武理工高等机构学课件第7章 机构动力学的基础知识

第七章机构动力学的基础知识学习目标7.17.2刚体动力学基础平面机构动力学分析刚体的线动量、角动量和质量参数惯量矩阵的变换及惯量椭球分离体分析法连杆机构力分析的虚功方法7.1刚体动力学基础7.1.1刚体的线动量、角动量和质量参数

做空间运动的质量为m的刚体，其上的连体坐标系为

，角速度为刚体质心的坐标在C点，质心的坐标可按如下积分求得：

（7-1）当坐标原点与质心重合时，，质心的矢径为零。

刚体线动量P是刚体内所有各质点动量的矢量和，即

（7-2）由式（7-1）得

（7-3）上式括号中的矢量和就是质心的速度。所以作空间运动的刚体的线动量就等于质心速度与刚体质量的乘积，，写为列阵形式为由于质点m的动量对于点O之矩定义为质点对点O的动量矩，或称角动量，即

。动量矩是矢量，方向有r与v之叉积决定。刚体对点O的角动量是刚体中所有格质点对于同一点O的角动量的和

（7-4）

展开积分号内的矢量叉积有

（7-5）如果刚体作绕固定点转动，原点O置于固定点，有。或者将原点O选在质心，则积分。这两种情况下，刚体对O点的角动量简化为

（7-6）将叉积展开后得

（7-7）将矢量r和同时在动系中分解，，则

（7-8）上式可进一步表示为

（7-9）式中，的关于动系的三个分量记以。

定义：

分别称之为刚体m对轴x,y和z的惯性矩。三个积分为

分别称之为刚体m对轴xy,yz和zx的惯性积。积分称为极惯性矩。它与三个轴惯性矩有如下关系：将以上各定义所代表队参量带入式（7-9）得最后，上式可表示为如下的简洁形式：

（7-10）式中

（7-11）

这里由惯性矩及惯性积构成的3ⅹ3惯量矩阵[I]是对称矩阵。各元素之量纲均为

。

在对角线上的元素是惯性矩，其他为惯性积。此二阶矩阵表示的是一个二阶惯量张量。7.1.2惯量矩阵的变化及惯量椭球

因为惯量矩阵的数值与坐标系的位置和方向有关，下面分两种情况讨论惯量矩阵在不同坐标系中如何计算。1.坐标系平移的情况式（7-10）中惯量矩阵[I]也可以写成张量形式。根据式（7-7）有

（7-12）当点

与质心

不重合时，以

和

表示

相对点

和点P相对

的矢径，如图7-1，则有将上式代入式（7-12），利用

导出

（7-13）式中，为刚体对质心的惯量张量。

图7-1原点

与质心

确定以后，可利用式（7-13）计算刚体对任意点O的惯量张量。

式（7-13）各项向Oxyz投影写成矩阵形式如下：

（7-15）式中，

为刚体对质心的惯量张量相对

为原点平行与Oxyz各坐标轴的投影矩阵。因此已知刚体相对质心的惯量矩阵，可利用式（7-15）计算刚体相对任意点O的惯量矩阵。2.不同方向坐标系之间惯量矩阵的变换对角速度在两个坐标系中的分量写出如下变换：

（7-16）上式表示同一构件上的角速度在两个不同坐标系中的分量的变换关系。其中为方向余弦矩阵。刚体转动动能按两不同坐标系可以写为两种形式，但两种形式计算的动能应相等，有

（7-17）将式（7-16）代入化简可得

（7-18）所以惯量矩阵从一坐标系到另一坐标系的变换，只需以坐标变换矩阵对该惯量矩阵作正交表换。经正交变换的惯量矩阵认为对称矩阵。3.惯量主轴线性代数中证明，实对称矩阵必可由式（7-18）所表示的相似正交变换转化为对角阵，使变换后的所有非对角线元素均为零，即

