27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　函数零点中的范围问题

09函数零点中的范围问题疑难点1.已知函数零点的个数或所在区间求参数的取值范围(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.(2)数形结合法:将函数的解析式或方程进行适当变形,转化为图象易画出的函数与一个简单的含参函

数的差,然后在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,把函数零点或方程根的问题转化为两函

数图象的交点问题,再结合函数的单调性、周期性、对称性等性质求参数的取值范围.(3)分离参数法:将参数分离出来,则问题转化为“f(x)=a”型问题,然后利用数形结合法求解或转化为函

数的值域问题求解.2.有关函数零点的代数式的范围问题(1)已知一个或多个函数的零点,求与零点有关的代数式的取值范围:①题目特征:已知函数的零点x0(或多个函数的零点a,b,…),求与零点有关的代数式的取值范围.②解决此类问题的一般步骤:(i)根据函数的单调性与函数零点存在定理确定零点所在的区间,即零点的取值范围.(ii)对于一个函数的零点问题,由零点满足的方程得到等式,通过变形(如指对互化、移项整理)得到等价

关系;对于多个函数的零点问题,可结合函数的性质(如图象的对称性)挖掘零点间的等量关系.(iii)利用上述关系对所求代数式变形,结合函数的单调性、不等式的性质或辅助函数求值域,确定代数

式的取值范围.(2)已知函数值相等的多个自变量,求与多个自变量相关的代数式的取值范围:①题目特征:对于函数f(x),存在互不相等的实数a,b,c,…,使f(a)=f(b)=f(c)=…=t,求与a,b,c,…有关的代数式

的值或取值范围.②解决此类问题的一般步骤:(i)画出函数f(x)的图象,根据两函数图象交点的个数确定直线y=t的位置.(ii)挖掘函数的性质,如对称性和不变性(如定和、定积)等,利用“函数值相等”逆向探究出自变量间的

等量关系.(iii)把所求式转化为关于t或某一交点横坐标的式子,然后由图象确定该交点横坐标的范围.(iv)利用函数的性质或不等式确定代数式的取值范围.典例1

(1)已知x1是函数f(x)=ex+x-2的零点,x2是函数g(x)=e4-x-x+2的零点,则x1+x2的值为

()A.3

B.4

C.5

D.6(2)已知函数f(x)=

若方程f(x)=t有两个不相等的实数解x1,x2,且x1<x2,则

x2-x1的最大值是

()A.5+

B.1+2

+

C.2+

+

D.1+3

(3)已知函数f(x)=

若方程f(x)=a有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则

+x3+x4的取值范围是_______________.

(7,8)

A

B

思路点拨

(1)函数f(x)与g(x)解析式的结构相似,对解析式变形,利用指数函数与一次函数的图象得到

两零点之间的关系.(2)作出f(x)的图象,由方程f(x)=t有两个不相等的实数解结合图象确定实数t的值或取值范围,再通过x1,x2

为f(x)=t的实数解建立方程(组),进而求解.(3)作出f(x)的图象,由图象直观得到4个不同根的范围及x3,x4的等量关系,代入代数式中,变形求解.解析

(1)易知f(x)=ex+x-2在R上单调递增,所以x1为f(x)唯一的零点.令f(x)=0,得ex+x-2=0,即ex=2-x,则x1为函数y=ex的图象与直线y=2-x交点的横坐标.设函数y=ex的图象与直线y=2-x的交点为A.同理,得x2为g(x)唯一的零点,且x2为函数y=e4-x的图象与直线y=x-2交点的横坐标.设函数y=e4-x的图象与直线y=x-2的交点为B.在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex,y=2-x,y=e4-x,y=x-2的图象,如图所示.

由图可知y=ex与y=e4-x的图象关于直线x=2对称,y=2-x与y=x-2的图象关于直线x=2对称,所以A,B两点关于直线x=2对称,所以x1+x2=4.(2)作出函数f(x)的图象,如图所示.

