2026年苏教版高中数学第9章函数图像与性质练习

2026年苏教版高中数学第9章函数图像与性质练习考核对象：高中二年级学生题型分值分布：-单项选择题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（8题，每题2分，共16分）-应用题（8题，每题4分，共24分）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最小值是-1，则下列说法正确的是（）A.f(x)在x=π/4处取得最小值B.f(x)在x=π/2处取得最小值C.f(x)的最小值出现在x=π/6处D.f(x)的最小值无法确定，因为sin(x)和cos(2x)的周期性导致多个最小值点解析：f(x)=sin(x)+cos(2x)，其中cos(2x)=1-2sin²(x)，代入得f(x)=sin(x)+1-2sin²(x)=-2sin²(x)+sin(x)+1。令t=sin(x)，则f(t)=-2t²+t+1，对称轴为t=-b/4a=1/4。由于sin(x)∈[-1,1]，当t=1/4时，f(t)取得最大值；当t=-1时，f(t)取得最小值-1。在[0,π]上，sin(x)=-1时x=π，但此时f(x)=0，故最小值不在x=π处。通过计算得知，f(x)在x=π/2时取得最小值-1（sin(π/2)=1，cos(π)=-1，f(π/2)=1-1=0），选项B正确。2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的图像是一条折线，其拐点对应的x坐标是（）A.-1B.0C.1D.-2解析：|x-1|+|x+1|分段为：-当x<-1时，g(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；-当-1≤x≤1时，g(x)=-(x-1)+(x+1)=2；-当x>1时，g(x)=(x-1)+(x+1)=2x。拐点出现在分段点x=-1和x=1处，其中x=0处为最值点但非拐点，选项A和C正确。3.若函数h(x)=ax²+bx+c的图像开口向上且过点(1,0)，h(x)>0的解集为(1,3)，则b的值是（）A.-4B.2C.-2D.4解析：开口向上说明a>0，解集(1,3)对应方程ax²+bx+c=0的根为x₁=1，x₂=3。根据韦达定理：x₁+x₂=-b/a=4，x₁x₂=c/a=3。代入x₁=1得c/a=3，即c=3a。又因为h(1)=a(1)²+b(1)+c=0，即a+b+3a=0，解得b=-4a。由于a>0，b<0，选项A正确。4.函数k(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.RD.(-1,1)解析：x²-2x+1=(x-1)²≥0，当且仅当x=1时取等号。对数函数的真数必须大于0，故x≠1。定义域为x∈R且x≠1，即(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)，选项D正确。5.函数m(x)=sin(x)cos(x)-cos²(x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.1/2π解析：m(x)=sin(x)cos(x)-cos²(x)=1/2sin(2x)-1/2(1+cos(2x))=1/2sin(2x)-1/2-1/2cos(2x)。由于sin(2x)和cos(2x)的周期均为π，m(x)的最小正周期为π，选项A正确。6.函数n(x)=2^x-x³在区间(0,1)上的单调性是（）A.严格递增B.严格递减C.先增后减D.无法确定解析：n'(x)=2^xln(2)-3x²。在(0,1)上，2^xln(2)∈(0,ln(4))≈(0,1.386)，3x²∈(0,3)。当x∈(0,ln(2)/3)时，n'(x)>0；当x∈(ln(2)/3,1)时，n'(x)<0。因此n(x)在(0,ln(2)/3)上递增，在(ln(2)/3,1)上递减，选项C正确。7.函数p(x)=tan(x)+cot(x)的最小正周期是（）A.πB.π/2C.2πD.1解析：tan(x)和cot(x)的周期均为π，因此p(x)的最小正周期为π，选项A正确。8.函数q(x)=|sin(x)|+|cos(x)|的值域是（）A.[1,√2]B.[0,√2]C.[0,1]D.[√2/2,1]解析：|sin(x)|+|cos(x)|≥|sin(x)+cos(x)|=√(sin²(x)+cos²(x)+2sin(x)cos(x))=√(1+2sin(x)cos(x))≥√1=1。当sin(x)=cos(x)=√2/2时，|sin(x)|+|cos(x)|=√2。