2015考研数学三期末试卷｜含答题卡

2015考研数学三期末试卷｜含答题卡一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置上。）1.设函数f(x)在区间I上连续，则下列命题正确的是（）A.若f(x)在I上单调递增，则其反函数在I上不连续B.若f(x)在I上可导，则其反函数在对应区间上不可导C.若f(x)在I上不恒为常数，则其反函数在对应区间上必存在极值点D.若f(x)在I上严格单调且可导，则其反函数在对应区间上也可导解析：本题考查反函数性质。选项A错误，单调连续函数必有连续反函数；选项B错误，严格单调可导函数的反函数必可导；选项C错误，如f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增无极值点；选项D正确，由反函数求导法则可知严格单调可导函数的反函数也可导。正确答案为D。2.已知函数f(x)=√(x^2+1)+√(x^2+2)，则f'(x)在x=0处等于（）A.0B.1C.√2D.2√2解析：本题考查复合函数求导。f'(x)=x/√(x^2+1)+x/√(x^2+2)，x=0时f'(0)=0+0=0。正确答案为A。3.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，且0<p<1，则级数∑(n=1to∞)(a_n)^p的敛散性为（）A.一定收敛B.一定发散C.可能收敛也可能发散D.与p的具体取值有关解析：本题考查级数比较判别法。由根值判别法可知，若∑a_n收敛，则lim(n→∞)√(a_n^p)=lim(n→∞)|a_n|^(p/2)=0，因此∑(a_n)^p收敛。正确答案为A。4.设函数f(x)在(0,1)内连续，且lim(x→0+)f(x)=+∞，lim(x→1-)f(x)=2，则下列命题正确的是（）A.f(x)在(0,1)内必有界B.f(x)在(0,1)内必有零点C.f(x)在(0,1)内必有最大值D.f(x)在(0,1)内必有最小值解析：本题考查连续函数性质。选项A错误，如f(x)=1/x在(0,1)内无界；选项B正确，由介值定理可知f(x)必取到[2,+∞)的值，因此必有零点；选项C错误，如f(x)=1/x在(0,1)内无最大值；选项D错误，f(x)可能在(0,1)内无最小值。正确答案为B。5.设矩阵A=(a_ij)为4阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A^的行列式|A^|等于（）A.2B.4C.8D.16解析：本题考查伴随矩阵性质。由公式|A^|=|A|^(n-1)可知|A^|=2^(4-1)=8。正确答案为C。6.设向量组α_1=(1,0,1)，α_2=(1,1,0)，α_3=(0,1,1)，α_4=(1,1,1)，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.4解析：本题考查向量组秩。将向量组写成矩阵形式并进行行变换：(101|110|011|111)→(101|110|011|111)→(101|110|011|000)，秩为3。正确答案为C。7.设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数，且E(X)=1，则E(X^2)等于（）A.1B.2C.3D.无法确定解析：本题考查随机变量期望性质。由E(X)=∫(-∞,+∞)xf(x)dx=1，且f(x)为偶函数，可知∫(-∞,0)xf(x)dx=∫(0,+∞)xf(x)dx=1/2，因此∫(0,+∞)xf(x)dx=1/2。又E(X^2)=∫(-∞,+∞)x^2f(x)dx=2∫(0,+∞)x^2f(x)dx，由对称性可知E(X^2)=2E(X)=2。正确答案为B。8.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,4)，则Z=2X-Y的分布为（）A.N(0,1)B.N(1,4)C.N(0,5)D.N(-1,9)解析：本题考查正态分布性质。由E(Z)=E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=0-1=-1，D(Z)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=4+4=8，因此Z~N(-1,8)。正确答案为D。9.设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)等于（）A.0.12B.0.42C.0.88D.0.98解析：本题考查概率运算性质。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.42=0.88。正确答案为C。10.设总体X的密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，则θ的矩估计量为（）A.1/2B.2/3C.1D.无法确定解析：本题考查矩估计法。E(X)=∫(0to1)xf(x;θ)dx=∫(0to1)θx^θdx=θ/(θ+1)，令θ=1/E(X)，则θ的矩估计量为θ=1/E(X)。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置上。）1.设函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在x=-1处的左导数f'_-(-1)等于________。2.若函数y=ln(1+2x)在x=0处的线性近似为y≈ax+b，则a+b=________。3.级数∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)(n+1)/(n^2+1)的前10项部分和S_10的值为________。4.若函数f(x)在x=0处有二阶导数，且lim(x→0)(e^x-1-f(x))/x^2=1/2，则f''(0)等于________。5.设矩阵A=(12;34)，矩阵B满足AB=0，则|B|等于________。6.设向量组α_1=(1,1,1)，α_2=(1,2,3)，α_3=(1,3,λ)，则λ=________时向量组线性相关。7.设随机变量X的分布律为P(X=k