《高等代数》全套教学课件

第1章矩阵矩阵的相关概念第1节高等代数全套可编辑PPT课件01数域02矩阵的定义03特殊矩阵2本节内容301数域📝定义1.1401数域常见的数域：📚例1.1501数域证明601数域📖命题1.1两个数域的交仍是一个数域.📖命题1.2(1)任何数域都包含有理数域；(2)实数域和复数域之间没有其他数域.701数域证明802矩阵的定义在很多实际问题中，往往需要用到由数字构成的数表.某公司生产的三种产品A,B,C在四个不同的城市进行销售，每月需要统计各城市的销售情况，具体如下：902矩阵的定义从上面表格可以直观看到不同产品在不同城市的销量.在实际问题分析中，通常只需要把表格中的数字提取出来进行相关计算.因此，可以把表格简化为1002矩阵的定义📝定义1.21102矩阵的定义📢注1202矩阵的定义矩阵的表示：1302矩阵的定义📝定义1.3📝定义1.41402矩阵的定义📝定义1.51503特殊矩阵1603特殊矩阵1703特殊矩阵1803特殊矩阵1903特殊矩阵学海无涯，祝你成功！高等代数第1章矩阵矩阵的运算第2节高等代数01矩阵的加法和减法02数与矩阵的乘法03矩阵的乘法04矩阵的转置05复矩阵的共轭06方阵的逆22本节内容2301矩阵的加法和减法📝定义1.6📢注2401矩阵的加法和减法📚例1.2解2501矩阵的加法和减法📝定义1.72602数与矩阵的乘法📝定义1.82702数与矩阵的乘法2803矩阵的乘法📝定义1.92903矩阵的乘法📢注3003矩阵的乘法📚例1.3解3103矩阵的乘法📚例1.4解3203矩阵的乘法📚例1.5解3303矩阵的乘法📢注3403矩阵的乘法📚例1.6解同阶对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵3503矩阵的乘法📚例1.73603矩阵的乘法解3703矩阵的乘法3803矩阵的乘法📝定义1.103903矩阵的乘法4004矩阵的转置📝定义1.11📢注4104矩阵的转置4204矩阵的转置📚例1.84304矩阵的转置解4404矩阵的转置📝定义1.124504矩阵的转置📚例1.9证明4605复矩阵的共轭📝定义1.134706方阵的迹📝定义1.14学海无涯，祝你成功！高等代数第1章矩阵可逆的方阵第3节高等代数01逆矩阵的定义02逆矩阵的性质50本节内容5101逆矩阵的定义📝定义1.155201逆矩阵的定义📖命题1.3证明5301逆矩阵的定义📚例1.10解5401逆矩阵的定义📚例1.11证明📢注5502逆矩阵的性质📚例1.12证明5602逆矩阵的性质5702逆矩阵的性质5802逆矩阵的性质5902逆矩阵的性质学海无涯，祝你成功！高等代数第1章矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵第4节高等代数01矩阵的初等变换02初等矩阵62本节内容6301矩阵的初等变换📝定义1.166401矩阵的初等变换📢注6501矩阵的初等变换6601矩阵的初等变换6701矩阵的初等变换6802初等矩阵📝定义1.176902初等矩阵7002初等矩阵7102初等矩阵7202初等矩阵📖定理1.47302初等矩阵证明7402初等矩阵7502初等矩阵7602初等矩阵🎯推论1.5学海无涯，祝你成功！高等代数第1章矩阵矩阵的相抵（等价）第5节高等代数01矩阵相抵的概念与性质02相抵标准形03用初等变换求逆矩阵79本节内容8001矩阵相抵的概念与性质📝定义1.188101矩阵相抵的概念与性质8202相抵标准形📖定理1.68302相抵标准形证明8402相抵标准形8502相抵标准形8602相抵标准形📚例1.138702相抵标准形解8802相抵标准形解8902相抵标准形📖定理1.7🎯推论1.89002相抵标准形🎯推论1.9证明9103用初等变换求逆矩阵📢注9203用初等变换求逆矩阵9303用初等变换求逆矩阵9403用初等变换求逆矩阵📚例1.14解学海无涯，祝你成功！高等代数第1章矩阵矩阵的分块第6节高等代数01分块矩阵的概念02分块矩阵的运算03分块矩阵的初等变换97本节内容9801分块矩阵的概念📝定义9901分块矩阵的概念10001分块矩阵的概念📢注10101分块矩阵的概念10201分块矩阵的概念📝定义1.1910302分块矩阵的运算加法数乘乘法转置共轭10402分块矩阵的运算加法数乘乘法📚例1.15解转置共轭10502分块矩阵的运算加法数乘乘法转置共轭10602分块矩阵的运算加法数乘乘法转置共轭10702分块矩阵的运算加法数乘乘法转置共轭10802分块矩阵的运算加法数乘乘法📢注转置共轭10902分块矩阵的运算加法数乘乘法📚例1.16解转置共轭11002分块矩阵的运算加法数乘乘法📚例1.17转置共轭11102分块矩阵的运算加法数乘乘法解转置共轭11202分块矩阵的运算加法数乘乘法转置共轭11302分块矩阵的运算加法数乘乘法转置共轭11403分块矩阵的初等变换📢注11503分块矩阵的初等变换11603分块矩阵的初等变换11703分块矩阵的初等变换11803分块矩阵的初等变换📚例1.18解11903分块矩阵的初等变换12003分块矩阵的初等变换学海无涯，祝你成功！高等代数第2章行列式二阶和三阶行列式第1节高等代数01二阶行列式02几何意义03三阶行列式123本节内容12401二阶行列式📚例2.1求解方程组解12501二阶行列式📢注126📝定义2.101二阶行列式对于二阶方阵来说,我们可以用一个数值来刻画这个方阵:📢注12702几何意义12802几何意义具体来说:12902几何意义13002几何意义13102几何意义132📝定义2.203三阶行列式对于二阶方阵来说,我们可以用一个数值来刻画这个方阵:13303三阶行列式三阶行列式可以按照Sarrus法则来求,参见图2.4.📢注2.1从二阶和三阶行列式的定义来看,计算中有一半的项前面是正号“+”,而另一半的项前面带了负号“-”,我们称这种和为代数和.学海无涯，祝你成功！高等代数第2章行列式排列第2节高等代数01排列02逆序03对换136本节内容13701排列📝定义2.3📢注13801排列📝定义2.4📢注13902逆序📝定义2.514002逆序📢注根据定义可以看出，14102逆序📝定义2.5📚例2.1解14203对换📢注14303对换14403对换📖定理2.1证明14503对换1.第一种情况.14603对换2.第二种情况.14703对换14803对换🎯推论2.2🎯推论2.314903对换证明15003对换🎯推论2.4证明15102逆序📚例2.2解15202逆序📢注学海无涯，祝你成功！高等代数第2章行列式

