武理工高等机构学课件第8章 机构的平衡方法

第八章机构平衡的方法8.1平面连杆机构的震动力完全平衡用附加杆组法完全平衡平面机构的震动力加配重完全平衡平面连杆机构的震动力8.2平面连杆机构的震动力和震动力矩完全平衡学习目标8.3平面连杆机构的震动力和震动力矩完全平衡—采用变转速转子平衡方法8.4空间机构的震动力和震动力矩的平衡8.5机构能量和输入扭矩的平衡平面连杆机构的输入扭矩和动能公式基本概念震动力矩的平衡震动力的平衡平面四杆机构的震动力矩公式及其平衡条件平面连杆机构的震动力和震动力矩矩公式平面连杆机构震动力矩完全平衡的其他方法确定待定常数C变速转子转动规律确定附加变速转子平衡输人扭矩研究机构平衡的必要性：减小机构、机座的振动噪声；减轻运动副的摩擦和磨损；提高机构的工作速度平衡对象：

震动力，震动力矩，机构的动能，输入扭矩等。有时也进行以消除或减小运动副中动反力为主要目的的平衡

震动力（ShakingForce）：机构传给机座的总和力

震动力矩（ShakingMoment）：机构传给机座的和力矩

机构的动能和输入扭矩（InputTorque）：既与震动力矩有关，又直接影响机构输入件转速的均匀性研究方法：

为了同时平衡震动力和震动力矩，通常可以在一些构件上加配重（质量再分布）的同时，增加成对的齿轮或变速传动构件，或采用附加子机构的方法

对于机构的动能或输入扭矩的均匀化或按一定规律的综合问题，常使用配重、附加机构、或使用飞轮、弹性轴和弹簧等。

对于机构中作往复运动或平面复合运动的构件,其在运动中产生的震动力则不可能在构件本身上予以平衡,所以必须就整个机构设法加以平衡。当机构运动时,其各运动构件所产生的震动力可以合成为一个通过机构质心的总震动力和一个总震动力矩,这个总震动力和总震动力矩全部由基座承受。因此,为了消除机构在基座上引起的动压力,就必须设法平衡这个总震动力和总震动力矩。故机构平衡的条件，是作用于机构质心的总震动力FI和总震动力矩MI分别为零,即FI=0;MI=0因在实际的平衡计算中,总震动力矩对基座的影响应当与驱动力矩和阻抗力矩（它们与机械的工作性质有关,单独平衡往往无意义）一并来研究,故这里只研究总震动力的平衡问题。由于机构的总震动力为FI＝-mas,且质量m不可能为零,所以欲使总震动力为零,必须使as＝0,即应使机构的质心静止不动，

因此,在对机构进行平衡时,就是运用增加平衡质量等方法,使机构的质心静止不动。§8.1平面连杆机构的震动力完全平衡8.1.1加配重完全平衡平面连杆机构的震动力1.用配重平衡震动力时所需最少配重数

用加配重（构件质量再分布）来平衡机构的震动力是最简单、易行的方法。当且仅当机构的每一运动杆至机架都存在一条由转动副组成的运动链时，才可用配重使机构的震动力完全平衡。如一单环机构中含有两个移动副，则不可能用配重使其震动力完全平衡。

由于每一独立环中可以有一活动构件上不加配重，则最小配重数C应为

（8-1）式中，n为机构的构件数，L为独立环数。将式的关系代入（8-1）得

（8-2）

对于自由度为1的机构，将关系式代入式（8-2）得

（8-3）2.用线性无关向量法平衡机构的震动力如图所示，为一平面四杆机构，各杆长度ai（i=1、2、3、4），各运动杆的质量mi（i=1、2、3，下同），各动杆质心si在构件坐标中的极坐标为（ri，θi），各动杆的转角为φi。令M为各运动杆的总质量，rs为各运动杆总质心的向径，rsi为各运动杆质心si在固定坐标系中的向径。机构的震动力可表示为

