湖南省株洲市2026-2027学年高二秋季开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省株洲市2026-2027学年高二秋季开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BCBBBDBDACACD题号11答案AD1．B【分析】根据所给边长，分别求出各个三角形的角度，结合题意，分析即可得答案.【详解】选项A：因为，所以此三角形为等腰直角三角形，三个角分别为，不符合题意，故A错误；选项B：因为三边分别为，，，则此三角形为等腰三角形，作底边上的高，如图所示则，，所以，所以，所以，则，符合题意，故B正确；选项C：因为，所以此三角形为直角三角形，最小角正弦值为，即三个角分别为，不符合题意，故C错误；选项D：因为，所以此三角形为直角三角形，最小角的正弦值为，则最小角大于，最大角为，不符合题意，故D错误.故选：B2．C【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离.【详解】已知点和点，则.向量在上的投影长度.先求.再求.所以.根据勾股定理，点到直线的距离.先求.则.故选：C.3．B【分析】由余弦定理，代入数值即可求得的值.【详解】由余弦定理得.故选：B.4．B【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解.【详解】由棱台的体积公式，可得.故选：B.5．B【分析】利用概率的加法公式计算即可.【详解】设数学考试不及格为事件，英语考试不及格为事件.由题意可得因为，所以.故选：B.6．D【分析】根据空间中点线面的位置关系即可求解.【详解】因为为异面直线，，所以与不平行，即与必相交，又，所以直线与与均平行，即直线与和的交线平行，故选：D7．B【分析】依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得.【详解】在锐角中，，则，又，所以，又，所以，所以，所以.故符合题意的只有B.故选：B.8．D【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，则，，，，所以，设，则，因为，所以所以，即，令，当时，；当时，；取，，连接，，，则，，则，，所以，，又，且平面，平面，所以平面，所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为正三角形，故C错误；因此点不可能是棱的中点，故A错误；正三角形边长为，则面积为，故D正确；点轨迹的长度为，故B错误；故选：D9．AC【分析】根据给定条件，利用复数模、复数的乘除法运算，结合复数的概率逐项求解.【详解】对于A，当时，，，A正确；对于B，，无解，B错误；对于C，，由为实数，得，C正确；对于D，，由为纯虚数，得且，解得，D错误.故选：AC10．ACD【分析】利用正弦定理边化角判断A；求出的范围求解判断BC；利用余弦定理及三角形面积公式列式，再借助辅助角公式求出最大值.【详解】对于A，在中，由及正弦定理，得，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，则，因此不可以取，B错误；对于C，由选项B得取最大值，此时，则，C正确；对于D，由余弦定理得，解得，则的面积，而，则，解得，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为3，D正确.故选：ACD11．AD【分析】根据题意，可得，求出b的范围，可判断A的正误；在锐角中，角A，的大小都不确定，即可判断B的正误；化简计算，根据二倍角的正弦公式，即可判断C的正误；根据余弦定理，结合均值不等式，可判断D的正误，即可得答案.【详解】选项A：如图，因为有两解，所以，解得，故A正确；选项B：在锐角中，角A，的大小都不确定，和的大小也无法确定，故B错误；选项C：因为，所以，即，所以或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，故C错误；选项D：由余弦定理得，所以，即，解得，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故D正确.故选：AD.12．0.42/【分析】利用独立事件的乘法公式即可求解.【详解】因为A，B相互独立，所以.故答案为：13．【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案.【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得.则和坐标轴的交点为，.所以，可得的面积为，当且仅当，即等号成立；故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标.14．【分析】由已知可证得平面．则关于平面对称，可得即可得出结果.【详解】如图，连接．因为，都为正三角形，为的中点，所以，，，所以平面．所以关于平面对称，，，当且仅当三点共线时，等号成立，即的最小值为．故答案为：

15．(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用余弦型函数的周期性求得，再利用余弦型函数的单调性求解即可；（2）根据函数图象的变换得到新函数，利用余弦型函数的性质求解即可；（3）根据题意，逐步计算求余弦型函数的值域.【详解】（1）由，得，所以.令，，解得，，所以的单调递减区间为.（2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象.因为的图象关于原点对称，所以，，即，.因为，所以.（3）由，得.则，所以.所以的值域为.16．(1)(2)(3)【分析】（1）利用展开计算；（2）利用公式计算即可；（3）存在实数使，利用系数对应相等列方程组求解.【详解】（1）因为，所以；（2）由（1）知，又，所以，又，所以与的夹角为；（3）因为向量与平行，所以存在实数使，所以，解得.17．(1)证明见解析；(2)(3)存在，，理由见解析.【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）作出二面角的平面角，在中求值；（3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值.【详解】（1）因为底面，所以底面，平面，所以，所以，又，是中点，所以.因为底面，平面，所以，又底面是正方形，所以，，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）因为底面，平面，所以平面⊥底面，过点作，因为平面平面所以平面，过作，连接，则，所以是二面角的平面角.

因为是中点，所以，设，则，所以，所以，即二面角的正切值是.（3）对线段上的点，因为平面，平面，所以，则当时，满足条件.如图，在四边形中，过作，垂足为，交于，则，设，则因为，所以，所以，又，所以所以，又，所以，此时时，，，平面，所以平面，平面，所以平面⊥平面.

18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用对立事件概率公式计算即可；（2）利用对立事件概率公式计算即可；（3）利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.【详解】（1）甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，甲通过第一轮挑战赛的概率为.（2）乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为，乙通过第一轮挑战赛的概率为.（3）甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为.19．(1)当时，，当时，，当时，，(2)（i）②④一定错误，（ii）若选择①，若选择③，【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求，作差可得，分别在条件下确定差的正负，由此可得的大小关系，（2）（i）由条件证明，由不等式性质可求的范围，由此确定一定错误的结论；（ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求，若选①，令，求出的范围，化简，结合二次函数性质求其范围；若选③，令，结合对勾函数性质求的范围，化简，结合二次函数性质求其范围；【详解】（1）猜测全部正确的概率为，猜测全部错误的概率为，因为，所以当时，，当时，，当时，，（2）（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，则，解得，所以，所以，因此，②④一定错误，（ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况：两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为；有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为；两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为；所以，若选择①，令，则，其中，所以，所以，记，，由二次函数的