2018考研全国统考数学二冲刺试卷（附解析版）

2018考研全国统考数学二冲刺试卷（附解析版）一、单项选择题（总共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A.存在唯一的c∈(a,b)，使f'(c)=0B.至少存在一个c∈(a,b)，使f'(c)=0C.存在c1,c2∈(a,b)，使f'(c1)=f'(c2)D.不存在c∈(a,b)，使f'(c)=0解析：根据罗尔定理，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在唯一的c∈(a,b)，使f'(c)=0。选项A正确。选项B中“至少存在”与罗尔定理的“唯一”矛盾；选项C中未体现f(a)=f(b)的条件；选项D与罗尔定理结论直接矛盾。2.若级数∑(n=1→∞)an发散，且an>0，则级数∑(n=1→∞)an^2（）A.必收敛B.必发散C.可能收敛也可能发散D.与an的敛散性无关解析：由于an>0且级数发散，说明lim(n→∞)an≠0，因此lim(n→∞)an^2≠0，级数∑an^2发散。选项B正确。例如取an=1/n，则∑an发散但∑an^2=∑1/n^2收敛，因此选项C错误。3.设函数y=ln(x+√(x^2+1))，则y'（）A.x/(x^2+1)B.1/(x+√(x^2+1))C.1/(√(x^2+1))D.x/(√(x^2+1))解析：令u=x+√(x^2+1)，则y=ln(u)，y'=1/u•u'。计算u'=1+(x/(√(x^2+1)))，因此y'=1/(x+√(x^2+1))•(1+x/(√(x^2+1)))=1/(√(x^2+1))。选项C正确。4.设函数f(x)满足f"(x)+f(x)=0，且f(0)=1，f'(π/2)=1，则f(x)（）A.=sin(x)+cos(x)B.=cos(x)+sin(x)C.=sin(x)-cos(x)D.=cos(x)-sin(x)解析：特征方程r^2+1=0的解为r=±i，通解为f(x)=C1cos(x)+C2sin(x)。由f(0)=1得C1=1，由f'(π/2)=1得C2=1，因此f(x)=cos(x)+sin(x)。选项B正确。5.设矩阵A=(a1,a2,a3)，其中a1=(1,0,1)T，a2=(0,1,1)T，a3=(1,1,0)T，则下列向量在A的列空间中的是（）A.(1,1,1)TB.(1,0,0)TC.(0,1,1)TD.(0,0,1)T解析：A的列空间为a1,a2,a3的线性组合空间。验证选项A：(1,1,1)T=1•a1+0•a2+0•a3，因此A的列空间包含(1,1,1)T。选项A正确。其他选项均无法表示为a1,a2,a3的线性组合。6.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为（）A.2和-2B.2和-1C.3和-2D.3和-1解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2。计算f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。因此最大值为2，最小值为-2。选项A正确。7.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且AB=0，则（）A.B=0B.|A|=0C.|B|=0D.A或B中至少有一个不可逆解析：由AB=0得|AB|=|A||B|=0，因此|A|=0或|B|=0。由于A可逆，|A|≠0，故|B|=0。选项C正确。8.设函数f(x)在[0,1]上连续，且∫(0→1)f(t)dt=1，则下列不等式正确的是（）A.f(1)>1B.f(0)=1C.∫(0→1)f(x)cos(x)dx=1D.∫(0→1)f(x)dx≥1解析：由积分中值定理，存在ξ∈(0,1)，使f(ξ)=1。选项A错误；选项B无依据；选项C无依据；选项D正确，因为f(x)连续且积分值为1，必然存在某段区间使得f(x)≥1。9.设幂级数∑(n=0→∞)an(x-2)^n的收敛半径为2，则幂级数∑(n=0→∞)an(x+1)^n的收敛区间为（）A.(-3,1)B.[-3,1]C.(-1,3)D.[-1,3]解析：原级数的收敛半径为2，中心为x=2，因此收敛区间为[0,4]。令x+1=t，则x=t-1，原级数变为∑an(t-1)^n，收敛区间为[-1,3]。选项D正确。10.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则下列结论正确的是（）A.存在c∈(0,1)，使f(c)=0B.存在c∈(0,1)，使f'(c)=0C.f(x)在[0,1]上单调D.f(x)在[0,1]上恒为常数解析：根据罗尔定理的推论，若f(0)=f(1)，则存在c∈(0,1)，使f'(c)=0。选项B正确。其他选项无依据：例如f(x)=x(1-x)满足条件但非单调；f(x)未必有零点；未必恒为常数。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若lim(x→0)(1-cos(2x))/x^2=λ，则λ=__________。参考答案：2解析：利用等价无穷小1-cos(2x)≈(2x)^2/2，则原式=lim(x→0)(4x^2/2)/x^2=2。2.设函数f(x)=x^2ln(1+x)，则f'(0)=__________。参考答案：0解析：f'(x)=2xln(1+x)+x^2/(1+x)，f'(0)=lim(x→0)(x^2ln(1+x)/x^2)=0。3.级数∑(n=1→∞)(-1)^n/(n+1)的敛散性为__________。参考答案：收敛解析：利用莱布尼茨判别法，(-1)^n/(n+1)单调递减且lim(n→∞)(-1)/(n+1)=0，故收敛。4.设函数y=arctan(x^2)，则y'=(__________)。参