震动力完全平衡的条件可表示为

（8-4）此即各运动构件的总质心静止的条件。采用复数向量表示可得

（8-5）图8-1平面四杆机构代入式（8-4）得

（8-6）

上式中的单位向量、、不是线性无关的，它们之间存在以下的关系——机构的环方程：

（8-7）由上式中解出一个单位向量，如，代入式（8-6），整理后得到

（8-8）上式为线性无关向量的组合。当变向量系数、为0时

（8-9）

（8-10）机构的总质心S将在以下位置固定不动：

（8-11）

由图8-1所示连杆上的三角形得出将上式代入式（8-9），结合式（8-10），可得到如下的一般四杆机构震动力完全平衡的条件：

（8-12）

（8-13）

以上条件说明，三个运动构件中如有一构件的质量和质心位置预先确定，则另外两构件的质量和质心位置须由震动力完全平衡条件确定。如连杆2的质量和质心位置给定（任意），则杆l和杆3的质量与质心位置向量的“质径积”和方位可由式（8-12）和式（8-13）确定。当机构尺寸和结构一的情况下.这只有在杆1和3上加配重才能实现:。设在构件i上加的配重质量为、质心所在半径与方位角为与，未加配重前构件的质量与质心位置参数为，，，加配重后成为

、

，

，（图8-2）。则配重的质径积和方位可由以下公式计算:

（8-14）

（8-15）图8-2构件加配重后质径积计算图8.1.2用附加杆组法完全平衡平面机构的震动力对于一个环中包括有多于一个移动副的平面机构，不能用加配重的方法使其震动力完全平衡。现以平面2R2P机构为例来说明。机构的简图、坐标系与符号选取见图8-3（其中左边表示2R2P机构）。机构的各运动构件(1、2、3）的总质心S

的向径为

（8-16）上式中各构件质心的向径为

（8-17）同时，由图看出图8-3平面2R2P机构的平衡将式（8-17)）代入式（8-16）

，得

（8-18）式中

（8-19）

（8-20）

（8-21）式(8-18)中φ1与S3

为变量，虽然可写出此包含φ1与S3的机构环方程，但因还含有变量S2,故不能用来消去此式中一变量。因而式（8-18)即为线性元关向量方程。震动力完全平衡的条件为其变向量的系数为0。由K1=0,并注意到eiπ=-1，得或

（8-22）由K2=0，则得m3=0。这条件不可能满足，即此机构不可能用加配重的方法使其震动力完全平衡，此时，由m3

留下的不平衡震动力为。由式（8-22）可以看出，构件2的质心位置并不影响震动力的平衡。为了制造方便，常取θ2=0。为了完全平衡此机构的震动力，可采用附加杆组（如图8-3中的构件5、6）的方法。这时，机构运动构件的总质量

M*=M+m5+m6总质心的位置向量rs*则为

（8-23）联系着上式中各变向量的有两个环方程，即

（8-24）

（8-25）将式（8-24）中的，和式（8-25）

中的

代入式（8-23）

，整理后得

（8-26）式中震动力完全平衡的条件为K1=K2=K3=0，即以上条件可整理为

（8-27）由以上条件可见，震动力的平衡条件与θ2

、r2

、θ3

、r3

、a3、β等参数无关，因而这些参数可以任选。如已知滑块质量m2

、m3，可由以上条件确定mlr1

、m5r5、m6r6，进一步可以计算应加在杆1、5、6上的配重。为了结构简单起见，若取θ2=0，r3=α3=0，所得到的震动力完全平衡的机构如图8-4所示。图8-4震动力完全平衡的机构8.2平面连杆机构的震动力和震动力矩完全平衡8.2.1平面连杆机构的震动力和震动力矩矩公式震动力矩是机构传给基座的总力矩。以图所示的单自由度的简单机构为例，如驱动结构的电动机装在同一基座上，对任选参考点0的震动力矩:式中是机构支座反力对O点的力矩；是构件i的惯性力和惯性力矩。图9.5平面四杆机构根据动量矩定理，对于n个构件组成的平面机构（件n为固定件，件1为原动件），各构件动量矩导数：