（7-19）这时惯量矩阵有特别简单的形式

（7-20）与上式对应的连体坐标系称为刚体的主轴坐标系，各坐标轴称为刚体的惯量主轴。

刚体相对主轴坐标系的惯量积为零，对角线元素

称为刚体的主惯量矩。刚体相对不同参考点有不同的惯量主轴和猪惯量矩，其中对质心的惯量主轴和主惯量矩分别称为刚体的中心惯量主轴和中心主惯量矩。由线性代数之

称为矩阵

的特征值。下面简单介绍求矩阵

与特征值

的方法。

式（7-19）可写为

（7-21）将

的第i列记为

,即

（7-22）则上面的关系式又可以表示为下列三个关系式：

或（7-23）式中，E为单位矩阵。上式右边的O是三维向量，注意到是正交矩阵，的元素的平方和为1，因此方程组(7-24)有非零解

,因此，或者说

是方程

（7-25）的一个根。当

确定后就可求出主轴的三个向量。

4.惯量椭球惯量张量是表征刚体相对某个点的质量分布状况的物理量。为了能直观地表达出质量分布状况，潘索（PoinsotL）提出了惯量椭球概念。

设过点O的任意轴P相对连体坐标系（Oxyz）的方向余弦为（l,m,n）,刚体相对点O的惯量张量I，相对此坐标系的惯量矩阵

如式（7-11）所示，利用转轴公式（7-18）的第一行第一列元素，写出刚体对P轴的惯量矩

为

（7-26）在轴P上选取点P，规定点P至点O的距离R与惯量矩的平方根成反比，即

（7-27）式中，k为任意选定的比例系数。点P的坐标（x,y,z）为

（7-28）改变P的方位，及R都随之改变，P在空间的轨迹形成一封闭曲面。将式（7-26）图7-2惯量椭球各项乘以

,考虑式（7-27）和式（7-28），得点P的轨迹方程为

(7-29)即以O为中心的椭球面方程。所包围的椭球称为刚体相对点O的惯量椭球，它形象化地表示出刚体对过点O的所有轴的惯量矩分布状况。

椭球的3根主轴对应于刚体的3根惯量主轴。刚体相对质心的惯量椭球称为中心惯量椭球。刚体的质量为对称分布时，其惯量椭球为旋转椭球，极轴及赤道面内的任意轴都是惯量主轴。刚体质量为球对称分布时，其惯量椭球为圆球，所以过点O的轴都可看作是惯量主轴。例7.1试计算图7.3所示刚体相对其主轴坐标系Oxyz，绕轴Oy转动角后的位置的惯量矩阵。设A,B,C为刚体的主惯量矩。

解利用式（7-18）导出

图7.3例7.2均质长方体的边长分别为2a、2b、2c，如图7-4所示，计算其相对点O的惯量矩阵。如令m=1、a=b=c=1，再计算此正方形对点O的主惯量矩和对应的惯量主轴。

解均质立方体的中心主惯量矩为利用式（7-15）算出刚体对点O的惯量矩阵为将m=1,a=b=c=1代入上式，得到图7.4的特征方程为解出的特征值S即为刚体对点O的主惯量矩：与对应的惯量主轴的方向余弦取决于以下齐次方程：解出l:m:n=1：1：1，此惯量主轴的方向余弦为即沿过脚点O的正方体对角线。与对应的惯量主轴的方向余弦l、m、n需满足唯一的齐次方程：即垂直于正方体对角线的任意方向7.2.1机构力分析的目的7.2平面连杆机构的动力分析1）确定运动副中的反力，亦即运动副两元素接触处的相互作用力。这些力的大小和变化规律，对于计算机构各零件的强度，决定运动副中的摩擦、磨损，确定机构的效率及其运转时所需的功率，都是极为重要而且必需的资料。2）确定机构原动件按给定规律运动时需加于机械上的平衡力(或平衡力矩)。所谓平衡力(或平衡力矩)是指与作用在机械上的已知外力及按给定规律运动时与各构件的惯性力(惯性力矩)相平衡的未知外力(外力矩)。求得机械的平衡力(或平衡力矩)，对于确定原动机的功率，或根据原动机的功率确定机械所