2018数学三习题集（可打印版）

2018数学三习题集（可打印版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)满足方程f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2，则f(0)的值为（）A.1B.0C.-1D.-2解析：根据函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的性质，令x=y=0，得到f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0。因此正确选项为B。2.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(0)=f(1)=0，f(x)≠0。则对任意a∈(0,1)，存在唯一的点ξ∈(0,1)，使得（）A.f'(\xi)=0B.ξ+a=f'(\xi)C.ξf'(\xi)=1D.ξf'(\xi)=f(a)解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)，则存在唯一的ξ∈(0,1)，使得f'(\xi)=0。因此正确选项为A。3.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为（）A.4B.2C.0D.-2解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。计算端点值f(-2)=-2，f(0)=2，f(2)=0，以及驻点值f(0)=2，f(2)=0。因此最大值为2，正确选项为B。4.设函数f(x)=ln(1+x)在x=0处展开的麦克劳林级数的前三项为（）A.x-x^2/2+x^3/3B.1-x+x^2C.x+x^2/2+x^3/3D.1-x/2+x^2/3解析：ln(1+x)的麦克劳林级数展开为x-x^2/2+x^3/3+...，因此前三项为x-x^2/2+x^3/3，正确选项为A。5.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足∫[0,1]f(x)dx=1，则∫[0,1]f(1-x)dx的值为（）A.1B.-1C.0D.1/2解析：令t=1-x，则dx=-dt，积分区间变为[1,0]，因此∫[0,1]f(1-x)dx=-∫[1,0]f(t)dt=∫[0,1]f(t)dt=1，正确选项为A。6.设函数f(x)在(0,1)内可导，且满足f(x)=x^2lnx，则f(x)的极小值为（）A.0B.-1/4eC.1/4eD.-1/4解析：求导数f'(x)=2xlnx+x，令f'(x)=0，解得x=1/e。计算二阶导数f''(x)=2lnx+3，在x=1/e时f''(1/e)=3-2ln(1/e)=5>0，因此x=1/e为极小值点。极小值为f(1/e)=(1/e)^2ln(1/e)=-1/4e，正确选项为B。7.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(x)=∫[0,x]t^2f(t)dt，则f(1)的值为（）A.1/3B.1/6C.1/9D.1/12解析：对等式两边求导，得到f'(x)=x^2f(x)，分离变量积分得到f(x)=Ce^(-x^3/3)，由f(0)=0，得C=0，因此f(x)=0。因此f(1)=0，正确选项为B。8.设函数f(x)=x^2e^(-x)，则f(x)在区间[0,2]上的平均值等于（）A.1-e^(-2)B.1-2e^(-2)C.e^(-2)D.1+e^(-2)解析：函数在[0,2]上的平均值等于∫[0,2]x^2e^(-x)dx/(2-0)。令t=x，则积分变为-∫[0,2]x^2e^(-x)dx=-[x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2e^(-x)]|_[0,2]=1-2e^(-2)，正确选项为B。9.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(x)=√(1+x^2)f(0)，则f(0)的值为（）A.1B.0C.-1D.1/2解析：令x=0，得到f(0)=√(1+0^2)f(0)，解得f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)恒为0，满足条件；若f(0)=1，则f(x)=√(1+x^2)，不满足f(0)=√(1+0^2)f(0)，因此f(0)=0，正确选项为B。10.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(x)=∫[0,x]f(t)dt，则f(x)的表达式为（）A.xB.x^2C.e^x-1D.1-e^(-x)解析：对等式两边求导，得到f'(x)=f(x)，解得f(x)=Ce^x，由f(0)=0，得C=0，因此f(x)=0。因此f(x)=0，正确选项为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.若函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为________。参考答案：24解析：求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。计算端点值f(-2)=-5，f(2)=5，以及驻点值f(-1)=3，f(1)=-1。最大值为5，最小值为-5，差为10。因此答案为10。2.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的切线方程为y=3x-4，则f(0)的值为________。参考答案：2解析：切线方程y=3x-4的斜率为3，因此f'(2)=3，即12-12+2=3，满足条件。由f(x)=x^3-3x^2+2，得f(0)=2，因此答案为2。3.若函数f(x)=∫[0,x]t^2e^tdt，则f'(x)的值为________。参考答案：x^2e^x解析：根据牛顿-莱布尼茨公式，f'(x)=x^2e^x，因此答案为x^2e^x。4.若函数f(x)=ln(1+x)在x=0处展开的泰勒级数的前三项为________。参考答案：x-x^2/2+x^3/3