式中ki为杆i的回转半径；φi是杆i的角位置，此角由x轴的正向度量到该杆上两转动副的连线。机构所有外力对O点的矩可写为：MeiFei

为作用在杆i上的外力矩与外力；rei为外力Fei作用线上一点的向径；MkiFki为构件k对杆件i的反力矩和反力；Mg1为固定件对件1的力偶矩；Fgj为固定在第j个接地副给构件的反力。根据M0=,可得：上式左侧几位震动力矩MS0,如不计外力和外力矩的影响，则8.2.2平面四杆机构的震动力矩公式及其平衡条件前面讨论了一般情况下的震动力矩公式。本节推导一般四杆机构的震动力矩公式。机构的动量矩为：写成标量形式：式中（xi，yi）为构件i的质心Si在原点为O的任意坐标系的坐标。取θ4=0，则xi，yi可以写为:将上式中个xiyi及其导数代入式（9-34中）。得：式中HA0为对固定铰销A0点的动量矩，即：对于震动力完全平衡的四杆机构，由于质心不动，由此可以看出动量矩与参考点无关。8.2.3平面连杆机构震动力矩完全平衡的其他方法由上述分析可知，只靠各运动件上质量的再分配，不可能使四杆机构的震动力矩得到平衡，更不可能使一般平面机构的震动力矩得到平衡。以下来介绍两种能完全平衡震动力矩的方法。1.铰接二杆组的平衡方案一在杆2上加平衡重，这样使杆2的质量中心移到A点。然后再加质量为mcω1的平衡重就能达到震动力的完全平衡。震动力矩的完全平衡是通过4个齿轮的惯性配重3-6来实现的，其中一个为行星轮安装在杆2上。图9.6.1铰接二杆组的平衡方案一方案二齿轮3安装在机架上并通过杆1’，与杆2以及齿轮3铰接形成一平行四边形机构，这样齿轮3与杆2的角加速度始终保持相等。原理：在杆2上架了1个平衡重，它可以将连杆2和滑块3的质心转移到铰链A的中心点。那么，通过一定质量的平衡重，整个机构的质心被移到了枢轴的中心点O上。震动力矩的完全平衡是通过是个齿轮的惯性平衡重实现的。图9.6.1铰接二杆组的平衡方案二2、含有3转动副构件的多杆机构震动力和震动力矩完全平衡对含有3转动副构件的机构，首先要把该构件用3个分布在运动副的集中质量对原构件的质量进行动代换。

一般来说，这样一个不对称构件质量的中心点位于由三点组成的三角形中。动态代换质量的条件如下：

图9.7曲柄滑块机构的两种平衡方案式中mAmBmC是点质量;lA、lB、lC是相应点的半径向量的模；θA、θB、θC是半径向量角度位置；m2是构件的质量；Isi是构件通过Si点轴的转动惯量（构件的轴向转动惯量）。由此确定出：式中DA、DB、DC、Di是从上述方程组中得到的三阶行列式。图9.8构件质量动代换到三个转动副下面来考虑下Stephenson型连杆机构震动力和震动力矩的完全平衡。对此连杆机构震动力和震动力矩的完全平衡，采用以下方法：首先，我们以铰链A,B和C中心上的三个质量来动代换连杆2的质量，这样可以把这种连杆机构震动力和震动力矩的完全平衡问题作为子连杆机构的平衡问题来解决。图9.9Stepheneon型连杆机构的平衡方案8.3平面连杆机构震动力平衡后震动力矩的平衡—采用变速转子平衡方法

前一节讨论的是震动力和震动力矩同时进行平衡，这一节讨论的是震动力平衡后震动力矩的平衡问题。

8.3.1.变速转子转动规律确定

由前述可知，一般连杆机构相对参考点O的震动力矩MO与相对该点的动量矩HO之间的关系为MO=-dHO/dt(8-38)

如果整个机构对机架的震动力平衡，则HO与O点的位置无关，即MO为一力偶矩。因为大部分连杆机构的震动力可以通过调整各构件的质心位置来平衡，所以研究震动力平衡后的震动力矩的平衡问题就有重要意义。

由式(8-38)可知，如果整个机构的动量矩HO在机构运动的过程中始终为常量，则震动力矩MO即为零。假设在要平衡的机构中附加一转动平衡构件(称为变速转子)，其质心与回转轴心重合，该附加构件所产生的动量矩为Hr，并使(平面问题可以不用矢量表示)