值域为[1,√2]，选项A正确。9.函数r(x)=3^x+3^-x的最小值是（）A.2B.3C.6D.1解析：令t=3^x，则t>0，r(t)=t+1/t≥2√(t•1/t)=2。当t=1时取等号，即x=0时取得最小值2，选项A正确。10.函数s(x)=sin(x)+cos(x)的图像关于直线x=π/4对称，则下列说法正确的是（）A.s(π/4)是最大值B.s(π/2)是最大值C.s(x)的周期为πD.s(x)的对称轴为x=π/4解析：s(x)=√2sin(x+π/4)，图像关于x=π/4对称，因此对称轴为x=π/4，选项D正确。---二、填空题（每题2分，共20分）1.函数t(x)=cos(2x)-2sin(x)在区间[0,2π]上的最大值是_________。参考答案：3解析：令u=sin(x)，则t(x)=1-2u²-2u=-2(u+1/2)²+3。对称轴u=-1/2，但sin(x)∈[-1,1]，故当u=-1时取得最大值3，即x=3π/2时。2.函数v(x)=|x-1|+|x+1|-|x|的图像是一条折线，其拐点个数为_________。参考答案：2解析：分段为：-x<-1时，v(x)=-x-1-x=-2x-1；--1≤x≤1时，v(x)=-x+1-x=-2x+1；-x>1时，v(x)=x-1+x+1-x=x。拐点出现在x=-1和x=1处，共2个。3.函数w(x)=ax³-3x+1在x=1处取得极值，则a的值是_________。参考答案：-2解析：w'(x)=3ax²-3，令x=1得3a(1)²-3=0，解得a=1。但题目要求极值，需w''(1)≠0，w''(x)=6ax，w''(1)=6a≠0，故a=-2。4.函数z(x)=log₅(x²-3x+2)的定义域为_________。参考答案：(1,2)解析：x²-3x+2=(x-1)(x-2)>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)，但需排除x=1和x=2，故定义域为(1,2)。5.函数y(x)=sin(x)cos(x)+sin²(x)的最小正周期是_________。参考答案：π解析：y(x)=1/2sin(2x)+1/2(1-cos(2x))=1/2sin(2x)+1/2-1/2cos(2x)，周期为π。6.函数u(x)=2^x+2^-x的最小值是_________。参考答案：2解析：令t=2^x，则t>0，u(t)=t+1/t≥2，当t=1时取等号，即x=0时取得最小值2。7.函数p(x)=tan(x)-cot(x)的图像关于点_________对称。参考答案：(π/4,0)解析：p(π/4)=1-1=0，且tan(x)-cot(x)=2sin(2x)/sin(2x)=2sin(2x)/cos(2x)，对称中心为(π/4,0)。8.函数q(x)=|sin(x)|-|cos(x)|的值域是_________。参考答案：[-√2/2,√2/2]解析：|sin(x)|-|cos(x)|∈[-√2/2,√2/2]，当sin(x)=√2/2，cos(x)=-√2/2时取得最大值√2/2。9.函数r(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上的最大值是_________。参考答案：√2解析：r(x)=√2sin(x+π/4)，在x=π/4时取得最大值√2。10.函数s(x)=cos²(x)-sin²(x)的图像与x轴的交点个数为_________。参考答案：5解析：s(x)=cos(2x)，在[0,π]上交点为x=0,π/2,π，在[0,2π]上共5个交点。---三、判断题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上单调递减。参考答案：×解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，在[0,π/4]上递增，在[π/4,3π/4]上递减，在[3π/4,π]上递增。2.函数g(x)=|x|+|x-1|的图像是一条折线，且拐点为x=1/2。参考答案：×解析：g(x)分段为：-x<0时，g(x)=-x-(x-1)=-2x+1；-0≤x≤1时，g(x)=x+(x-1)=2x-1；-x>1时，g(x)=x+(x-1)=2x-1。拐点为x=0和x=1，x=1/2不是拐点。3.函数h(x)=2^x-x³在区间(1,2)上存在零点。参考答案：√解析：h(1)=2-1=1，h(2)=4-8=-4，h(x)连续且异号，由介值定理存在零点。4.函数k(x)=tan(x)+cot(x)在区间(0,π/2)上严格递增。参考答案：×解析：k(x)=2csc(2x)，在(0,π/2)上单调递减。5.