第3节高等代数01定义02等价定义155本节内容15601定义📝定义2.715701定义📢注15801定义📚例2.4计算行列式解15901定义📢注16001定义16102等价定义📝定义2.816202等价定义📢注将(2.2)中的行列互换可以得到16302等价定义📖命题2.5📚例2.4计算下三角形行列式16402等价定义解16502等价定义📢注命题2.5说明，上三角形行列式也等于其对角线元素的乘积学海无涯，祝你成功！高等代数第2章行列式行列式的性质第4节高等代数168📖命题2.6

行列式中两行（列）互换,行列式变号.证明169

170根据行列式的定义,171设在

🎯推论2.7证明172

此时，173

📖命题2.8174证明175🎯推论2.9

176📖命题2.10若行列式中某行（列）每个元素分为两个数之和,则该行列式可关于该行（列）拆成两个行列式之和,拆开时其它各行（列）均保持不动.证明177178📖命题2.11

📚例2.6计算行列式179解180📚例2.7

注意到在行列式中,每一行元素之和都是.根据命题

解181再根据命题2.8,可以得到182

183📚例2.8

证明学海无涯，祝你成功！高等代数第2章行列式行列式按行（列）展开第5节高等代数01行列式按照一行（列）展开02行列式按照多行（列）展开186本节内容18701行列式按照一行（列）展开📝定义2.718801行列式按照一行（列）展开18901行列式按照一行（列）展开📢注2.319001行列式按照一行（列）展开和191(2.4)中

可以按照第一行展开,展开公式为📖引理2.12根据行列式的定义,01行列式按照一行（列）展开证明19201行列式按照一行（列）展开193📖定理2.1301行列式按照一行（列）展开证明19401行列式按照一行（列）展开19501行列式按照一行（列）展开📢注🎯推论2.1419601行列式按照一行（列）展开🎯推论2.1519701行列式按照一行（列）展开证明19801行列式按照一行（列）展开199📚例2.901行列式按照一行（列）展开证明20001行列式按照一行（列）展开20101行列式按照一行（列）展开20201行列式按照一行（列）展开203📚例2.1001行列式按照一行（列）展开解20401行列式按照一行（列）展开205