HO+Hr=CO(8-39)为常矢量，则MO为零。根据以上假设，平衡构件的动量矩可以表示为Hr=Irωr(8-40)式中ωr——平衡构件的角速度。

因此。其震动力矩为零的条件为HO+Irωr=CO(8-41)设输人轴的角速度为ω1，则上式经过变换，并引人符号G可以写成(8-42)式中，IO=HO/ω1，C=CO/ω1。在实际应用时直接选用常数C，而不是CO。

输入轴转一周时，要求变速转子也转一周，因此由式(8-42)必有

(8-43)

式中，

由式

(8-42)知，当G<0，C<IOmin。当C值确定后，Ir就确定了。转子的转角θr为

(8-44)8.3.2.确定待定常数C

采用变转速平衡构件进行动力平衡，无论是平衡输人扭矩，还是平衡震动力矩，C值都是一个非常重要的待定常数。C值确定得不合适，要么使平衡构件的速度波动太大.直接影响平衡机构的性能，在采用非圆齿轮进行平衡时，如果不能得到外凸的平滑节曲线，还会给非圆齿轮的制造带来困难;要么使附加的平衡构件转动惯量过大，而增加平衡机构的尺寸。为得到尺寸适中，又能获得理想的齿轮节曲线，这里提供一种有效的选择方法。本方法是直接控制速度的波动值，以此为出发点，通过限定速度波动的最大值，给出了C值的计算公式。考虑式（8-42）的两种极限情况有（8-45）假设平衡构件两次波动的极限值分别为△1和△2，则有

（8-46）设计平衡机构时，通常要使平衡构件的波动值限定在一给定值范围内，即

（8-47）

式中，△为给定的最大波动值，把式(8-46)代人式(8-47)得(8-48)或者

(8-49)

实际计算表明，一般取△≈0.3就可以得到较为理想的光滑外凸节曲线(对非圆齿轮而言)。

8.4空间机构震动力和震动力矩的平衡8.4.1.震动力的平衡

空间机构震动力和震动力矩的平衡间题远较平面机构的平衡问题复杂，此处只作简略介绍。用加配重的方法完全平衡空间机构的震动力，其适用的条件与平面机构相似，即机构的每一运动杆到机架都存在一条不包含移动自由度的运动副的运动链。因此，如一单环机构中含有两个包含移动自由度的运动副，则不可能用配重使其震动力完全平衡。

现以RS'SR机构为例（机构有共线式连杆），说明如何使用两个配重，使其震动力完全平衡。机构各构件上坐标系的取法见图8-10。其中，z1轴与球销副S'中开槽平面的法线重合，z1*轴与销的中心线重合，x2轴为由C引向z1*的垂线。

图8-10

RS'SR机构按图示符号，机构的总质心位置向量为

(8-50)式中，pi(i)、qi(i)为表示在系i中的i件质心位置向量ri(i)沿zi轴和垂直于zi轴的两个分量，向量的上角标表明坐标系。

上式右侧包含的时间变量项目为[C41],[C42],[C43]。这三个矩阵不是无关的，因还存在以下的环方程:

(8-51)若令则由上式

(8-52)

将式(8-52)代入式(8-50)，并将向量(a1(1)+s1(1))分解为沿z4轴的分量p21(1)和垂直于z4轴的分量q21(1)，得到

(8-53)即为了使机构的震动力完全平衡，上式中时间变量[C41],[C43]的系数应为0，即

(8-54)

如果机构构件的质量分布不能满足上式，可以在构件1和3上附加配重，其质径积由上式计算。由式(8-54)可以看出，机构运动构件所产生的震动力与p1(1)，p3(3)无关。

关于空间机构的震动力矩，即使对于一些很简单的机构，如RS'SR机构，其表达式也十分复杂，很难求得完全平衡。

有的作者用改变构件1和3上配重的轴向位置，并在输出轴上附加一对平衡齿轮的方法，对震动力完全平衡的RS'SR机构的震动力矩求得最优平衡，取得了很好的效果。这里把上节介绍的用于平衡震动力平衡的平面连杆机构震动力矩的附加变速转子方法简述如下。8.4.2.震动力矩的平衡

