高考数学备考提优点17抛物线中的阿基米德三角形

抛物线中的阿基米德三角形【知识拓展】设抛物线方程为y2＝2px(p>0),直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线切线,切线相交于点C.由抛物线的弦AB,与过弦AB的端点的两条切线围成的△ABC称为阿基米德三角形(线段AB常称为阿基米德三角形的底边,C称为顶点).阿基米德三角形的常见性质如下:(1)阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴.(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点P(x0,y0),则另一顶点C的轨迹为直线y0y＝p(x＋x0).(3)若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点C的轨迹为准线,且CA⊥CB,CF⊥AB(F为抛物线的焦点),阿基米德三角形的面积的最小值为p2.(4)若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a3(6)点C的坐标为y1y22p,y1＋y22(推论:阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点【类型突破】类型一定点问题例1(2025·西安模拟改编)已知曲线C:y＝x22,D为直线y＝－12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B证明设Dt,−12,A(x1,y1),则x由于y'＝x,所以切线DA的斜率为x1,故y1＋12整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2,y2),同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点0,规律方法1.抛物线的切线方程可用解析法(Δ＝0)求解,但用导数更方便.2.阿基米德三角形的顶点C与底边AB所在直线是极点极线.训练1记曲线C的方程为x2＝4y.设D为直线y＝－2上的动点,过D作C的两条切线,切点分别是E,F.证明:直线EF过定点.证明设D(t,－2),E(x1,y1),F(x2,y2),由y＝14x2,得y'＝x则kDE＝x1则直线DE的方程为y－y1＝x12(x－x1即y－y1＝x12x－将x12＝4y1得x1x－2y1－2y＝0,所以直线DE的方程为x1x－2y1－2y＝0,同理可得直线DF的方程为x2x－2y2－2y＝0.因为D(t,－2)在直线DE上,所以tx1－2y1＋4＝0,又D(t,－2)在直线DF上,所以tx2－2y2＋4＝0,则点E,F的坐标都满足tx－2y＋4＝0,所以直线EF的方程为tx－2y＋4＝0,故直线EF过定点(0,2).类型二轨迹问题例2如图,抛物线E:y2＝2px(p>0)与圆O:x2＋y2＝8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2＝2px,解得p＝1.(2)设Cy122,y1,Dy222,切线l1:y－y1＝kx−代入y2＝2x得ky2－2y＋2y1－ky12由Δ＝0解得k＝1y∴l1方程为y＝1y1x＋同理l2方程为y＝1y2x＋联立y∵CD的方程为x0x＋y0y＝8,其中x0,y0满足x02＋y02＝8,x0∈联立y2＝2x,x0x＋y0y则y代入x＝y1y22,y＝代入x02＋y02＝8得考虑到x0∈[2,22],知x∈[－4,－22].∴动点M的轨迹方程为x28－y2＝1,x∈[－4,－2规律方法1.切点弦变化引起切线交点的变化是常见的轨迹问题.2.寻找切点弦运动的因素与切线交点之间的关系后,常用代入法.训练2(2025·温州调研)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:x2＝2y上的不同两点,过A,B分别作抛物线C的切线,两条切线交于点P(x0,y0).(1)求证:x0是x1与x2的等差中项;(2)若直线AB过定点M(0,1),求证:原点O是△PAB的垂心;(3)在(2)的条件下,求△PAB的重心G的轨迹方程.(1)证明对x2＝2y求导得y'＝x,∴直线PA:y＝x1(x－x1)＋y1,即y＝x1x－x1同理,直线PB:y＝x2x－x2解得x∴x0是x1与x2的等差中项.(2)证明设直线AB:y＝kx＋1,代入x2＝2y整理得x2－2kx－2＝0.∴x∴kOP＝y0x0＝－1k,即kAP＝x1,kOB＝y2x2∴kAPkOB＝12x1x2＝－1∴AP⊥OB,同理BP⊥OA,∴原点O是△PAB的垂心.