02行列式按照多行（列）展开📝定义2.820602行列式按照多行（列）展开20702行列式按照多行（列）展开这个行列式称为子式(2.8)的余子式,记作20802行列式按照多行（列）展开称之为子式(2.8)的代数余子式.20902行列式按照多行（列）展开📖定理2.16(Laplace定理)210📚例2.1102行列式按照多行（列）展开21102行列式按照多行（列）展开证明21202行列式按照多行（列）展开📢注2.421302行列式按照多行（列）展开📖命题2.17证明21402行列式按照多行（列）展开21502行列式按照多行（列）展开21602行列式按照多行（列）展开🎯推论2.18📢注21702行列式按照多行（列）展开📝定义2.11📚例2.12证明21802行列式按照多行（列）展开🎯推论2.19📖定理2.20证明21902行列式按照多行（列）展开证明22002行列式按照多行（列）展开📚例2.13证明221📖命题2.22再根据行列式的乘法规则，证明学海无涯，祝你成功！高等代数第2章行列式伴随矩阵第6节高等代数224📝定义2.12225📚例2.14直接计算可以得到:因此,解226📢注根据(2.6),和(2.7),可以得到以下重要等式:227📖命题2.21证明228229📖命题2.22再根据行列式的乘法规则，证明学海无涯，祝你成功！高等代数第3章线性空间初步向量的基本运算第1节高等代数232

如果在平面上建立了一个直角坐标系,那么平面上任何一个向量均可以用一对有序实数(𝑎,𝑏)来表示,其中𝑎称为此向量的横坐标,𝑏称为它的纵坐标.反过来,一对有序实数(𝑎,𝑏)必然唯一的对应平面上一个向量.这样,平面上的向量与有序实数对之间可以建立起一一对应.这种把向量“代数化”的方法有着明显的好处:一是可以用代数工具来研究几何对象;二是可以把它推广到更一般的情形,即所谓的𝑛维向量.第3章本章导学01向量的定义02向量的基本运算233本节内容23401向量的定义📝定义3.123501向量的定义📝定义3.2📢注3.123601向量的定义

大家将会看到,行向量与列向量有相同的性质,以下讨论均以列向量为主,行向量的情形可类似得到.📝定义3.3📝定义3.423702向量的基本运算23802向量的基本运算23902向量的基本运算24002向量的基本运算24102向量的基本运算📚例题学海无涯，祝你成功！高等代数第3章线性空间初步向量组第2节高等代数01线性相关与线性无关02向量组等价03极大无关组244本节内容24501线性相关与线性无关📝定义3.5📢注3.2

向量组可以包含无穷多个向量,本书主要讨论有限向量组,遇到无限向量组的情形会特别说明.24601线性相关与线性无关📝定义3.624701线性相关与线性无关📝定义3.724801线性相关与线性无关24901线性相关与线性无关25001线性相关与线性无关📝定义3.825101线性相关与线性无关25201线性相关与线性无关25301线性相关与线性无关📖命题3.125401线性相关与线性无关证明25501线性相关与线性无关证明25601线性相关与线性无关📖命题3.225701线性相关与线性无关证明25801线性相关与线性无关证明25902向量组等价📝定义3.9

在上一节中,我们主要讨论了一个向量组是否线性相关,本节主要讨论向量组之间的关系.26002向量组等价📚例3.126102向量组等价解26202向量组等价根据定义,容易得到向量组等价的以下性质: (1)反身性,即向量组和自身等价; (2)对称性,即若向量组(I)和向量组(II)等价,则向量组(II)和向量组(I)等价; (3)传递性,即若向量组(I)和向量组(II)等价,向量组(II)和向量组(III)等价,则向量组(I)和向量组(III)等价.26302向量组等价📖定理3.326402向量组等价证明26502向量组等价证明26602向量组等价证明26702向量组等价由定理3.3可以直接得到以下推论.🎯推论3.4🎯推论3.5两个线性无关的向量组如果等价,则它们必然包含相同个数的向量.26802向量组等价由于任意一个n维向量都可以由n个单位向量线性表出，结合定理3.3可以得到：🎯推论3.6任意n+1个n维向量必然线性相关.26903极大无关组📝定义3.1027003极大无关组📢注3.3 (1)由于一个非零向量线性无关,因此有限向量组中只要有非零向量就存在线性无关的部分组.这就说明,有限向量组（零向量构成的向量组除外）一定存在极大无关组. (2)线性无关向量组的极大无关组是它本身. (3)根据命题3.1,向量由极大无关组表示的方式是唯一的.27103极大无关组

比如,行向量组(1,−1),(0,2),(3,1)是线性相关的,(1,−1),(0,2)和(0,2),(3,1)都是它的极大无关组.由此可以看出,同一向量组可能存在多个极大无关组,下面来看一下它们之间的联系.📖命题3.7 (1)向量组和它的极大线性无关组等价; (2)同一个向量组的不同极大线性无关组等价,从而含有相同个数的向量.27203极大无关组证明27303极大无关组📝定义3.11📚例3.227403极大无关组解

更进一步，容易得到以下结论，证明留给读者.📖命题3.8

等价的向量组秩相等.学海无涯，祝你成功！高等代数第3章线性空间初步矩阵的秩第3节高等代数01矩阵的秩02几个常用结论277本节内容27801矩阵的秩📝定义3.12

矩阵𝐴的行向量组(3.5)的秩称为𝐴的行秩,列向量组(3.6)的秩称为𝐴的列秩.27901矩阵的秩📖定理3.9

矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变.证明

首先证明初等行变换不改变行秩,初等列变换不改变列秩.

