高考数学备考微专题28随机变量及其分布

微专题28随机变量及其分布高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查,重点考查超几何分布、二项分布及正态分布,选择题、填空题、解答题都有出现,中等难度.【真题体验】1.(2025·天津卷)小桐操场跑圈,一周2次,一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4,小桐一周跑11圈的概率为;若一周至少跑11圈为运动量达标,则连续跑4周,记达标周数为X,则期望E(X)＝.

答案0.63.2解析小桐一周跑11圈的概率p＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6.小桐一周运动量达标的概率p＝1－0.5×0.4＝0.8,显然X服从二项分布B(4,0.8),故E(X)＝4×0.8＝3.2.2.(2025·新高考Ⅰ卷)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)＝.

答案61解析X的所有可能取值为1,2,3,则P(X＝1)＝C5P(X＝2)＝C5215P(X＝3)＝C53×1所以X的分布列为X123P11212所以E(X)＝1×125＋2×1225＋3×3.(2025·北京卷)某次考试中,只有一道单项选择题考查了某个知识点,甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试,为了解学生对该知识点的掌握情况,随机抽查甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据,其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立.用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p;(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名,设X为这2名学生中该题选择正确的人数,估计X＝1的概率及X的数学期望;(3)假设:如果没有掌握该知识点,学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案;如果掌握该知识,甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%,设甲、乙两校的高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1,p2,判断p1与p2的大小(结论不要求证明).解(1)用频率估计概率,从甲校随机抽取1人,做对题目的概率为80100(2)设A为“从甲校抽取1人选择正确”,B为“从乙校抽取1人选择正确”,C为“恰有1人选择正确”,则P(A)＝0.8,P(A)＝0.2,P(B)＝0.75,P(B)＝0.25,故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.35,而X可取0,1,2,P(X＝0)＝P(AB)＝0.05,P(X＝1)＝0.35,P(X＝2)＝0.8×0.75＝0.6,故X的分布列如下表:X012P0.050.350.6故E(X)＝1×0.35＋2×0.6＝1.55.(3)设D为“甲校掌握该知识的学生”,因为甲校学生掌握这个知识点并选择正确的概率为100%,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,故P(D)＋14(1－P(D))＝0.8即p1＋14×(1－p1)＝0.8,故p1＝11同理有0.85p2＋14×(1－p2)＝0.75,故p2＝5故p1<p2.【热点突破】热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则:(1)pi≥0,i＝1,2,…,n;(2)p1＋p2＋…＋pn＝1;(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn;(4)D(X)＝n∑i=1[xi－E(X)]2pi＝E(X2)－[E(X(5)若Y＝aX＋b,则E(Y)＝aE(X)＋b,D(Y)＝a2D(X).例1(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak＋1(k＝1,2,5),a∈R,E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差A.P(0<ξ<3.5)＝2B.E(3ξ＋2)＝7C.D(ξ)＝2D.D(3ξ＋1)＝6(2)已知随机变量X的分布列如表所示:X012Pabb则当D(X)取得最大值时,a的值为()A.14 B.C.58 D.答案(1)C(2)D解析(1)随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak＋1(k＝1,2,由分布列的性质可知,P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝a2＋a3＋对于A,P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝12＋13＝对于B,∵E(ξ)＝1×12＋2×13＋5×1∴E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×2＋2＝8,故B不正确;对于C,D(ξ)＝12×(1－2)2＋13×(2－2)2＋16×(5－2)2＝2,故对于D,∵D(ξ)＝2,∴D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18,故D不正确.(2)由题意得,a＋b＋b2＝1所以a＝1－3b2又E(X)＝0·a＋1·b＋2·b2＝2b所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝02·a＋12·b＋22·b2－4b2＝－4b2＋3b＝－4b故当D(X)取得最大值时,b＝38,代入①得此时a＝1－3规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.