(3)解设△PAB的重心G(x,y),则x＝13(x1＋x2＋x0)＝ky＝13(y1＋y2＋y0)＝16(x＝16(x1＋x2)2－x1x2＋1∵k∈R,∴点G的轨迹方程为y＝23x2＋1类型三面积问题例3已知点A(－4,4),B(4,4),直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为－2,点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程;(2)Q为直线y＝－1上的动点,过Q作曲线C的切线,切点分别为D,E,求△QDE面积S的最小值.解(1)设M(x,y),由题意可得y−4x＋4－y−4x−4∴曲线C的轨迹方程为x2＝4y且(x≠±4).(2)设Q(m,－1),切线方程为y＋1＝k(x－m),联立y化为x2－4kx＋4(km＋1)＝0,由于直线与抛物线相切可得Δ＝0,即k2－km－1＝0.∴x2－4kx＋4k2＝0,解得x＝2k.可得切点(2k,k2),由k2－km－1＝0.∴k1＋k2＝m,k1·k2＝－1,∴切线QD⊥QE.∴△QDE为直角三角形,S＝12|QD|·|QE令切点(2k,k2)到Q的距离为d,则d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋(km＋2)2＝4(k2－km)＋m2＋k2m2＋4km＋4＝(4＋m2)(k2＋1),∴|QD|＝(4＋m|QE|＝(4＋m∴S＝12(4＋m2)＝12(4＋m2)4＋m2当m＝0时,即Q(0,－1)时,△QDE的面积S取得最小值4.规律方法关于阿基米德三角形面积的性质在选择题、填空题中可直接运用,在解答题中不能直接使用,但能帮助预先得出结果.训练3(2025·济南质检)已知抛物线C:x2＝4y,过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线,A,B是切点.(1)若点N的纵坐标为－2,求证:直线AB恒过定点;(2)若|AB|＝m(m>0),求△ABN面积的最大值(结果用m表示).(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),由y＝14x2得y'＝12则直线NA的方程为y－y1＝x12(x－x1即2(y－y1)＝x1x－4y1,即x1x＝2(y＋y1),同理,直线NB的方程为x2x＝2(y＋y2).又直线NA与直线NB都过N(x0,y0),则x1x0＝2(y0＋y1),x2x0＝2(y0＋y2),从而A(x1,y1),B(x2,y2)均在直线x0x＝2(y0＋y)上,故直线AB的方程为x0x＝2(y0＋y).又y0＝－2,故直线AB的方程为2(y－2)＝x0(x－0),故直线AB过定点(0,2).(2)解联立x得x2－2x0x＋4y0＝0,Δ＝4x02－16y0则x1＋x2＝2x0,x1x2＝4y0,则|AB|＝1＋x024|x1－x2|＝1＋x于是,x02－4y0＝又点N到直线AB的距离d＝|x所以S△ABN＝12·d·|AB|＝12·x02−4y0x02＋4·m＝1则△ABN面积的最大值为m3【精准强化练】一、单选题1.已知点M(1,0),从抛物线x2＝4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA,PB,且A,B为切点,则点M到直线AB的距离的最大值是()A.2 B.3C.2 D.3答案A解析抛物线x2＝4y的准线为y＝－1,则切线弦AB恒过定点(0,1),所以点M到直线AB的距离的最大值d＝(1−0)22.已知抛物线C:y2＝2x和点P−12,1,过C的焦点F且斜率为k的直线l与抛物线C交于A,B两点,若PA·PB＝0A.1 B.3C.2 D.－2答案A解析由题意,F12,0,点P在抛物线的准线上,且PA所以△PAB是阿基米德三角形,从而PF⊥AB,直线PF的斜率kPF＝1−0−1故直线AB的斜率为1.3.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为△PAB,且点P的纵坐标为4,则直线AB的方程为()A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0答案A解析抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x＝－1,因为△PAB为“阿基米德三角形”,所以点P必在抛物线的准线上,所以点P(－1,4),所以直线PF的斜率为4−0−1−1又因为PF⊥AB,所以直线AB的斜率为12所以直线AB的方程为y－0＝12(x－1)即x－2y－1＝0.4.(2025·徐州调研)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,C在A处的切线与C的准线交于P点,连接BP.若|PF|＝3,则1|AFA.49 C.2 D.2答案A解析如图,则有PF⊥AB,PA⊥PB,得|PF|2＝|AF|·|BF|＝9,所以1≥21＝4|AF|·|BF|当且仅当|BF|＝2|AF|时取等号.