27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第五章 三角函数的图象及其应用

08三角函数的图象及其应用重难点1.三角函数图象的作法(1)“五点法”作正弦型、余弦型函数的图象:作形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的函数图象时,可采用“五点法”,将ωx+φ视为一个

整体,令其分别取0,

,π,

,2π,解出对应的x,并计算函数值y,然后描点连线得到一个周期内的图象,最后结合函数的周期性向左右延伸,得到完整的函数图象.函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)中,x与

y的对应关系如表所示.ωx+φ0

π

2πx-

y=Asin(ωx+φ)0A0-A0y=Acos(ωx+φ)A0-A0A(2)“三点两线法”作正切型函数的图象:作形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的函数图象时,可采用“三点两线法”,将ωx+φ视为一个整体,令其分

别取-

和

,解出对应的x,得到一个周期内的两条渐近线;再令其分别取-

,0,

,解出对应的x,并计算函数值y(即-A,0,A),得到一个周期内的三个关键点,然后在两条渐近线之间描点连线,画出一个周期内的图

象,最后结合函数的周期性向左右延伸,得到完整的函数图象.2.三角函数图象的变换一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以由y=sinx的图象经过平移变换和伸缩变换得

到.在图象变换中要注意变换的次序:可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移(如图所示),但是两种变

换次序中,平移的量一般是不同的.

3.三角函数图象的应用(1)利用三角函数的图象解三角不等式(以sin(ωx+φ)>a(ω≠0)为例):

(2)利用三角函数的图象解决方程解的问题:对于同时含有三角函数与幂函数、指数函数、对数函数等初等函数的方程,通常无法通过代数变

形直接求得精确解,此时可将方程等价变形为“三角函数=其他函数”的形式,构造两个函数,在同一平

面直角坐标系中画出它们的图象,通过观察图象交点的个数、横坐标的范围,得出方程解的数量、近似解或解的分布规律.4.由图象确定y=Asin(ωx+φ)+b的解析式(1)A,b的确定:一般由图象上的最高点、最低点的纵坐标(分别记为M,m)来确定,即

则

(2)ω的确定:因为T=

,所以常通过周期T来确定ω.(3)φ的确定:①代入法,把图象上的已知点的坐标代入函数解析式,求得φ;②五点对应法,以“五点法”中

点的序号与式子的对应关系作为突破口来确定φ,其中,点的序号与式子的对应关系如下:序号图象情况对应关系第一点图象上升时与x轴的交点ωx+φ=0第二点图象的“峰点”ωx+φ=

第三点图象下降时与x轴的交点ωx+φ=π第四点图象的“谷点”ωx+φ=

第五点图象第二次上升时与x轴的交点ωx+φ=2π特别提醒1.连接关键点时要用平滑的曲线,而不能用折线.2.画正切型函数图象的渐近线时要用虚线,不能用实线.3.若要求画出给定区间内的函数图象,应适当调整ωx+φ的取值,使x落在给定的区间内.方法点拨对于不同名三角函数的图象变换,要先用诱导公式化为同名三角函数,且化完后应保证x的系数正负一

致,再进行图象的平移、伸缩变换.勘破疑难1.由复杂函数的图象变换为简单函数的图象,可采用逆向思维.2.由复杂函数的图象变换为复杂函数的图象,可利用“换元法”求解.如:由函数y=sin

2x+

的图象变换得到函数y=sin

的图象,可将原函数中的x换为x+φ,则2(x+φ)+

=2x+2φ+

=2x-

,解得φ=-

,即将y=sin

2x+

中的x换为x-

,所以函数y=sin

的图象向右平移

个单位长度可得到函数y=sin

2x-

的图象.特别提醒1.当题目中已知最值点时,最好使用最值点,可减少出错几率.2.在利用“五点对应法”确定第几点时,需结合点所在的单调区间,确定图象“上升”还是“下降”.3.在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过周期进行转化.典例1

(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)

A>0,ω>0,|φ|<

的部分图象如图所示,且阴影部分的面积为4π,则下列说法正确的有

(

)A.函数f(x)的最小正周期为πB.直线x=

为函数f(x)图象的一条对称轴C.要得到函数g(x)=2sin

的图象,需将函数f(x)的图象向右平移

个单位长度

ABD

D.函数f(x)在区间

上单调递增解析由题图得A=2.过点B作BN⊥CD,垂足为N,过点E作EM⊥CD,交CD的延长线于点M.如图,

由图象的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形MNBE的面积,即4BE=4π,解得BE=π,所以函数f(x)的最小

正周期为π,故A正确.结合A中结果,得T=

=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).又函数f(x)的图象过点(0,1),所以f(0)=2sinφ=1,解得sinφ=

.又|φ|<

,所以φ=

,所以f(x)=2sin

.所以f

=2sin

=-2,为最小值,所以直线x=

为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确.对于C,解法一:将函数f(x)的图象向右平移

个单位长度,得到y=2sin

=2sin

2x-

=-2cos2x的图象,故C错误.解法二:g(x)=2sin

=2sin

2

+

,所以需将函数f(x)的图象向右平移

个单位长度,故C错误.对于D,当x∈

时,2x+

∈

,因为y=sinx在

上单调递增,且

⊆

,所以函数f(x)在区间

上单调递增,故D正确.易错警示在三角函数图象的变换问题中,要弄清变换的方向,即变换的是哪个函数图象,得到的是哪

个函数图象,切不可弄错.典例2

(1)方程sinx+2|sinx|-|log2x|=0的解的个数为___________.(2)已知函数f(x)=2sin

,x∈

,则不等式[f(x)]2-(

+1)f(x)+

≤0的解集为___________________.

∪

4

解析

(1)构造出易于作出函数图象的两个函数,将方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问

题.由方程sinx+2|sinx|-|log2x|=0,得sinx+2|sinx|=|log2x|.令f(x)=sinx+2|sinx|,g(x)=|log2x|.在同一平面直角坐标系中作出f(x)=sinx+2|sinx|和g(x)=|log2x|在(0,+∞)上的部分图象,如图所示,

由图知f(x)与g(x)的图象有4个交点,故原方程有4个解.(2)由[f(x)]2-(

+1)f(x)+

≤0,得[f(x)-1]·[f(x)-

]≤0,解得1≤f(x)≤

,即1≤2sin

≤

,所以

≤sin

≤

.令t=2x-

,则

≤sint≤

.在同一平面直角坐标系中作出函数y=sint的部分图象和直线y=

,y=

,如图所示.

由图可得

+2kπ≤t≤

+2kπ,k∈Z或

+2kπ≤t≤

+2kπ,k∈Z,即

+2kπ≤2x-

≤

+2kπ,k∈Z或