如果对𝐴施行互换两行的行变换,行向量组(3.5)没有发生改变,只是向量之间的排序发生了变化,此时秩当然没变.28001矩阵的秩证明28101矩阵的秩证明

由向量组等价的定义,容易看出向量组(3.5)和向量组(3.7)以及向量组(3.8)都等价,因而秩相等.这就说明初等行变换不改变矩阵的行秩.同理可以证明,初等列变换不改变矩阵的列秩.

其次,再证明初等行变换不改变矩阵的列秩.28201矩阵的秩证明28301矩阵的秩证明28401矩阵的秩证明28501矩阵的秩

既然初等变换不改变矩阵的行秩和列秩,可以得到以下简单推论. 1.相抵矩阵分别具有相同的行秩和列秩. 2.矩阵的行秩等于列秩.🎯推论3.1028601矩阵的秩证明28701矩阵的秩📝定义3.13

由定理3.9和推论3.10可以直接得到以下结论.🎯推论3.1128801矩阵的秩🎯推论3.1128901矩阵的秩29001矩阵的秩📖定理3.12证明29101矩阵的秩证明29201矩阵的秩证明29301矩阵的秩证明29402几个常用结论

我们已经知道，初等变换不改变矩阵的秩，分块矩阵的初等变换当然也不改变矩阵的秩.由此，可以得到以下几个常用结论.📖命题3.1329502几个常用结论证明29602几个常用结论证明29702几个常用结论证明29802几个常用结论📖命题3.14证明29902几个常用结论📖命题3.15证明30002几个常用结论📖命题3.16证明30102几个常用结论证明学海无涯，祝你成功！高等代数第4章线性方程组线性方程组的表示方式Cramer法则第1节高等代数304

中学数学课程中讲过如何解二元一次方程组和三元一次方程组.在许多实际问题中,我们还会遇到未知数更多的一次方程组,通常称之为线性方程组.第4章本章导学305第4章本章导学📚例4.1下图是某城市的一个街区在下午某时段的交通流（每小时车辆数），每个十字路口进入的车辆数等于离开的车辆数，计算该交通道路上的车流量.306第4章本章导学解307第4章本章导学308第4章本章导学309第4章本章导学📢注4.101线性方程组的表示方式02Cramer法则310本节内容31101线性方程组的表示方式为了更加有效的讨论方程组的解,我们给出方程组的两种简洁表达方式.1.线性方程组的矩阵表达方式31201线性方程组的表示方式📢注4.2📖引理4.1根据线性方程组的矩阵表示形式,容易得出下面的结论.31301线性方程组的表示方式31402Cramer法则我们首先考虑一类特殊的线性方程组,即系数矩阵可逆的线性方程组.下面的定理通常被称为Cramer法则.📖定理4.231502Cramer法则证明31602Cramer法则证明31702Cramer法则🎯推论4.3📚例题学海无涯，祝你成功！高等代数第4章线性方程组齐次线性方程组第2节高等代数01解空间与基础解系02齐次线性方程组解的理论320本节内容32101解空间与基础解系32201解空间与基础解系📖引理4.4证明32301解空间与基础解系📖引理4.532401解空间与基础解系证明32501解空间与基础解系证明32601解空间与基础解系32701解空间与基础解系32801解空间与基础解系32901解空间与基础解系33001解空间与基础解系33102齐次线性方程组解的理论📖定理4.6（齐次线性方程组解的理论）📚例4.233202齐次线性方程组解的理论解33302齐次线性方程组解的理论解齐次线性方程组解的理论可以用来判断矩阵的秩,读者可以参考附录A.1.33402齐次线性方程组解的理论🎯例4.3证明学海无涯，祝你成功！高等代数第4章线性方程组非齐次线性方程组第3节高等代数01非齐次线性方程组的通解02非齐次线性方程组的求解步骤337本节内容33801非齐次线性方程组的通解33901非齐次线性方程组的通解📖定理4.734001非齐次线性方程组的通解证明34101非齐次线性方程组的通解证明34201非齐次线性方程组的通解证明34301非齐次线性方程组的通解34402非齐次线性方程组的求解步骤34502非齐次线性方程组的求解步骤34602非齐次线性方程组的求解步骤📚例4.434702非齐次线性方程组的求解步骤解34802非齐次线性方程组的求解步骤解学海无涯，祝你成功！高等代数第5章多项式多项式的定义和多项式的运算第1节高等代数01多项式的定义02多项式的运算351本节内容35201多项式的定义📝定义5.135301多项式的定义📝定义5.235402多项式的运算35502多项式的运算35602多项式的运算35702多项式的运算35802多项式的运算35902多项式的运算📝定义5.3🎯推论5.1学海无涯，祝你成功！高等代数第5章多项式整除、带余除法第2节高等代数01整除02带余除法362本节内容36301整除📝定义5.436401整除📖命题5.236501整除36602带余除法📖定理5.3证明36702带余除法36802带余除法36902带余除法37002带余除法📚例5.2

