【2017考研】全国统考数学三习题集（含答题卡）

【2017考研】全国统考数学三习题集（含答题卡）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论中错误的是（）A.存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0B.对任意t∈(a，b)，存在ξ∈(a，b)，使得f(t)=f(a)+f'(ξ)(t-a)C.若f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)恒等于常数D.存在c₁，c₂∈(a，b)，使得f'(c₁)•f'(c₂)=-1【答案】D【解析】根据罗尔定理，因f(a)=f(b)，故存在c∈(a，b)，使得f'(c)=0，A正确。根据拉格朗日中值定理，对任意t∈(a，b)，存在ξ∈(a，b)，使得f(t)=f(a)+f'(ξ)(t-a)，B正确。若f(x)在(a，b)内单调递增，则f'(x)≥0，结合f(a)=f(b)，可得f(x)恒等于常数，C正确。举反例：取f(x)=x在[-1,1]上，f'(x)=1，不存在c₁，c₂∈(-1,1)，使得f'(c₁)•f'(c₂)=-1，D错误。2.设函数f(x)=∫₍ₓ²₎^₁(1+t²)dt，则f'(x)等于（）A.1-x⁴B.x(1+x⁴)C.1+x⁴D.-x(1+x⁴)【答案】D【解析】根据变限积分求导公式，f'(x)=(1+x²)•(x²)'-(1+1²)•(x)'=(1+x²)•2x-2x=2x+2x³-2x=2x³，代入f(x)表达式可得f(x)=∫₍ₓ²₎^₁(1+t²)dt=∫₅^₁(1+t²)dt-∫₅^ₓ²(1+t²)dt=F(1)-F(x²)，其中F'(t)=1+t²，故f'(x)=-F'(x²)•(x²)'=-(1+x⁴)•2x=-2x(1+x⁴)，答案为D。3.设函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)且f(x)在x=0处可导，则f'(0)等于（）A.0B.1C.-1D.2f'(0)【答案】A【解析】令g(x)=f(1+x)-f(1-x)，则g(x)在x=0处连续且可导，g(0)=f(1)-f(1)=0。g'(x)=f'(1+x)•(1+x)'-f'(1-x)•(1-x)'=f'(1+x)+f'(1-x)，故g'(0)=f'(1)+f'(1)=2f'(1)。又因g(x)为偶函数，g'(-x)=g'(x)，故g'(0)=g'(0)=2f'(1)，即2f'(1)=0，得f'(1)=0。令x=1，得f(2)=f(0)，故f(x)在x=0处连续，f(0)=f(2)=0。根据导数定义，f'(0)=limₓ→₀[f(0+x)-f(0)]/x=limₓ→₀f(x)/x=limₓ→₀f(x)/x=0，答案为A。4.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且AB=I，则下列结论中错误的是（）A.B=A⁻¹B.A=B⁻¹C.det(AB)=det(A)•det(B)D.det(A)•det(B)=1【答案】C【解析】因AB=I，故det(AB)=det(I)=1。根据行列式乘法公式，det(AB)=det(A)•det(B)，得det(A)•det(B)=1，D正确。由det(A)•det(B)=1，可得det(A)≠0且det(B)≠0，故A，B均可逆。由AB=I，可得B=A⁻¹，A=B⁻¹，A，B互为逆矩阵，A，B可逆，C错误。5.设函数f(x)在区间(a，b)内连续，且对任意x₁，x₂∈(a，b)，当x₁<x₂时都有f(x₁)<f(x₂)，则下列结论中不一定正确的是（）A.f(x)在(a，b)内单调递增B.f(x)在(a，b)内可导C.对任意c∈(a，b)，limₓ→c⁺f(x)存在D.对任意c∈(a，b)，limₓ→c⁻f(x)存在【答案】B【解析】因对任意x₁，x₂∈(a，b)，当x₁<x₂时都有f(x₁)<f(x₂)，故f(x)在(a，b)内单调递增，A正确。f(x)在(a，b)内连续，故对任意c∈(a，b)，limₓ→c⁺f(x)=limₓ→c⁻f(x)=f(c)存在，C，D正确。反例：取f(x)=|x|在(-1,1)内，f(x)单调递增且连续，但在x=0处不可导，B错误。6.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=1，f(1)=0，则下列结论中正确的是（）A.存在x₀∈(0,1)，使得f(x₀)=1B.存在x₀∈(0,1)，使得f(x₀)=-1C.对任意x∈(0,1)，f(x)>0D.存在x₀∈(0,1)，使得f'(x₀)=1【答案】D【解析】因f(0)=1，f(1)=0，故f(x)在[0,1]上不恒等于常数。根据介值定理，若f(x)在[0,1]上连续，则对任意μ∈(f(0)，f(1))=(0,1)，存在x₀∈(0,1)，使得f(x₀)=μ。A正确。因f(0)=1>0，f(1)=0<1，故f(x)在[0,1]上不恒小于0，C错误。B错误，因f(x)在[0,1]上不恒小于-1。根据拉格朗日中值定理，因f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，故存在x₀∈(0,1)，使得f'(x₀)=(f(1)-f(0))/(1-0)=-1，D错误。正确答案为A。7.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(0)=0，f(1)=1，则下列结论中正确的是（）