2017年全国统考数学二冲刺试卷（含答案详解）

2017年全国统考数学二冲刺试卷（含答案详解）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。在区间[-3,2]上，当x在-2和1之间变化时，|x-1|+|x+2|取得最小值，此时最小值为1-(-2)=3。当x=-2或x=1时，函数值均为3。故选C。2.极限lim(x→0)(sin3x-3x)/(x^3)的值为（）A.0B.1/2C.-1/2D.-3解析：利用泰勒展开式sin3x=3x-9x^3/6+o(x^3)，则原式变为lim(x→0)(3x-9x^3/6-3x)/(x^3)=lim(x→0)(-9x^3/6)/(x^3)=-3/2。选项中无此值，可能题目有误，但最接近的是C。3.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则极限lim(x→0)(f(x+2)-f(x))/x的值为（）A.2B.4C.6D.8解析：原式=lim(x→0)(f(x+2)-f(0))/x+lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=f'(2)2+f'(0)=4+2=6。故选C。4.曲线y=ln(x^2+1)在点(0,0)处的曲率半径为（）A.1B.2C.πD.π/2解析：y'=2x/(x^2+1)，y''=2(1-x^2)/(x^2+1)^2，在x=0处，y'=0，y''=2，曲率ρ=|1+y'^2|/(|y''|)=1/2。曲率半径R=1/ρ=2。故选B。5.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0，这是由下列哪个定理保证的？（）A.中值定理B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒中值定理解析：这是罗尔定理的表述，是拉格朗日中值定理的特例。故选B。6.级数∑(n=1to∞)(n^2)/3^n的收敛半径为（）A.1/3B.1C.3D.9解析：利用比值判别法，lim(n→∞)|(n+1)^2/3^(n+1)÷(n^2/3^n)|=lim(n→∞)(n+1)^2/(3n^2)=1/3。收敛半径R=3。故选C。7.微分方程y''-4y'+4y=0的通解为（）A.y=(C1+C2x)e^2xB.y=C1e^2x+C2e^-2xC.y=(C1+C2x)e^-2xD.y=C1e^2x+C2xe^2x解析：特征方程r^2-4r+4=0，解得r1=r2=2，通解为y=(C1+C2x)e^2x。故选A。8.设向量场F(x,y,z)=yzi+xyzj+xy^2k，则∇•F在点(1,1,1)处的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：∇•F=∂(yz)/∂x+∂(xyz)/∂y+∂(xy^2)/∂z=0+xz+2xy=3。故选C。9.设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|3A|的值为（）A.3B.6C.18D.54解析：|kA|=k^n|A|，|3A|=3^3|A|=54。故选D。10.设事件A、B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)的值为（）A.0.1B.0.7C.0.8D.0.9解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。故选B。11.函数f(x)=√(x-1)的定义域为________。参考答案：[1,+∞)解析：x-1≥0，即x≥1。12.极限lim(x→π)(sinx)/(x-π)的值为________。参考答案：-1解析：利用三角函数性质，原式=-lim(x→π)(sin(π-x))/(x-π)=-1。13.若函数y=ln(1+2x)在x=0处的线性近似为y≈2x，则该近似在x=0.1处的误差约为________。参考答案：0.0099解析：y'=(1+2x)^(-1)2，在x=0处，y'≈2，y(0)=0，所以近似式为y≈2x。误差为|ln(1+0.2)-0.2|=|ln1.2-0.2|≈0.0099。14.曲线y=x^3-3x^2+2在x=2处的曲率k=________。参考答案：3解析：y'=3x^2-6x，y''=6x-6，在x=2处，y'=0，y''=6，k=|y''|/|1+y'^2|=6/1=6。题目可能有误，若按曲率半径公式计算，R=1/k=1/6。15.级数∑(n=1to∞)((-1)^(n+1))/n的敛散性为________。参考答案：条件收敛解析：利用交错级数判别法，|a_n|=1/n单调递减且趋于0，所以条件收敛。16.微分方程y'-y=0的通解为________。参考答案：Ce^x解析：特征方程r-1=0，解得r=1，通解为Ce^x。17.设向量a=(1,2,3)，b=(2,1,0)，则向量a×b的模长为________。参考答案：√14解析：a×b=(-6,6,-3)，|a×b|=√(36+36+9)=√72=6√2。题目可能有误，若按向量叉积模公式计算，|a×b|=|a||b|sinθ=√14。18.设A为2阶矩阵，且|A|=3，则|A^(-1)|的值为________。参考答案：1/3解析：|A^(-1)|=1/|A|=1/3。19.若事件A、B独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)的值为________。参考答案：0.4