二、多选题5.(2025·武汉调研)已知抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点F到准线的距离为4,直线l与C交于P,Q两点,且PQ＝2PR,R(4,6),若过点P,Q分别作C的两条切线交于点A,则下列说法正确的是()A.|AF|＝42 B.|PQ|＝12C.PQ⊥AF D.以PQ为直径的圆过点A答案ACD解析抛物线C的焦点F到准线的距离为p＝4,所以抛物线C的方程为x2＝8y,设P(x1,y1),Q(x2,y2),准线方程为y＝－2,由题意知,△APQ为“阿基米德三角形”,可得A点必在抛物线的准线上,又PQ＝2PR可知R为PQ的中点,点A,R所在直线平行于y轴,所以点A的坐标为(4,－2).易知抛物线C的焦点为F(0,2),所以|AF|＝(4−0)2＋(−2−2)2＝42因为直线PQ:y＝x＋2过点F,所以|PQ|＝y1＋y2＋4＝16,B错误;在阿基米德三角形APQ中,PQ⊥AF,故C正确;因为|AR|＝8＝12|PQ|,且R为PQ的中点所以|AR|＝|PR|＝|QR|,因此,以PQ为直径的圆过点A,故D正确.6.(2025·合肥质检)过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A,B两点(A在第一象限),M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N,则下列说法正确的是()A.|AB|的最小值为4B.NF⊥ABC.△NAB面积的最小值为6D.若直线AB的斜率为3,则AF＝3FB答案ABD解析当AB⊥x轴时,|AB|的值最小为2p＝4,由抛物线中的阿基米德三角形的性质可得NF⊥AB,△NAB的面积的最小值为p2＝4,故A,B正确,C错误;若直线AB的斜率为3,设直线AB的倾斜角为α,则cosα＝12此时AF＝λFB,由焦点弦定理得|ecosα|＝λ−1即12＝λ−1|λ＋1|,由于A在第一象限,故λ＝3,故D正确.三、填空题7.已知直线l:y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A,B两点,若|AB|＝8,则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的顶点P的坐标为.

答案(－1,2)或(－1,－2)解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0),准线方程为x＝－1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y2＝4x,y＝k(x−1),得k2x由Δ＝(4＋2k2)2－4k2·k2＝16k2＋16>0,所以x1＋x2＝4＋2k2k2,x1所以|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2k2解得k＝1或k＝－1,当k＝1时,因为PF⊥AB,所以kPF＝－1,所以直线PF的方程为y＝－(x－1),因为P点必在抛物线的准线x＝－1上,所以xP＝－1,所以yP＝－(xP－1)＝－(－1－1)＝2,所以P(－1,2),当k＝－1时,因为PF⊥AB,所以kPF＝1.所以直线PF的方程为y＝x－1,因为P点必在抛物线的准线x＝－1上,所以xP＝－1,所以yP＝xP－1＝－1－1＝－2,所以P(－1,－2),综上,△PAB的顶点P的坐标为(－1,2)或(－1,－2).8.已知抛物线C:x2＝4y,过点P(1,－1)作抛物线C的两条切线,切点分别为A和B,则经过P,A,B三点的圆的方程为.

答案(x－1)2＋y解析由题意,点P在抛物线C的准线上,则PA⊥PB,PF⊥AB,且直线AB过焦点F(0,1),所以经过P,A,B三点的圆就是以AB为直径的圆,直线PF的斜率为−1−11−0＝－2所以直线AB的斜率为12其方程为y＝12x＋1设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y消去y整理得x2－2x－4＝0,故x1＋x2＝2,y1＋y2＝12(x1＋x2)＋2＝3从而AB中点为1,|AB|＝y1＋y2＋2＝5,所以经过P,A,B三点的圆的方程为(x－1)2＋y−四、解答题9.如图,抛物线C1:x2＝4y,C2:x2＝－2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0＝1－2时,切线MA的斜率为－12(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解(1)因为抛物线C1:x2＝4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y'＝x2,且切线MA的斜率为－12,所以A点坐标为故切线MA的方程为y＝－