27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第五章 三角函数式的求值

06三角函数式的求值高频考点1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1;tan2α=

.知识拓展

二倍角公式的有关变形:(1)1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(2)升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)降幂公式:cos2α=

(1+cos2α);sin2α=

(1-cos2α).(4)万能公式:sin2α=

,cos2α=

.3.半角公式:sin

=±

;cos

=±

;tan

=±

=

=

.注:公式中的正负号不能直接去掉,要根据

的终边所在象限决定.4.积化和差、和差化积公式积化和差和差化积sinαcosβ=

[sin(α+β)+sin(α-β)];cosαsinβ=

[sin(α+β)-sin(α-β)];cosαcosβ=

[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-

[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin

cos

;sinθ-sinφ=2cos

sin

;cosθ+cosφ=2cos

cos

;cosθ-cosφ=-2sin

sin

名师点津

在应用和差化积公式时,必须是一次同名(正切除外)三角函数进行加减.若是异名,必须使用

诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.此外,还可以通过理解公式背后的原理,结

合题目训练,不断加深理解和记忆.5.辅助角公式:对于非零实数a,b,有asinx+bcosx=

sin(x+φ),其中tanφ=

,或asinx+bcosx=

cos(x-γ),其中tanγ=

.1.给角求值问题给角求值问题中给出的角一般是非特殊角,求解时,先观察并分析所给角与特殊角之间的关系、分

析函数名称之间的关系(如:弦切互化),然后通过公式的正用、逆用、变形用,使得式子中的角以及式子

的结构发生变化,从而达到简化计算的目的,通常有以下三种思路:①当式子中出现

,1,

,

等值时,将其化为某个特殊角的三角函数值;②通过角的拆分(如:75°拆为30°和45°)、合并或诱导公式变换,使式

子中出现可消去的正负项,简化运算;③借助公式变形构造出分子与分母中可约分的项,简化式子.2.给值求值问题给值求值问题一般是已知某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,求解时,应先分析已知

角与所求角之间的关系,再考虑三角函数名称的联系,最后选择合适的公式求值.其中,将所求角用已知角表示(角的代换)是解题的关键,当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式或

者和或差的二倍形式;当已知角有一个时,应观察所求角与已知角的和、差是不是特殊角或两者是否存

在倍数关系,然后应用诱导公式、和差角公式、倍角公式等求解.3.给值求角问题给值求角问题一般是已知某些角的三角函数值,求相关角的大小,求解时,通常转化为“给值求

值”问题,即通过求所求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).在选取函数时,要遵循以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,若角的范围是

,则选正、余弦函数均可;若角的范围是(0,π)或(π,2π),则选余弦函数;若角的范围是

或

,则选正弦函数.技巧点拨1.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ即为正用,sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)即为逆用.2.tan(α+β)=

可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),1-tanαtanβ=

等.勘破疑难常用的角的代换:(1)单角化复角:α=(α+β)-β=β-(β-α)=

[(α+β)+(α-β)]=

[(α+β)-(β-α)].(2)单角化倍角:α=2×

.(3)倍角化复角:2α=(α+β)+(α-β).(4)复角化复角:α+β=(2α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α,

=

-

.特别提醒根据求得的函数值无法唯一确定角的大小时,应根据已知中角的范围和三角函数值符号把所求角作相

对精确的估计,以排除多余的解.典例

(1)若角α,β满足sinα=

,cosβ=-

,且-

<α<

,0<β<π,则α+

的大小为

()A.

B.

C.

D.

(2)(多选题)下列式子中正确的是

(

)A.

tan10°=2B.

=-

C.

=

ACD

C

D.2cos10°-

=-

(3)已知α,β∈(0,π),且cosα=

,sin(α+β)=

,则cosβ=

()A.

B.-

C.

D.-

B

解析

(1)因为sinα=

>0,且-

<α<

,所以0<α<

,cosα=

.因为cosβ=-

<0,且0<β<π,所以

<β<π,所以

<

<

,故

<α+

<π.已知cosβ的值,需求cos

,sin

的值,考虑用升幂公式求解.cosβ=2cos2

-1=1-2sin2

=-

,所以cos

=

,sin

=

.所以cos

=cosαcos

-sinαsin

=

×

-

×

=-

.因为

<α+

<π,所以α+

=

.(2)对于A,

tan10°=

×tan10°=2×

×tan10°=2,故A正确.对于B,

=

=tan

=tan

=-

,故B错误.对于C,

=

=

=

=

,故C正确.对于D,2cos10°-

=2cos10°-

=

=

=

=-

,故D正确.(3)已知角与未知角的联系:β=(α+β)-α(用已知表示未知),然后用两角差的余弦公式:cosβ=cos[(α+β)-α]=

cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα求解.因为cosα=

,且α∈(0,π),所以sinα=

=

=

.由α,β∈(0,π)得α+β∈(0,2π),由此范围不能确定cos(α+β)的符号,下面需缩小角的范围以确定cos(α+β)的

符号.因为α∈(0,π),且cosα=

∈

,所以α∈

,又β∈(0,π),所以α+β∈

.因为sin(α+β)=

∈

,所以α+β∈

,所以cos(α+β)=-

=-

.所以cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-

×