解学海无涯，祝你成功！高等代数第5章多项式最大公因式第3节高等代数01最大公因式02互素03多个多项式的最大公因式373本节内容37401最大公因式📝定义5.537501最大公因式📖引理5.4证明37601最大公因式📖引理5.5

证明37701最大公因式37801最大公因式📖定理5.637901最大公因式证明38001最大公因式38102互素📝定义5.6📖定理5.738202互素🎯推论5.8证明38302互素🎯推论5.9🎯推论5.1038402互素🎯推论5.1138503多个多项式的最大公因式📝定义5.738603多个多项式的最大公因式📖引理5.1238703多个多项式的最大公因式📖定理5.13(中国剩余定理)学海无涯，祝你成功！高等代数第5章多项式因式分解第4节高等代数01因式分解02重因式390本节内容39101因式分解📝定义5.8📖命题5.1439201因式分解

证明📖命题5.1539301因式分解证明📖命题5.1639401因式分解

证明📖推论5.1739501因式分解📖定理5.18（因式分解及唯一性定理）39601因式分解📢证明39701因式分解39802重因式📝定义5.939902重因式40002重因式📖定理5.19证明40102重因式学海无涯，祝你成功！高等代数第5章多项式多项式函数第5节高等代数40401多项式函数的根📝定义5.10📖定理5.2040501多项式函数的根

证明📝定义5.1140601多项式函数的根

证明📖推论5.21📖推论5.2240701多项式函数的根📖推论5.23学海无涯，祝你成功！高等代数第5章多项式复系数和实系数多项式第6节高等代数01复系数多项式02实系数多项式410本节内容41101复系数多项式📖推论5.26📖定理5.24📖推论5.25(代数基本定理)41201复系数多项式📖推论5.2741302实系数多项式📖引理5.28

证明41402实系数多项式📖定理5.29

证明41502实系数多项式📖推论5.3041602实系数多项式📝定义5.12📚例5.5

解41702实系数多项式学海无涯，祝你成功！高等代数第5章多项式有理系数多项式第7节高等代数01本原多项式02整系数多项式的可约性420本节内容42101本原多项式📖定理5.31

证明（有理根定理）42201本原多项式📖引理5.32📢注5.2📝定义5.1342301本原多项式📖引理5.33

证明42401本原多项式42502整系数多项式的可约性📖定理5.34证明42602整系数多项式的可约性42702整系数多项式的可约性📖定理5.35（Eisenstein判别法）42802整系数多项式的可约性