因为方程f(x)=t有两个不相等的实数解x1,x2,所以t=4或t=0或

≤t≤3.①当t=4时,令

(x+1)2=4,得x=-2

-1或x=2

-1(舍去),令-(x-1)2+4=4,得x=1(二重根),又x1<x2,故x1=-2

-1,x2=1,则

x2-x1=

+2

+1=3

+1.②当t=0时,结合图可知,x1=-1,x2=3,则

x2-x1=3

+1.③当

≤t≤3时,因为x1,x2为方程f(x)=t的两个不相等的实数解,且x1<x2,所以x1<0,x2>0.所以

所以

所以

x2-x1=

+

+

+1≤2

+

+1((

)2+(

)2=8,是定值,所以可用基本不等式求最值)=5+

,当且仅当

=

,即t=2时,等号成立.因为5+

>3

+1,所以

x2-x1的最大值为5+

.(3)作出直线y=a和函数f(x)=

的图象,如图所示:

由图可得2<x3<3<x4<4,根据二次函数图象的对称性知x3+x4=6,因为|log2x1|=|log2x2|=a,所以-log2x1=log2x2,即log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0,所以x1x2=1,所以

+x3+x4=6+

=6+

=5+

,因为2<x3<3,所以

∈

,所以5+

∈(7,8),所以

+x3+x4的取值范围是(7,8).名师点拨对于函数的零点、方程根的问题通常要用数形结合的思想,通过画出相应函数的图象,将问

题转化为函数图象的交点问题求解,因此,画图象时要规范、准确,尤其要注意端点值间的大小关系.典例2

(1)已知函数f(x)=

若方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根,则实数m的取值范围是_________________.(2)已知函数f(x)=

若f(f(x))=a有5个不同的实数根,则实数a的取值范围是_______________.

(ln2+2,3]

(-∞,-1)

解析

(1)令t=f(x),则方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0即2t2+3mt+1=0.作出直线y=t和函数y=f(x)的图象,如图所示:

由图可知,当t<0时,方程t=f(x)有1个根;当t=0时,方程t=f(x)有3个不同的根;当0<t<1时,方程t=f(x)有4个不同的根;当t=1时,方程t=f(x)有3个不同的根;当t>1时,方程t=f(x)有2个不同的根.要使关于x的方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根,则方程2t2+3mt+1=0有两个不同的根,不妨设为t1,t2(t1<t2),则0<t1<1,t2>1,或t1=0,t2=1.由根与系数的关系得t1t2=

,故t1=0,t2=1不满足,舍去.若0<t1<1,t2>1,结合函数y=2t2+3mt+1的图象得2+3m+1<0,解得m<-1.故实数m的取值范围是(-∞,-1).(2)令f(x)=t,本题转化为

中x的解的个数为5.易知f(0)=3,f(1)=2,当x>0时,令|lnx|+2=3,解得x=e-1或x=e,当x≤0时,令3-x2=2,解得x=-1(正值舍去),作出f(x)的图象,如图所示.

当a>3时,f(t)=a有2个不同的实数根,不妨设为t1,t2(t1<t2),则0<t1<e-1,t2>e,则f(x)=t1有1个实数根,当e<t2≤3时,f(x)=t2有3个不同的实数根,当t2>3时,f(x)=t2有2个不同的实数根,故共有3个或4个不同的实数根,不合题意,故舍去.当2<a≤3时,f(t)=a有3个不同的实数根,不妨设为t3,t4,t5(t3<t4<t5),则-1<t3≤0,e-1≤t4<1,1<t5≤e,f(x)=t3有1个实数根,f(x)=t4有1个实数根,当1<t5<2时,f(x)=t5有1个实数根,此时共有3个不同的实数根,不合题意;当t5=2时,f(x)=t5有2个不同的实数根,此时共有4个不同的实数根,不合题意;当2<t5≤e时,f(x)=t5有3个不同的实数根,此时共有5个不同的实数根,满足题意.又f(2)=ln2+2,f(e)=3,所以ln2+2<a≤3.当a=2时,f(t)=a有2个不同的实数根,不妨设为t6,t7(t6<t7),则t6=-1,t7=1,f(x)=t6有1个实数根,f(x)=t7有1个实数根,此时共有2个不同的实数根,不合题意,舍去.当a<2时,f(t)=a有1个实数根,且这个根小于-1,此时f(x)=t有1个实数根,故共有1个实数根,不合题意,舍去.