【2018考研】全国统考数学一期中试卷（含答案详解）

【2018考研】全国统考数学一期中试卷（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)=-2，则当x→x₀时，f(x)的线性主部是（）A.-2(x-x₀)B.2(x-x₀)C.-2x₀D.2x₀2.已知函数f(x)在区间[0,2]上连续，且满足∫₀²f(x)dx=5，则函数F(x)=∫₀ˣf(t)dt在x=1处的切线方程为（）A.y=5x-5B.y=2x-1C.y=5x-10D.y=2x+13.设向量a=(1,2,-1)，b=(2,-3,4)，则向量a与b的向量积a×b等于（）A.(5,-6,-7)B.(14,-6,7)C.(-14,6,-7)D.(-5,6,7)4.已知函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的二阶泰勒展开式为T(x)，则T(0.1)的近似值为（）A.0.1B.0.095C.0.105D.0.15.设线性方程组Ax=b的增广矩阵为(Α|b)，若秩(A)=2，秩(Α|b)=3，则此方程组（）A.无解B.有唯一解C.有无穷多解D.解不确定6.已知矩阵A=|12|，B=|34|，则矩阵A与B的乘积AB等于（）A.|58|B.|710|C.|912|D.|1114|7.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X≤1)等于（）A.F(1)B.1-F(1)C.F(1)-F(0)D.1-F(0)8.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知，则样本均值X̄是μ的无偏估计量，其方差为（）A.σ²B.σ²/nC.nσ²D.1/σ²9.已知事件A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)等于（）A.0.12B.0.42C.0.88D.0.7810.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,1)，则Z=2X-Y的分布为（）A.N(0,1)B.N(1,1)C.N(0,5)D.N(1,5)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.若函数f(x)=x³-3x+1在x=1处的导数为0，则f(x)在x=1处的二阶导数f''(1)等于________。2.已知曲线y=ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=kx，则k等于________。3.设向量a=(1,2,3)，b=(2,0,-1)，则向量a在向量b方向上的投影长度为________。4.若函数f(x)=eˣ在x=0处的三阶麦克劳林展开式为T(x)，则T(x)中x³项的系数为________。5.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A为3阶矩阵，且秩(A)=2，则该方程组的基础解系中含有个自由变量________。6.已知矩阵A=|10|，B=|01|，则矩阵A与B的乘积AB等于________。7.设随机变量X的分布列为P(X=k)=k/15，k=1,2,3,4,5，则E(X)等于________。8.设总体X服从二项分布B(n,p)，其中n=5，p=0.6，则P(X=3)等于________。9.设事件A与B互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∪B)等于________。10.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则P(X²+Y²≤1)等于________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.若函数f(x)在点x₀处可导，则f(x)在x₀处必连续。（）2.若函数f(x)在区间[0,2]上连续，则∫₀²f(x)dx一定存在。（）3.设向量a=(1,2,3)，b=(2,4,6)，则向量a与b共线。（）4.若函数f(x)在x=0处的二阶泰勒展开式为T(x)，则f(0)=T(0)。（）5.设线性方程组Ax=b有解，则其增广矩阵(Α|b)的秩等于系数矩阵A的秩。（）6.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵Aᵀ也可逆。（）7.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)必单调不减。（）8.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知，则样本方差S²是σ²的无偏估计量。（）9.设事件A与B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则P(A|B)=P(A)。（）10.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则X²与Y²相互独立。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.简述导数的几何意义是什么？2.简述定积分的物理意义是什么？3.简述向量积的定义及其性质。4.简述泰勒级数的定义及其应用。5.简述线性方程组有解的判定条件。6.简述矩阵可逆的充分必要条件。7.简述随机变量的期望和方差的定义。8.简述事件独立性的定义及其性质。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请根据要求解答下列问题。）1.设函数f(x)=x³-3x+1，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。2.计算定积分∫₀¹(x²+1)dx的值。3.求向量a=(1,2,3)与b=(2,0,-1)的向量积，并验证向量积的性质。4.将函数f(x)=eˣ在x=0处展开成三阶麦克劳林级数。5.解线性方程组Ax=b，其中A=|12|，b=|3|。6.计算随机变量X的期望和方差，其中X的分布列为P(X=k)=k/15，k=1,2,3,4,5。7.设事件A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，求P(A∪B)和P(A|B)。8.设随机变