训练1(1)(多选)(2025·成都诊断)已知随机变量X的分布列如下,则()X1234P4p3p2ppA.p＝0.2 B.P(X<3)＝0.7C.E(X)＝52 D.D(X(2)(2025·广州调研)设10≤x1<x2<x3<x4<x5≤50,随机变量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值x1＋x22,x2＋x32,x3＋x42,x4＋x52,x5＋A.D(ξ1)<D(ξ2)B.D(ξ1)＝D(ξ2)C.D(ξ1)>D(ξ2)D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系为x1,x2,x3,x4,x5的取值有关答案(1)BD(2)C解析(1)由4p＋3p＋2p＋p＝1,可得p＝0.1,P(X<3)＝4p＋3p＝0.7,E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝2,D(X)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.故A,C错误,B,D正确.(2)由题意得E(ξ1)＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5),E(ξ2)＝0.2×x＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5),故E(ξ1)＝E(ξ2),记x＝E(ξ1)＝E(ξ2),则D(ξ1)＝0.2[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x5－x)2]＝0.2[(x12＋x22＋x32＋x42＋x52＋5x＝0.2(x12＋x同理,D(ξ2)＝0.2x1因为10≤x1<x2<x3<x4<x5≤50,所以x1＋x222<x12＋x222,…,x5＋x即得D(ξ1)>D(ξ2),故选C.热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k,k＝0,1,2,…,E(X)＝np,D(X)＝np(1－p).2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN−Mn−kCNn,k＝m,m＋1,m＋2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m＝max{0,n－N＋M},r＝min{考向1二项分布例2(2025·济南模拟)某公司升级了智能客服系统,在测试时,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为78,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为12.已知输入的问题表达不清晰的概率为(1)求智能客服的回答被采纳的概率;(2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立),设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.解(1)设A＝“智能客服的回答被采纳”,B＝“输入的问题表达不清晰”,依题意,P(B)＝15,P(B)＝4P(A|B)＝12,P(A|B)＝7因此P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)＝15所以智能客服的回答被采纳的概率为45(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B3,P(X＝0)＝C3P(X＝1)＝C3P(X＝2)＝C3P(X＝3)＝C3所以X的分布列为:X0123P1124864数学期望E(X)＝3×45D(X)＝3×45考向2超几何分布例3随着互联网的普及、大数据的驱动,线上线下相结合的新零售时代已全面开启,新零售背景下,即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求,优化自身服务,提高客户满意度,在其A,B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分),评分结果如下:分公司A:66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.分公司B:62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数;(2)规定评分在75分以下的为不满意,从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议,设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.因为20×25%＝5,所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为73＋772(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分,72分;分公司B中75分以下的有62分,70分,73分,所以上述不满意的客户共5人,其中分公司A中2人,分公司B中3人.所以X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C22C31C5P(X＝3)＝C2所以X的分布列为X123P331数学期望E(X)＝1×310＋2×35＋3＝95规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义,写出X可能的全部取值;(2)求X取每个值对应的概率,写出随机变量X的分布列;(3)由均值和方差的计算公式,求得均值E(X),方差D(X);(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如:两点分布、二项分布、超几何分布),可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.训练2(2025·武汉质检)为倡导节能环保,实现废旧资源再利用,小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换,其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶,小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶,他们每次等可能地各取一件玩具进行交换.