函数m(x)=log₃(x²-2x+1)在R上处处有定义。参考答案：×解析：x²-2x+1=(x-1)²，当x=1时真数为0，无定义。6.函数n(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期是π。参考答案：√解析：n(x)=1/2sin(2x)，周期为π。7.函数p(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于y轴对称。参考答案：×解析：图像关于x=0对称，但非y轴。8.函数q(x)=cos²(x)-sin²(x)在区间[0,2π]上有4个零点。参考答案：√解析：q(x)=cos(2x)，在[0,2π]上交点为x=0,π/2,π,3π/2,2π，共5个零点。9.函数r(x)=2^x+2^-x在区间(-∞,0)上严格递减。参考答案：×解析：r(x)在(-∞,0)上单调递增。10.函数s(x)=tan(x)-cot(x)在区间(0,π)上存在唯一零点。参考答案：√解析：s(x)=2sin(2x)/sin(2x)，在x=π/4时取得唯一零点。---四、简答题（每题2分，共16分）1.已知函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)，其最小正周期为π，求ω的值。解：f(x)=√2sin(ωx+π/4)，周期为2π/ω=π，解得ω=2。2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的图像是一条折线，求其拐点坐标。解：拐点为分段点x=-1和x=1，对应拐点坐标为(-1,2)和(1,2)。3.函数h(x)=ax²+bx+c的图像过点(0,1)，且开口向上，对称轴为x=1，求a,b,c的关系。解：由对称轴x=-b/2a=1得b=-2a，过点(0,1)得c=1，故a>0,b=-2a,c=1。4.函数k(x)=log₅(x²-3x+2)，求其定义域。解：x²-3x+2>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。5.函数m(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期是多少？解：m(x)=1/2sin(2x)，周期为π。6.函数n(x)=2^x+2^-x的最小值是多少？解：令t=2^x，则n(t)=t+1/t≥2，当t=1时取等号，最小值为2。7.函数p(x)=tan(x)-cot(x)的图像关于哪个点对称？解：p(π/4)=0，对称中心为(π/4,0)。8.函数q(x)=|sin(x)|-|cos(x)|的值域是什么？解：值域为[-√2/2,√2/2]，当sin(x)=√2/2，cos(x)=-√2/2时取得最大值√2/2。---五、应用题（每题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)，求其最大值和最小值，并给出取得最值时的x值。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，最大值为√2，当2x+π/4=π/2+2kπ，即x=kπ+π/8；最小值为-√2，当2x+π/4=3π/2+2kπ，即x=kπ+3π/8，k∈Z。2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|-|x|，求其图像与x轴的交点坐标。解：分段为：-x<-1时，g(x)=-2x；--1≤x≤1时，g(x)=2；-x>1时，g(x)=2x-2。交点为(-1,0),(1,0)。3.函数h(x)=ax³-3x+1在x=1处取得极值，求a的值，并判断极值类型。解：h'(x)=3ax²-3，令x=1得3a-3=0，a=1。h''(x)=6ax，h''(1)=6>0，故x=1处取得极小值。4.函数k(x)=log₃(x²-2x+1)，求其定义域，并判断是否为奇函数或偶函数。解：定义域为x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。k(-x)=log₃((-x)²-2(-x)+1)=log₃(x²+2x+1)≠k(x)，非偶函数；k(-x)≠-k(x)，非奇函数。5.函数m(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上的最大值是多少？给出取得最大值时的x值。解：m(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2，当x+π/4=π/2+2kπ，即x=π/4。6.函数n(x)=tan(x)-cot(x)，求其图像的对称中心。解