证明42902整系数多项式的可约性📚例5.8

证明43002整系数多项式的可约性

证明📚例5.9学海无涯，祝你成功！高等代数第6章线性空间线性空间的定义和基本性质第1节高等代数01线性空间的定义02线性空间的基本性质03线性空间的例子433本节内容43401线性空间的定义📝定义43501线性空间的定义43602线性空间的基本性质🎯命题43702线性空间的基本性质证明43802线性空间的基本性质📚例143903线性空间的例子📚例2证明44003线性空间的例子学海无涯，祝你成功！高等代数第6章线性空间线性空间的基和维数第2节高等代数01线性空间的基与维数02例子443本节内容44401线性空间的基与维数📝定义6.244501线性空间的基与维数📝定义6.344601线性空间的基与维数🎯命题6.244702例题📚例6.244802例题证明44902例题📚例6.3证明45002例题学海无涯，祝你成功！高等代数第6章线性空间向量的坐标、基变换与坐标变换第3节高等代数01向量的坐标02过渡矩阵03基变换与坐标变换453本节内容45401向量的坐标📝定义6.445501向量的坐标📚例1解45602过渡矩阵45702过渡矩阵🎯命题6.345803基变换与坐标变换学海无涯，祝你成功！高等代数第6章线性空间线性子空间第4节高等代数01线性子空间的定义和基本性质02生成子空间03基的扩充定理461本节内容46201线性子空间的定义和基本性质📝定义6.5🎯命题6.446301线性子空间的定义和基本性质📚例1证明46401线性子空间的定义和基本性质📚例246501线性子空间的定义和基本性质证明46602生成子空间🎯命题6.546702生成子空间证明46802生成子空间46902生成子空间📖定理6.6证明47002生成子空间47102生成子空间47203基的扩充定理📖定理6.747303基的扩充定理证明47403基的扩充定理🎯推论6.8（基的扩充定理）学海无涯，祝你成功！高等代数第6章线性空间子空间的交与和第5节高等代数01子空间的交02子空间的和03维数公式477本节内容47801子空间的交📖定理6.9证明47901子空间的交48002子空间的和📝定义6.6📖定理6.1048102子空间的和证明48202子空间的和48302子空间的和📚例6.748402子空间的和解48502子空间的和48602子空间的和🎯命题6.11证明48702子空间的和48803维数公式📖定理6.12证明48903维数公式49003维数公式49103维数公式49203维数公式📚例6.849303维数公式证明学海无涯，祝你成功！高等代数第6章线性空间子空间的直和第6节高等代数01两个子空间直和的定义02两个子空间直和的等价条件03多个子空间的直和496本节内容49701两个子空间直和的定义📚例6.949801两个子空间直和的定义解49901两个子空间直和的定义📝定义6.750002两个子空间直和的等价条件📖定理6.1450102两个子空间直和的等价条件证明50202两个子空间直和的等价条件50302两个子空间直和的等价条件📖定理6.15证明50403多个子空间的直和📝定义6.850503多个子空间的直和学海无涯，祝你成功！高等代数第6章矩阵线性空间的同构第7节高等代数01映射的相关概念02线性空间的同构508本节内容50901映射的相关概念📝定义6.951001映射的相关概念51101映射的相关概念📝定义6.10📝定义6.1151201映射的相关概念📝定义6.12📝定义6.1351301映射的相关概念📝定义6.14📝定义6.1551401映射的相关概念📝定义6.16🎯推论6.1751502线性空间的同构📝定义6.1751602线性空间的同构📚例6.1051702线性空间的同构51802线性空间的同构证明51902线性空间的同构🎯命题6.1852002线性空间的同构52102线性空间的同构🎯命题6.19证明52202线性空间的同构🎯推论6.20学海无涯，祝你成功！高等代数第6章矩阵对偶空间第8节高等代数01线性函数02对偶空间525本节内容52601线性函数📝定义6.1852701线性函数📚例6.11证明52801线性函数📚例6.1252901线性函数证明53002对偶空间53102对偶空间📖定理6.2153202对偶空间证明53302对偶空间学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换线性变换的定义第1节高等代数01线性变换的定义02线性变换的性质536本节内容537📝定义7.1

📢注7.101线性变换的定义538📢注01线性变换的定义539📚例7.1证明.01线性变换的定义540📚例7.2证明01线性变换的定义541📚例7.3证明01线性变换的定义542📚例7.401线性变换的定义54302线性变换的性质54402线性变换的性质📢注7.2(3)的逆不一定正确,即线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组,比如零变换.54503相等📖引理7.1证明因此,学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换线性变换的运算第2节高等代数01线性运算02数乘运算03加法运算548本节内容04逆变换05多项式运算54901乘法运算根据映射的乘法可以定义线性变换的乘法运算.55001乘法运算线性变换的乘法一般不满足交换律.551📚例7.5证明01乘法运算55202数乘运算55303加法运算55403加法运算55503加法运算55604逆变换📝定义7.2🎯推论7.2557证明04逆变换55805多项式运算📢注7.355905多项式运算📢注📝定义7.3学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换线性变换与矩阵第3节高等代数01引例02线性变换的矩阵03相似矩阵562本节内容563📚例7.6解01引例即56401引例即56501引例即56602线性变换的矩阵56702线性变换的矩阵📝定义7.4其中56802线性变换的矩阵📢注569📚例7.7解02线性变换的矩阵570📚例7.8证明02线性变换的矩阵57102线性变换的矩阵根据线性变换的运算性质,57202线性变换的矩阵现在我们来建立线性变换与矩阵的联系.令57302线性变换的矩阵📖引理7.3证明57402线性变换的矩阵📖引理7.4证明57502线性变换的矩阵📢注📖定理7.557602线性变换的矩阵证明57702线性变换的矩阵57802线性变换的矩阵📖定理7.6证明则57902线性变换的矩阵📖定理7.758002线性变换的矩阵证明58103相似矩阵线性变换在任何一组基下都对应一个矩阵,本节来探讨这些矩阵之间的关系.📖定理7.8和58203相似矩阵证明且因此,58303相似矩阵又于是,58403相似矩阵📝定义7.5📢注

(1)反身性:即每个矩阵和自身相似;

