高等代数电子教案 第2章 行列式

PAGEPAGE1《高等代数》教学教案第2章行列式授课序号01教学基本指标教学课题第2章第1节二阶和三阶行列式（1课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点二阶和三阶行列式的定义及二阶行列式与线性方程组的关系教学难点行列式与线性方程组的关系参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握二阶和三阶行列式的算法；理解二阶行列式与线性方程组的关系.教学基本内容基本定义定义1设是一个数域,是数域上一个2阶方阵,定义𝐴的行列式为𝑎𝑑−𝑏𝑐,记作|𝐴|或者det𝐴.定义2三阶行列式定义为二．例题例1求解方程组授课序号02教学基本指标教学课题第2章第2节排列（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点排列，逆序数，奇偶排列的概念及排列的奇偶性与置换的关系教学难点排列的奇偶性与置换的关系参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求1．掌握排列，逆序数，奇偶排列的概念；2．理解排列的奇偶性与置换的关系.教学基本内容一.基本定义定义1由组成的一个有序数组称为一个𝑛阶排列.定义2按照从小到大的顺序排出的称为一个自然排列.定义3在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数,排列的逆序数记作.定义4逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.二.基本结论命题1一次对换改变排列的奇偶性.命题2奇数次对换改变排列的奇偶性,偶数次对换不改变排列的奇偶性.命题3𝑛!个𝑛阶排列中,奇偶排列各占一半,即各有个.命题4任意一个𝑛阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列,并且对换次数的奇偶性和这个𝑛阶排列的奇偶性相同,反之亦然.三．例题例1求3阶排列中奇、偶排列的数目.例2验证将5阶排列经过对换变为自然排列所经历的对换次数的奇偶性和的奇偶性相同.授课序号03教学基本指标教学课题第2章第3节阶行列式（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点阶行列式的定义和等价定义教学难点用定义求行列式参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求1.了解利用定义计算行列式的方法；2．掌握行列式的性质1;3.能够利用定义求一些常见行列式如上三角形、下三角形及对角线形行列式.教学基本内容基本定义定义1.设,则它的行列式,记作|𝐴|,定义为这里是的一个𝑛阶排列,上式是对所有的𝑛!个𝑛阶排列求代数和.定义2.这里是的一个𝑛阶排列,上式是对所有的𝑛!个𝑛阶排列求代数和.基本性质命题1设𝐴是一个𝑛阶方阵,则.例题计算行列式.计算下三角形行列式授课序号04教学基本指标教学课题第2章第4节行列式的性质（3课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点行列式的性质教学难点利用定义证明性质参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉行列式的性质；能够熟练地利用性质计算行列式.教学基本内容基本性质命题1.行列式中两行（列）互换,行列式变号.命题2行列式中某行(列)有公因子𝑐,则𝑐可以提出行列式外.命题3若行列式中某行（列）每个元素分为两个数之和,则该行列式可关于该行（列）拆成两个行列式之和,拆开时其它各行（列）均保持不动.命题4把行列式的第𝑗行（列）加上第𝑖行（列）的𝑘倍后,其值不变.二.例题例1计算行列式例2计算阶行列式例3证明:奇数阶反对称矩阵行列式为0.授课序号05教学基本指标教学课题第2章第5节行列式按一行（列）展开（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点行列式按一行（列）展开的含义及范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算教学难点行列式按一行（列）展开的证明参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求1.理解余子式和代数余子式的概念；2．掌握行列式按一行（列）展开计算行列式的方法；3．掌握形如范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算.教学基本内容基本定义定义1.设是一个𝑛阶行列式.定义元素的余子式为由|𝐴|中划去第𝑖行第𝑗列后剩下的行,列元素按照原来的相对位置组成的行列式,即，称为的代数余子式.二．相关结论命题1|𝐴|可以按照第一行展开,展开公式为命题2|𝐴|可以按照任一行展开,展开公式为命题3|𝐴|可以按照任一列展开,展开公式为命题4设,则以下结论成立：三.例题（Vandermonde行列式）求证：求下列行列式的值授课序号06教学基本指标教学课题第2章第5节行列式按多行（列）展开（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点Laplace定理的含义及可逆矩阵的判定教学难点对于Laplace定理的理解参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉𝑘阶子式及其余子式、代数余子式的定义；熟悉方阵退化和非退化的定义；理解并会用Laplace定理；熟悉行列式的乘法法则和可逆矩阵的判定定理教学基本内容基本定义定义设𝐴是一个𝑛阶方阵,𝑘≤𝑛.又及是两组自然数且适合条件：取行列式|𝐴|中第行,第行,···,第行以及第列,第列,···,第列交点上的元素,按原来|𝐴|中的相对位置构成一个𝑘阶行列式(1)我们称之为|𝐴|的一个𝑘阶子式,记作在行列式|𝐴|中去掉第行,第行,···,第行以及第列,第列,···,第列以后剩下的元素按原来的相对位置构成一个𝑛−𝑘阶行列式.这个行列式称为子式(1)的余子式,记作(2)若令,记̂︁(3)称之为子式(1)的代数余子式.定义2设𝐴是一个𝑛阶方阵,如果,则称𝐴是非退化的,否则称𝐴是退化的.基本性质命题1.(Laplace定理)设𝐴是一个𝑛阶方阵,在|𝐴|中任取𝑘行(列),那么含于这𝑘行(列)的全部𝑘阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于|𝐴|.即若取定𝑘个行：,则同样若取定𝑘个列：,则命题2.设,则|𝐴𝐵|=|𝐴||𝐵|.命题3.设𝐴是一个𝑛阶方阵,则𝐴可逆当且仅当.三．例题证明：初等矩阵都是非退化的.设𝐴,𝐵,𝐶,𝐷为𝑛阶方阵,,𝐴𝐶=𝐶𝐴.证明：授课序号07教学基本指标教学课题第2章第6节伴随矩阵（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点伴随矩阵与可逆矩阵的关系及伴随矩阵的性质教学难点伴随矩阵的性质参考教材自编《高等代数》；《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握伴随矩阵的定义；掌握伴随矩阵的性质及其与矩阵可逆的关系.教学基本内容基本