一般空间连杆机构相对参考点O的震动力MO与相对该点的动量矩HO之间的关系与平面情况相同，即为

MO=-dHO/dt

(8-55)如果整个机构对机架的震动力平衡，则MO为一空间力偶矩。前面给出的平衡平面机构力偶矩的方法同样适用于平衡空间力偶矩。假设在要平衡的机构中附加一平衡机构，该附加机构所产生的动量矩为Hr并使

HO+Hr=CO

(8-56)为常矢量，则MO为零。

为使问题简化，把式(8-56)向三个坐标轴投影得HOl+Hrl=COl(l=x,y,z)

(8-57)

此式表明，可以在三个坐标平面内平衡震动力矩。通过选定如图8-11所示的锥齿轮及非圆齿轮传动机构，就可以完全平衡空间机构的震动力矩。该机构首先把要平衡的机构的输人轴二的等速转动以相同的转速由两对锥齿轮I和Ⅱ传递到与之垂直的x轴和y轴，然后在与该三个转动轴垂直的平面内附加三对非圆齿轮Ⅲ、IV和V。适当设计该三对齿轮的节曲线就可以完全平衡机构的震动力矩。也就是说，一个空间机构可以作为三个平面机构来平衡，x、y和z轴分别为该三个平面机构的输入轴。图中非圆齿轮1、2和3分别与具有转动惯量Irx、Iry和Irz的平衡构件相固联，它们的质心与各自的转轴重合。

图8-11齿轮传动机构8.5机构能量和输入扭矩的平衡8.5.1.基本概念

震动力与震动力矩用加配重的方法得到完全平衡的机构，其各运动副中的反力和原动件上的输入扭矩增加较大。输入扭矩的增大使驱动机构的电动机容量增加并造成更多的能量消耗。输人扭矩的波动则是造成原动件转速波动和某些部分振动和疲劳失效的原因。如果不考虑外载荷(在仅研究机构特性而.不明确机构用途时，外载荷尤法考虑)，重力(对于震动力和力矩平衡的机构，重力势能不变)和摩擦力的影响，输入扭矩MIN、输入件角速度

与机构运动件的总动能E间有着简单的关系。在此情况下，其动能的微分式为亦即

(8-58)

由上式可见，当机构的总动能E在机构运转过程中为常量时，输入扭矩为0，即可维持机构运转(注意前述不计外载荷等假定)。减小动能的波动意味着减小输人扭矩。由此可看出能量平衡与输入扭矩平衡的一致性。

为了达到能量或力矩平衡，常采用的措施有使用飞轮(或飞轮与弹性轴)，使用弹簧或弹簧与阻尼装置，使用各种平衡机构(凸轮、行星机构等)，以及质量的重新分布(使用配重)等。以下只介绍一种使用变速转子平衡输人扭矩的方法。8.5.2.平面连杆机构的输入扭矩和动能公式

设一单自由度n杆平面机构如图8-12所示。输人扭矩MIN作用在杆1上，杆n为固定件。某一构件i的动能E应为

式中，为件i的质心坐标

对时间的导数。

机构的总动能则为各构件动能之和，即

(8-59)根据式(8一58)输入扭矩可写为(8-60)

图8-12n杆平面机构将上式由极坐标改为直角坐标系表示，则

(8-61)相应的输入扭矩公式为

(8-62)

以上讨论的是单自由度的一般平面机构的动能和输入扭矩公式。对于平面连杆机构，不可能只用构件的质量重新分布使其输入扭矩为零(或使E为常量)。下面介绍附加变速转子平衡输入扭矩的原理及有关参数的计算与选择。8.5.3.附加变速转子平衡输人扭矩

假设为输入曲柄的角速度，这里假设为常数。由式(8-58)可知，如果整个机构的动能为常数，则机构的输入扭矩为零。假设原机构的动能为EO，附加构件的质心一与构件1的转动中心重合，因此只有转动动能，设为Er。如果有下式成立：EO+Er=CO(8-63)

则机构的输入扭矩就为零。式中CO为适当选取的常数。式(8-63)还可以写成

(8-64)

式中，Ir为附加构件的转动惯量，Ie为其余构件转化到输入构件1的等效转动惯量。引入符号