58503相似矩阵📖命题7.958603相似矩阵证明58703相似矩阵证明📖定理7.10线性变换在不同基下的矩阵相似.反之,两个相似矩阵可以看成同一个线性变换在两组基下的矩阵.前一部分参见定理7.8.现在证明后一部分.根据定理7.5,令58803相似矩阵因此58903相似矩阵📚例7.9求59003相似矩阵因此解学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换特征值与特征向量第4节高等代数01特征值、特征向量定义02特征值、特征向量的求法03哈密顿-凯莱定理593本节内容59401特征值、特征向量定义📝定义7.6

📢注595📖定理7.11证明故有01特征值、特征向量定义596解📚例7.1001特征值、特征向量定义📢注7.459701定义解📚例7.1159801定义证明.📚例7.1259901定义因此60002求法现在我们探讨特征值与特征向量的计算方法.(7.11)60102求法

60202求法📝定义7.7

📢注

60302求法📖命题7.12证明.📖命题7.13证明.60402求法📢注7.5(1)由于线性变换在不同基下的矩阵相似,因此矩阵的特征多项式也称为相应的线性变换的特征多项式.

60502求法上面的讨论表明,确定线性变换𝜎的特征值与特征向量可以分为三步:

60602求法根据上面的讨论,可得结合(7.12),可得:60702求法📚例7.13解.60802求法

它的基础解系为60902求法

61002求法它的基础解系为61103哈密顿-凯莱定理📝定义7.8📖定理7.1461203哈密顿-凯莱定理证明.61303哈密顿-凯莱定理（7.14）可得61403哈密顿-凯莱定理（7.15）根据线性变换空间和矩阵空间的同构对应关系,可以得到下面的推论:🎯推论7.15学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换矩阵的对角化第5节高等代数617📝定义7.9📖定理7.16证明618📖定理7.17证明

619

(7.16)

(7.17)(7.18)设有关系式620📖定理7.18621🎯推论7.19🎯推论7.20🎯推论7.21从定理7.17和定理7.18容易得到下面的结论:622证明📚例7.14623学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换线性变换的核与值域第6节高等代数626📝定义7.10（7.20）（7.21）📢注7.6627📖命题7.22证明628629📝定义7.11📖命题7.23📢注7.7630📚例7.16解631632📖定理7.24证明633634📖定理7.25证明635（7.22）636637🎯推论7.26学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换线性变换的不变子空间第7节高等代数640📝定义7.12本节我们主要研究由线性变换决定的一类特殊子空间-不变子空间.641📚例7.18📚例7.19📚例7.17642📚例7.20证明643📖命题7.27证明📢注7.8644📖命题7.28证明645下面讨论线性变换的矩阵和不变子空间的关系.(7.23)646(7.24)647(7.25)(7.26)648学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换线性空间的直和分解第8节高等代数01幂零线性变换02若尔当(Jordan)形矩阵651本节内容652

01幂零线性变换653📖命题7.2901幂零线性变换📢注654📝定义7.13📖引理7.3001幂零线性变换65501幂零线性变换证明656📖引理7.3201幂零线性变换🎯推论7.31证明657📖引理7.3301幂零线性变换证明658📖定理7.3401幂零线性变换65901幂零线性变换证明(7.31)(7.32)(7.33)(7.34)(7.35)(7.36)66001幂零线性变换

66101幂零线性变换662📖定理7.3501幂零线性变换66301幂零线性变换(7.37)66401幂零线性变换证明66501幂零线性变换66601幂零线性变换667📝定义7.1302若尔当（Jordan）形矩阵66802若尔当（Jordan）形矩阵66902若尔当（Jordan）形矩阵📢注670📖定理7.3602若尔当（Jordan）形矩阵📖定理7.37学海无涯，祝你成功！高等代数第7章线性变换最小多项式第9节高等代数01最小多项式定义02最小多项式性质673本节内容674📝定义7.1501最小多项式定义675📖引理7.3802最小多项式性质证明676📖引理7.39📢注7.10📚例7.2102最小多项式性质677证明📖引理7.4002最小多项式性质67802最小多项式性质证明679🎯推论7.4102最小多项式性质680📖引理7.4202最小多项式性质681证明02最小多项式性质682📚例7.22解02最小多项式性质68302最小多项式性质📖引理7.43证明684解📚例7.2302最小多项式性质685证明📢注7.11📖定理7.4402最小多项式性质686🎯推论7.4502最小多项式性质学海无涯，祝你成功！高等代数第8章矩阵矩阵的定义第1节高等代数01矩阵的定义02矩阵的秩03可逆矩阵689本节内容69001矩阵的定义📝定义8.169101矩阵的定义

📚例8.169201矩阵的定义

📢注69301矩阵的定义

📚例8.269401矩阵的定义📚例8.3📢注69502矩阵的秩📝定义8.2📚例8.469603可逆矩阵📝定义8.3📖命题8.169703可逆矩阵📖命题8.2证明69803可逆矩阵学海无涯，祝你成功！高等代数第8章矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵第2节高等代数01矩阵的初等变换02矩阵的标准形701本节内容70201矩阵的初等变换📝定义8.470301矩阵的初等变换对应的初等矩阵：初等矩阵的逆矩阵：70402矩阵的标准形📝定义8.5📢注70502矩阵的标准形

