湖南省湘潭市2026-2027学年高一上学期开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省湘潭市2026-2027学年高一上学期开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DABBDDBAABDAD题号11答案AC1．D【分析】先把的范围表示出来，再结合列举出元素即可.【详解】易知，所以列举法可以表示为．故选：D2．A【分析】由存在量词命题的否定结构即可求解.【详解】“”的否定是，故选：A3．B【分析】确定一元二次方程的系数后计算根的判别式的符号，即可判断方程根的情况.【详解】由题，，因此该方程有两个不相等的实数根.4．B【详解】由图形可知，，，，，⋯，以此类推，.5．D【分析】由判别式为0可得.【详解】由题意得.6．D【分析】由集合中的元素的表示法可知集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合．【详解】集合{（x，y）|y=2x﹣1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合．故选D．【点睛】本题考查了集合的分类，考查了集合中的元素，解答的关键是明确（x，y）表示点，是基础题．7．B【分析】根据题意，得出，再分类和两种情况分别判断各个选项即可．【详解】因为二次函数图像经过点，所以，又，所以，故A错误；当时，，故C错误；，故D错误；当时，，，所以可能成立．8．A【分析】根据正方形性质可推出∽，即可推出为直角三角形，利用直角三角形性质即可判断①，由题意推出≌，即可推出，从而判断②.【详解】连接，由于四边形和均为正方形，故，，且，则，且，可得∽（两边成比例且夹角相等），故，即为直角三角形，又M是的中点，根据直角三角形斜边中线定理，知，结合，得，即，结论①正确；连接，由于，则，结合，则≌,可得，结合，则，又，故三点共线，结论②正确.9．ABD【详解】A、原式，故此选项符合题意；B、原式，故此选项符合题意；C、原式，故此选项不符合题意；D、原式，故此选项符合题意．10．AD【分析】由翻转得到线段和角相等，由点A的坐标得到矩形边长，设，由勾股定理建立方程求得，即可求得，判断A选项；由三角形中角相等得到，即可得到边的关系，求得，判断C选项；从而求得点坐标，由点在反比例函数图象上即可求得，设，由勾股定理列方程即可求得，判断B选项.【详解】如图，作轴于Q，连接，由题意可得，矩形的顶点A的坐标为，∴，，∵点A的对应点D恰好是边的中点，，设，则，在中，，∴，解得，∴，故A正确，符合题意；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，，故C错误，不符合题意；点P落在反比例函数的图象上，，故D正确，符合题意；设，则，∴，即，解得，∴，故B错误，不符合题意；11．AC【分析】根据集合中元素的性质，结合代数式的变形，运算可判断AC，根据特殊值可判断BD.【详解】设奇数为，则可变形为，其中，满足集合中元素的形式，所以所有奇数都是中的元素，故A正确；取偶数，若，则，所以或或或，解得或或或，不满足，故，故B错误；因为，所以设，则，其中，所以，故C正确；取，由A选项知，此时，由B知，故D错误.故选：AC12．【分析】直接解分式不等式即可.【详解】由可得，即，解得.故答案为：13．【分析】法1：将旋转，得到双曲线的渐近线方程为，再由反比例函数是等轴双曲线，结合双曲线的定义，求得，即可求解；法2：将旋转，得到双曲线的渐近线方程为，得出旋转公式，代入函数解析式，即可求解.【详解】法1：由题意，将旋转，相当于渐近线也旋转，即渐近线方程为，又由反比例函数是等轴双曲线，旋转之后与轴的两个交点就是在原坐标系下与的两个交点，即，即两顶点间距离为，所以，因为双曲线为等轴双曲线，可得，所以双曲线的标准方程为．法2：由坐标旋转公式旋转，相当于渐近线也旋转，即渐近线方程为，坐标旋转公式，将，代入得，再代入到中，可得．整理得，所以双曲线的方程为．故答案为：；．14．【分析】在上取点，使，则，求长度即可.【详解】在上取点，使，连接，易得，因，则，则，则，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时最小，因，则，即最小值为．故答案为：15．(1)，；(2)．【分析】（1）首先对方程左边因式分解，即可求出方程的根；（2）按照分式方程解法的一般步骤完成即可.【详解】（1）解：∵，∴，即或，解得：，；（2）解：，去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，系数化为，得，检验：当时，，∴原分式方程的解为：．16．(1)400(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根据条形图和扇形统计图中的信息，计算相关比例，进行计算即可.【详解】（1）由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占，家长总人数为人；反对的人数为人.如图所示：（2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：；（3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：.17．(1)，在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，因此等价于(2)证明:反证法：假设中都是偶数，则，其中，两式相加得，即，与矛盾，故假设不成立，则中至少有一个数是奇数.【分析】（1）根据充分条件的定义可得，结合集合间的包含关系计算即可求解；（2）利用反证法直接得证.【详解】（1）因为是的充分条件，所以，当时，，满足；当时，，所以或，综上，是取值集合为，在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，所以的等价变形为.（2）略.18．(1)或(2)【分析】（1）根据分式不等式，移项通分转化，可得答案；（2）根据绝对值的定义，分情况去绝对值，化简不等式，可得答案.【详解】（1）由，即，且，解得或，∴不等式的解集为或.（2）对于，当时，，由，解得；当时，，∴，解得当时，，∴，解得，综上，不等式的解集为.19．(1)因为的定义域为，任取，则，即，所以为上的下凸函数.(2)(3)设，因为，所以，要证，只需证，下证：在上为下凸函数.设，则，下证，即证，即证，化简得，即证又式显然成立，所以成立，在上为下凸函数，则得证.【分析】（1）根据下凸函数的定义分析证明即可；（2）根据上凸函数的定义结合分析求解即可；（3）首先利用分析法，将不等式进行变形，并转化