高考数学备考提优点16解析几何中的同构技巧

解析几何中的同构技巧【知识拓展】1.数学中的同构式是指变量不同,但结构相同的两个表达式.解析几何中,常有一些点、直线、方程具有相同的特征,将这些“形”的共性坐标化,根据式子结构的相似性,对其进行代数变形的统一构造处理,就是同构.2.解析几何中的同构主要有:(1)点、直线的同构,(2)方程的同构.3.同构的关键在于发现代数式子结构的相似性.【类型突破】类型一一次式同构例1如图,设点P(x0,y0)在直线x＝m(y≠±m,0<m<1)上,过点P作双曲线x2－y2＝1的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB过某一个定点.证明设A(x1,y1),B(x2,y2),PA的斜率为k,则PA:y－y1＝k(x－x1),联立y−y1x2－[kx＋(－kx1＋y1)]2＝1,整理可得(1－k2)x2－2k(y1－kx1)x－(y1－kx1)2－1＝0,∵PA与双曲线相切,∴Δ＝4k2(y1－kx1)2＋4(1－k2)(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0,∴4(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0,∴k2x12－2kx1y1＋y12＋1－即(x12－1)k2－2kx1y1＋(又x12∴x12－1＝y12,代入可得y12k2－2x1y1k＋x即(y1k－x1)2＝0,即k＝x1∴PA:y－y1＝x1y1(x－x∴y1y＝x1x－1,同理,切线PB的方程为y2y＝x2x－1.∵P(m,y0)在切线PA,PB上,∴有y∴A,B满足直线方程y0y＝mx－1,是两点唯一确定的一条直线,∴AB:y0y＝mx－1,∴当x＝1m,y＝0时,无论∴点1m,0恒在直线AB上,故无论P在何处,AB规律方法点A(x1,y1),B(x2,y2)满足方程Ax1＋By1＋C＝0训练1(2025·昆明诊断)已知抛物线C:x2＝4y和圆M:x2＋(y＋4)2＝1.若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.解抛物线C的方程为x2＝4y,即y＝x2对该函数求导得y'＝x2设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则直线PA的方程为y－y1＝x12(x－x1即y＝x1x2－y1,即x1x－2y1同理,可知直线PB的方程为x2x－2y2－2y＝0.由于点P为这两条直线的公共点,则x所以点A,B的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0,所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.联立x可得x2－2x0x＋4y0＝0,则x1＋x2＝2x0,x1x2＝4y0,所以|AB|＝1＋x022＝(x点P到直线AB的距离为d＝|x所以S△PAB＝12|AB|＝12(＝12(x02－4y因为x02－4y0＝1－(y0＋4)2－4y0＝－y02－12y0－15＝－(y0＋6)2＋21,－5≤y所以当y0＝－5时,△PAB的面积取最大值12×2032类型二二次同构例2(2025·南京模拟改编)已知椭圆C:x24＋y22＝1,当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足|AP|·|QB|＝|AQ|·|证明设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),由题设,|PA|,|PB|,|AQ|,|QB|均非零,|PA|∶|AQ|＝|PB|∶|QB|,又P,A,Q,B四点共线,可设PA＝λ1AQ,PB＝λ2BQ,则λ1＋λ2＝0,于是x1＝4＋λ1x1＋λ1由于A(x1,y1)在椭圆C上,将其代入C的方程x2＋2y2＝4,整理得(x2＋2y2－4)λ12＋4(2x＋y－2)λ1同理有(x2＋2y2－4)λ22＋4(2x＋y－2)λ2即λ1,λ2为方程(x2＋2y2－4)λ2＋4(2x＋y－2)λ＋14＝0的两根,于是λ1＋λ2＝－4(2x＋即2x＋y－2＝0,点Q(x,y)总在定直线2x＋y－2＝0上.规律方法1.若出现两个结构相同的一元二次方程时,说明此两方程的未知数是对应的一元二次方程的两根.2.根据两同构方程未知数(即元)的意义,常见的二次方程同构有两点坐标同构、两直线斜率同构、截距同构、定比分点同构等.训练2(2025·北京朝阳区模拟改编)如图所示,已知抛物线x2＝4y的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,A在y轴左侧且AB的斜率大于0.已知P(1,0)为x轴上一点,若直线PA,PB分别交抛物线于C,D两点,问是否存在实数λ使得AB＝λCD,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.解存在λ＝5满足条件,理由如下:设Ax1,x124,Bx2,x224,C(x3,y3),D(x4,联立y得x2－4kx－4＝0,x1＋x2＝4k,x1x2＝－4,若AB＝λCD,则AB∥CD,且|AB||CD|＝λ于是|PA||PC|＝|AB||CD|＝λ,从而PA即x1−1,x124＝λ(xx即Cx1＋λ−1λ将C坐标代入x2＝4y,整理得(x1＋λ即(λ－1)x12－2(λ－1)x1－(λ－1)2∵λ≠1,∴x12－2x1＋1－λ同理有x22－2x2＋1－λ于是x1,x2是方程x2－2x＋1－λ＝0的两根,∴x1x2＝1－λ,故1－λ＝－4,λ＝5.【精准强化练】1.如图,已知抛物线C:x2＝4y,P(1,－2)为抛物线外一点,过点P向抛物线引两条切线,切点分别为A,B,求直线AB的方程.解设A(x1,y1),B(x2,y2),y'＝x2故直线AP:y－y1＝x12(x－x1化简可得AP:x1x－2y－2y1＝0,同理可得直线BP:x2x－2y－2y2＝0,又因为P(1,－2)在直线PA,PB上,所以x1−2y1＋4＝0,x2−2y2＋4＝0,即A(x1,y1),B(故直线AB的方程为x－2y＋4＝0.2.已知直线l:y＝k(x－1)(k≥0)与椭圆C:x28＋y24＝1相交于A,B两点,过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q,直线OP的斜率为k'(O为坐标原点),△APQ的面积为S1,△BPQ的面积为S2,若|AP|·S2＝|BP|·S1解k·k'为定值,且k·k'＝12,证明如下由|AP|·S2＝|BP|·S1,得|AP||BP|因此sin∠APQ＝sin∠BPQ,而∠APQ＋∠BPQ＝∠ABP∈(0,π),有∠APQ＝∠BPQ,于是PQ平分∠APB,直线AP,BP的斜率kAP,kBP互为相反数,即kAP＋kBP＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由x得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0,即有x