(1)两人进行一次交换后,求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率;(2)两人进行两次交换后,记X为“小明手中玩偶的个数”,求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)若两人交换的是玩具车,则概率为12若两人交换的是玩偶,则概率为12故两人进行一次交换后,小明仍为2台玩具车和2个玩偶的概率为14(2)X可取的值为0,1,2,3,4,一次交换后,小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为12×12＝14,经过两次交换后P(X＝0)＝14P(X＝1)＝14×14P(X＝2)＝14×34×34P(X＝3)＝14×14P(X＝4)＝14故随机变量X的分布列为X01234P171771∴E(X)＝0×164＋1×732＋2×1732＋3×732热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间:利用3σ原则求概率时,要注意利用μ,σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.例4(1)(2025·长沙雅礼中学调研)巴黎奥运会期间,旅客人数(万人)为随机变量X,且X~N(30,22).记一天中旅客人数不少于26万人的概率为p0,则p0的值约为()(参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683,P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.955,P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997)A.0.9775 B.0.9725C.0.954 D.0.683(2)(多选)(2025·淄博模拟)随机变量X服从正态分布N1,14,令函数f(x)＝P(X≥xA.f(1)＝1B.f(x)是增函数C.f(x)是偶函数D.f(x)的图象关于点1,答案(1)A(2)AD解析(1)因为X~N(30,22),所以μ＝30,σ＝2,所以P(26≤X≤34)＝P(30－2×2≤X≤30＋2×2)≈0.955,根据正态曲线的对称性可得,p0＝P(X≥26)＝P(26≤X≤34)＋P(X>34)≈0.955＋1−0.9552＝0.977(2)对于A,因为X~N1,14,所以f(1)＝P(X≥1)＝12,对于B,x>1,当x增大时,f(x)＝P(X≥x)减少,所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数,故B错误;对于C,f(1)＝P(X≥1)＝12f(－1)＝P(X≥－1)>12,故C错误对于D,若f(x)的图象关于点1,12中心对称,则f(x)＋f(2－因为X服从正态分布N1,14,所以f(x)关于x所以P(X≥x)＝P(X≤2－x),则f(x)＋f(2－x)＝P(X≥x)＋P(X≥2－x)＝P(X≤2－x)＋P(X≥2－x)＝1,故D正确.规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1,注意下面三个结论的活用:(1)对任意的a,有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a).训练3(1)(多选)(2025·蚌埠二模)已知随机变量X~N(3,4),若P(X≥5)＝m,P(1<X<3)＝n,则下列说法正确的是()A.P(1<X<5)＝2n B.m＋n＝1C.E(3X－2)＝9 D.D(3X－1)＝36(2)(2025·常州质检)已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn,随机变量ξ~N(μ,σ2),其正态密度曲线如图所示,若a1a2＝E(ξ)D(ξ),则n的值为答案(1)ABD(2)5解析(1)因为随机变量X~N(3,4),所以P(1<X<5)＝2P(1<X<3)＝2n,故A正确;P(X>3)＝P(X≥5)＋P(3<X<5)＝P(X≥5)＋P(1<X<3)＝m＋n＝12,故B正确随机变量X~N(3,4),所以E(X)＝3,D(X)＝4,所以E(3X－2)＝3E(X)－2＝7,D(3X－1)＝9D(X)＝36,故C错误,D正确.(2)由题图知μ＝1,σ＝12所以E(ξ)＝μ＝1,D(ξ)＝σ2＝14即E(ξ)D(ξ)＝14根据展开式的通项可得,ar＝Cnr2r,r＝0,1,2,…,n(n∈N*则a1a2整理得1n−1＝1【精准强化练】一、单选题1.(2025·九江模拟)新华社北京2024年9月8日电,中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》,由中央文献出版社出版,在全国发行.这部专题文集,收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇.九江市教育局准备了9个相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况,从该校随机抽取了6名教师,每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答,且每个问题被抽取的可能性相等.记X表示抽到问题A的教师人数,则E(X)＝()A.43 C.23 答案D解析由题意知每名教师抽到问题A的概率为C82C93则E(X)＝6×132.(2025·厦门模拟)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X≤a)＝0.3,且P(a≤X≤a＋2)＝0.4,则a＝()A.－1 B.－1C.0 D.1答案C解析由题意知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X≤a)＝0.3,如图所示,结合P(a≤X≤a＋2)＝0.4,得P(X≥a＋2)＝0.3,可知a,a＋2关于x＝1对称,所以a＋a＋2＝2×1,解得a＝0,故选C.3.(2025·唐山模拟)已知随机变量X~N(μ,σ2),若P(X<μ＋σ)＝p,则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝()A.1－p B.2－2pC.p－12 D.2p答案D解析因为X~N(μ,σ2)且P(X<μ＋σ)＝p,所以P(X≥μ＋σ)＝1－p,根据正态密度曲线的对称性,可得P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝1－p,所以P(μ－σ<X<μ＋σ)＝1－P(X≤μ－σ)－P(X≥μ＋σ)＝1－2(1－p)＝2p－1.4.(2025·昆明调研)已知随机变量X的分布列如表所示:X－101P1mn若P(X≤0)＝12,且2X＋Y＝1,则D(YA.2918 B.C.299 D.答案C解析由P(X≤0)＝12,得m＝1n＝1－P(X≤0)＝12则E(X)＝－1×13＋0×16＋1×D(X)＝E(X2)－E2(X)＝1×56＋0×1由2X＋Y＝1,得Y＝1－2X,所以D(Y)＝4D(X)＝2995.(2025·天津和平区模拟)某物理量的测量结果服从正态分布N(2,σ2),下面结论中不正确的是()A.