(0,+∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为A.(0,2e) B.(0,4e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中P(A)=35，P(B)=12A.P(B−)=12 B.P(AB10.已知函数f(x)=x2−3x+lnx，则A.f(x)的极小值为−2

B.f(x)有两个零点

C.存在a使得关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根

D.f(x211.高二(2)班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项.记事件A=“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件B=“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则(

)A.五名同学的报名情况共有45种

B.“每个科目都有人报名”的报名情况共有240种

C.“五名同学最终只报了两个科目”的概率是1427

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知X服从参数为0.6的两点分布，则P(X=0)=

．13.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N～(2,σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(2,4)内取值的概率为

14.已知函数f(x)=12x2+lnx−ax在定义域上是增函数，则实数a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某中学运动会男子4×100米接力项目，近10届(第1届到第10届)冠军成绩(单位：秒)依次为：48.1，47.9，47.7，47.5，47.3，47.1，47.1，46.8，46.5，46.2．

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在47.5以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于届数x的经验回归方程为y=−0.2x+b，预测第1216.(本小题15分)

已知二项式(2x+13x)n(n∈N∗)的展开式中常数项为40．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=a(e2x+a)−2x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，18.(本小题17分)

设正整数N≥2，甲、乙两人进行轮流投篮练习(甲先投)，单次投篮甲命中的概率为12，乙命中的概率为13，各次投篮相互独立.约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0分；若连续N次投篮(甲、乙交替)均未投中，则本轮结束，双方各得0分.共进行M轮投篮练习，每轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜.记X为单轮结束时投篮的总次数．

(1)当N=4时，求X的分布列与数学期望E(X)；

(2)设k为正整数，当k<N2−1时，证明：P(X>2k+2|X>2k)=13；

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=asinx−e−x，g(x)=ax−lnxx−ax．

(1)若a=1，证明：当x>0时，f(x)<x−e−x；

(2)若0<a<12，证明：g(x)在(1,+∞)上存在唯一一个零点x0，且x01.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】0.4

13.【答案】0.4

14.【答案】(−∞,2]

15.【答案】极差为1.9，中位数为47.2

740

45.92秒16.【答案】n=5

243

T2=80x17.【答案】当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(−∞,−12lna)上单调递减，f(x)在(−12lna,+∞)上单调递增

由(1)得，当a>0时，f(x)min=f(−12lna)=1+a2+lna，

要证f(x)>2lna+1，即证1+a2+lna>2lna+1，即证a2−lna>0恒成立，

令g(a)=a2−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，

当18.【答案】X的分布列为：X1234P1111数学期望2

根据条件概率公式可知，P(X>2k+2|X>2k)=P(X>2k+2)P(X>2k)．

当k<N2−1，即N>2k+2时，X>2k表示前2k次投篮均未投中，其中甲投篮k次，乙投篮k次，则P(X>2k)=(12)k×(23)k=(13)k19.【答案】证明：当a=1时，f(x)=sinx−e−x，则f(x)−x+e−x=sinx−x，

令q(x)=sinx−x(x>0)，可得q′(x)=cosx−1≤0，

所以函数q(x)在(0,+∞)上单调递减，所以当x>0时，q(x)<q(0)=0，

所以f(x)<x−e−x

证明：由函数g(x)=ax−lnxx−ax，其中0<a<12，且x>1，

可得g′(x)=a−1−lnxx2+ax2=ax2+lnx+a−1x2，

令p(x)=ax2+lnx+a−1，则p′(x)=2ax+1x>0，

所以p(x)在(1,+∞)上单调递增，

因为0<a<12，可得p(1)=2a−1<0，p(e)=ae2+a>0，