高等代数课件 3.2节 向量组_第1页
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第3章线性空间初步向量组第2节高等代数01线性相关与线性无关02向量组等价03极大无关组2本节内容301线性相关与线性无关📝定义3.5📢注3.2

向量组可以包含无穷多个向量,本书主要讨论有限向量组,遇到无限向量组的情形会特别说明.401线性相关与线性无关📝定义3.6501线性相关与线性无关📝定义3.7601线性相关与线性无关701线性相关与线性无关801线性相关与线性无关📝定义3.8901线性相关与线性无关1001线性相关与线性无关1101线性相关与线性无关📖命题3.11201线性相关与线性无关证明1301线性相关与线性无关证明1401线性相关与线性无关📖命题3.21501线性相关与线性无关证明1601线性相关与线性无关证明1702向量组等价📝定义3.9

在上一节中,我们主要讨论了一个向量组是否线性相关,本节主要讨论向量组之间的关系.1802向量组等价📚例3.11902向量组等价解2002向量组等价根据定义,容易得到向量组等价的以下性质: (1)反身性,即向量组和自身等价; (2)对称性,即若向量组(I)和向量组(II)等价,则向量组(II)和向量组(I)等价; (3)传递性,即若向量组(I)和向量组(II)等价,向量组(II)和向量组(III)等价,则向量组(I)和向量组(III)等价.2102向量组等价📖定理3.32202向量组等价证明2302向量组等价证明2402向量组等价证明2502向量组等价由定理3.3可以直接得到以下推论.🎯推论3.4🎯推论3.5两个线性无关的向量组如果等价,则它们必然包含相同个数的向量.2602向量组等价由于任意一个n维向量都可以由n个单位向量线性表出，结合定理3.3可以得到：🎯推论3.6任意n+1个n维向量必然线性相关.2703极大无关组📝定义3.102803极大无关组📢注3.3 (1)由于一个非零向量线性无关,因此有限向量组中只要有非零向量就存在线性无关的部分组.这就说明,有限向量组（零向量构成的向量组除外）一定存在极大无关组. (2)线性无关向量组的极大无关组是它本身. (3)根据命题3.1,向量由极大无关组表示的方式是唯一的.2903极大无关组

比如,行向量组(1,−1),(0,2),(3,1)是线性相关的,(1,−1),(0,2)和(0,2),(3,1)都是它的极大无关组.由此可以看出,同一向量组可能存在多个极大无关组,下面来看一下它们之间的联系.📖命题3.7 (1)向量组和它的极大线性无关组等价; (2)同一个向量组的不同极大线性无关组等价,从而含有相同个数的向量.3003极大无关组证明3103极大无关组📝定义3.11📚例3.232

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