📖命题8.370602矩阵的标准形

📖引理8.470702矩阵的标准形

证明70802矩阵的标准形

70902矩阵的标准形

71002矩阵的标准形

71102矩阵的标准形

📖定理8.571202矩阵的标准形

证明71302矩阵的标准形

71402矩阵的标准形

71502矩阵的标准形

71602矩阵的标准形

71702矩阵的标准形

🎯推论8.6证明71802矩阵的标准形

71902矩阵的标准形

🎯推论8.772002矩阵的标准形

证明72102矩阵的标准形

学海无涯，祝你成功！高等代数第8章矩阵行列式因子和不变因子第3节高等代数

01行列式因子02不变因子724本节内容72501行列式因子

📝定义8.572601行列式因子

📚例8.572701行列式因子

解72801行列式因子📖定理8.8证明72901行列式因子73001行列式因子73102行列式因子73201行列式因子

📖定理8.9证明73301行列式因子🎯推论8.1073402不变因子

📝定义8.7📝定义8.873502不变因子🎯推论8.11证明73602不变因子🎯推论8.12📖定理8.13学海无涯，祝你成功！高等代数第8章矩阵矩阵相似的条件第4节高等代数

739

矩阵相似的条件📖引理8.14证明740

矩阵相似的条件📖引理8.15741

矩阵相似的条件证明742

矩阵相似的条件743

矩阵相似的条件

📚例8.6解744

矩阵相似的条件745

矩阵相似的条件

📖定理8.16证明746矩阵相似的条件747

矩阵相似的条件748

矩阵相似的条件749

矩阵相似的条件🎯推论8.17📚例8.7750

矩阵相似的条件证明学海无涯，祝你成功！高等代数第8章矩阵矩阵的有理标准形第5节高等代数

01友矩阵02矩阵的有理标准形753本节内容75401友矩阵

📝定义8.975501友矩阵

75601友矩阵

75701友矩阵📖引理8.1875801友矩阵

证明75901友矩阵

76001友矩阵76101友矩阵76202矩阵的有理标准形

📝定义8.10📖定理8.19证明76301矩阵的有理标准形

学海无涯，祝你成功！高等代数第8章矩阵初等因子和若当标准形第6节高等代数

01初等因子02若当标准形766本节内容76701初等因子

📝定义8.1176801初等因子

76901初等因子📖引理8.20证明77001初等因子

77101初等因子

77201初等因子📚例8.7解77301初等因子注77401初等因子🎯推论8.21📖引理8.2277501初等因子

证明77601初等因子

📖引理8.2377701初等因子

证明77801初等因子📖定理8.2477901初等因子📚例8.8解78002若尔当标准形📖定理8.2578102若尔当标准形

证明78202若尔当标准形

78302若尔当标准形🎯推论8.26🎯推论8.2778402若尔当标准形📚例8.9解78502若尔当标准形📖定理8.2878602若尔当标准形🎯推论8.29证明学海无涯，祝你成功！高等代数第9章二次型二次型的定义第1节高等代数01二次型的定义02二次型的矩阵789本节内容79001二次型的定义79101二次型的定义📝定义9.179201二次型的定义以下是二次型：以下不是二次型：79302二次型的矩阵79402二次型的矩阵79502二次型的矩阵注79602二次型的矩阵79702二次型的矩阵

📚例9.179802二次型的矩阵

解79902二次型的矩阵

📚例9.280002二次型的矩阵

解学海无涯，祝你成功！高等代数第9章二次型非退化线性变换与二次型的标准形第2节高等代数01非退化线性变换02合同变换03二次型的标准形803本节内容80401非退化线性变换80501非退化线性变换📝定义9.280601非退化线性变换📝定义9.380702合同变换📝定义9.480802合同变换80902合同变换📖引理9.1证明81002合同变换81102合同变换📖定理9.2证明81202合同变换81302合同变换81403二次型的标准形📖定理9.3📝定义9.581503二次型的标准形81603二次型的标准形📚例9.3解81703二次型的标准形81803二次型的标准形81903二次型的标准形注82003二次型的标准形📚例9.482103二次型的标准形解82203二次型的标准形82303二次型的标准形📚例9.5解82403二次型的标准形82503二次型的标准形82603二次型的标准形学海无涯，祝你成功！高等代数第9章二次型惯性定理第3节高等代数01实二次型02复二次型829本节内容83001实二次型83101实二次型83201实二次型83301实二次型83401实二次型📖定理9.4证明83501实二次型83601实二次型83701实二次型8380