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文档简介
07三角函数式的化简与证明高频考点1.三角函数式的化简(1)三角函数式的化简目标:①能求出值的求出值;②三角函数名称尽可能少;③项数尽可能少;④角尽可
能少;⑤次数尽可能低;⑥分母尽可能不含三角函数式;⑦尽可能不带根号.(2)三角函数式化简的方法:①变角:观察角之间的差别与联系,合理对角拆分,化异角为同角,从而正确使用公式.②变名:观察函数名称之间的差异,利用诱导公式、弦切互化、升幂与降幂公式等化异名函数为同名函
数.③变结构:观察式子的结构特征,找到变形的方向,对式子变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,常见的变形方法有通分、常值代换、逆用变形公式、分解与组合、配方与平方等.勘破疑难对于分式,通常将分子、分母均化为积的形式,通过约分进行化简或逆用公式;对于二次根
式,一般需要升幂,注意倍角公式的逆用;对于和式,通常需要降次、消项和逆用公式;对于既含正、余弦,
又含正切的式子,通常切化弦.2.三角函数式的证明(1)无附加条件的恒等式的证明:①从复杂的一边出发,逐步化简为另一边;②证明等式左右两边都能化
简为同一式子;③对等式两边进行等价变形,推导出与原等式等价的恒成立式子,从而证得原等式成立.(2)有附加条件的恒等式的证明:需以条件为抓手,角的关系为核心,先分析已知条件与目标等式的联系,
挖掘隐含的角的数量关系,即优先利用条件消元或统一角,再结合运算结构寻找突破口.常用的方法有
代入消元法、整体代换法、左右归一法等.无论何种类型的三角函数式的证明,解题本质都是从角的差异、三角函数名称的差异及运算结构
的差异入手,通过公式转化消除等式两边的差异,实现“由繁化简、左右统一”的证明目标.典例
(1)已知π<α<
,化简:
+
.(2)证明:
=
.解析
(1)式子中含有根式,考虑借助升幂公式开方,此时需注意角的范围;式子为分式形式,考虑约分消
去公因式.原式=
+
.∵π<α<
,∴
<
<
,∴cos
<0,sin
>0,∴原式=
+
=-
+
=-
cos
.(2)证明:等式左右两边都比较烦琐,考虑用左右归一法进行证明.
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