该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5B.该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等C.该物理量在一次测量中落在(1.9,2.2)与落在(2,2.3)的概率相等D.σ越小,该物理量在一次测量中在(1.9,2.1)的概率越大答案C解析对于A,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于2的概率为0.5,故A正确;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于2.02的概率与小于1.98的概率相等,故B正确;对于C,因为正态密度曲线的性质,该物理量测量结果落在(1.9,2)的概率大于落在(2.2,2.3)的概率,所以一次测量结果落在(1.9,2.2)的概率大于落在(2,2.3)的概率,故C错误;对于D,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ＝2附近越集中,所以测量结果落在(1.9,2.1)内的概率越大,故D正确.6.下列命题错误的是()A.若数据x1,x2,x3,…,xn的标准差为s,则数据3x1,3x2,3x3,…,3xn的标准差为3sB.若X~B(4,p),D(X)＝34,则P(X＝2)＝C.若X~N(1,σ2),P(X>0)＝0.75,则P(0<X<2)＝0.5D.若X为取有限个值的离散型随机变量,则[E(X)]2≥E(X2)答案D解析对于A,数据x1,x2,x3,…,xn的标准差为s,则数据3x1,3x2,3x3,…,3xn的标准差为9s2＝3s,故A对于B,X~B(4,p),D(X)＝34则4p(1－p)＝34,得p(1－p)＝3P(X＝2)＝C42p2(1－p)2＝6[p(1－p)]2＝6×3162＝对于C,X~N(1,σ2),P(X>0)＝0.75,则P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2[P(X>0)－P(X>1)]＝2×(0.75－0.5)＝0.5,故C正确;对于D,X为取有限个值的离散型随机变量,则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2≥0,即[E(X)]2≤E(X2),故D错误.7.(2025·重庆诊断)为迎接中秋佳节,某公司开展抽奖活动,规则如下:在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球,每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球,可获得价值a百元代金券;摸到两白球,可获得价值b百元代金券;摸到两红球,可获价值ab百元代金券(a,b均为整数).已知每位员工平均可得5.4百元代金券,则运气最好者至多获得百元代金券.()

A.5.4 B.9C.12 D.18答案D解析摸到一红球一白球的概率p＝C2摸到2个白球的概率p＝C3摸到2个红球的概率p＝C2设可获得百元代金券的价值为变量X,则X＝a,b,ab,其分布列如下:XababP331E(X)＝a×35＋b×310＋ab×110＝5.4,a,b运气最好者获得ab百元代金券.即6a＋3b＋ab＝54,b＝54−6a则ab＝54a−6a2a＋3＝－6a当且仅当a＋3＝36a＋3,即a＝3,b＝6所以ab的最大值为18.故运气最好者至多获得18个百元代金券.二、多选题8.(2025·聊城模拟)将四个不同的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中,每个小球放入各个盒子的可能性都相等,设ξ表示空盒的个数,η表示1号盒子中小球的个数,则()A.每个盒子中恰有1球的概率为1B.事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立C.随机变量η的方差为3D.随机变量ξ的均值为81答案BCD解析对于A,每个盒子中恰有1球的概率为A4444对于B,记事件E:1号是空盒,事件F:2号是空盒,则P(E)＝P(F)＝3444,P(EF所以P(EF)≠P(E)·P(F),故事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立,B正确;对于C,由题意可知η~B4,故D(η)＝4×14×34对于D,由题意可知,随机变量ξ的可能取值有0,1,2,3,则P(ξ＝0)＝332,P(ξ＝1)＝CP(ξ＝2)＝C4P(ξ＝3)＝44因此E(ξ)＝0×332＋1×916＋2×2164＋3×1649.(2025·深圳二模)随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,且X~N(3,1),Y~B6,1A.E(X)＝E(Y) B.D(X)＝D(Y)C.P(X≤1)＝P(X≥5) D.P(Y≤3)>P(X≥4)答案ACD解析对于正态分布X~N(3,1),可得其期望E(X)＝3,D(X)＝1,对于二项分布Y~B6,可得E(Y)＝6×12＝3,D(Y)＝6×1所以E(X)＝E(Y),D(X)<D(Y),故A正确,B错误;由于正态密度曲线具有对称性,由X~N(3,1),可得P(X≤1)＝P(X≥5),故C正确;对于Y~B6,可得P(Y≤3)＝C60120·1−1＝(C60＝1＋6＋15＋2064所以P(X≥4)<P(X≥3)＝12所以P(Y≤3)>P(X≥4),故D正确.三、填空题10.(2025·南阳模拟)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,公司应要求顾客交保险金为.

答案(p＋0.1)a解析设保险公司要求顾客交x元保险金,若ξ表示公司每年的收益额,则ξ是一个随机变量,ξ的取值范围为{x－a,x},P(ξ＝x－a)＝p,P(ξ＝x)＝1－p,则ξ的分布列为ξx－axPp1－p因此,公司每年收益的期望值E(ξ)＝p(x－a)＋x(1－p)＝x－ap,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,所以x－ap＝0.1a,解得x＝ap＋0.1a＝(p＋0.1)a.11.某市高三年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(175,σ2),已知P(175≤X<180)＝0.2,若P(X≤a)∈[0.3,0.5].写出一个符合条件的a的值为.

答案172([170,175]中的任意一个数均可)解析因为X~N(175,σ2),且P(175≤X<180)＝0.2,则P(X≤170)＝P(X≥18