专题三将军饮马中一定两动模型与最值问题2026年中考数冲刺难点突破将军饮马与最值问题

在中考数学的几何最值问题中，“将军饮马”模型因其巧妙的转化思想和广泛的应用场景，一直是命题的热点与难点。其中，“一定两动”模型作为将军饮马问题的重要变式，由于动点数量增加，图形关系更为复杂，常常让学生感到棘手。本文将深入剖析“一定两动”模型的本质，梳理其解题思路与常用策略，并结合典型例题进行细致讲解，助力同学们在2026年中考冲刺中攻克这一难关。一、“一定两动”模型的核心解读“将军饮马”问题的本质是利用轴对称变换将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等基本原理求最值。所谓“一定两动”，指的是在问题情境中，存在一个固定点，以及两个在不同直线（或同一直线）上运动的动点。我们通常需要研究的是，当两个动点运动到某一位置时，与这个定点所构成的折线路径长度之和（或差）取得最值。模型特征分析：1.一个定点（P）：位置固定不变的点，是构成路径的起始或终止点，或是路径中的一个连接点。2.两个动点（A、B）：分别在两条定直线（或一条定直线）上运动。设两条定直线为l₁和l₂，那么动点A在l₁上运动，动点B在l₂上运动。3.路径形式：常见的路径形式有“P-A-B”型（从定点P出发，到动点A，再到动点B）、“A-P-B”型（动点A出发，到定点P，再到动点B）或“A-B-P”型等，其中以“P-A-B”型最为典型，所求多为PA+AB的最小值，或PA+PB的最小值（此时A、B可能有特殊位置关系）。二、“一定两动”模型的解题策略与思想方法解决“一定两动”模型最值问题的关键依然是“化折为直”，但由于涉及两个动点，对称变换的运用往往需要更具策略性。1.对称点的选取与构造：*针对动点所在直线作对称：这是最基本也是最核心的方法。通常需要将定点或其中一个动点关于动点所在的直线进行对称。*多次对称：由于有两个动点，可能需要进行两次对称变换。例如，要使路径P-A-B最短（A在l₁上，B在l₂上），可以先作点P关于直线l₁的对称点P₁，再作点P₁关于直线l₂的对称点P₂，连接P₂与另一个相关点（视具体情况而定），与l₁、l₂的交点即为所求动点A、B的位置。2.转化思想的应用：*将折线长度之和转化为两点间的直线距离。通过对称，将原本分散的线段“拼接”成一条直线段，其长度即为所求最值。*将动态问题转化为静态问题。通过对称确定动点的位置后，问题便转化为求解固定线段的长度。3.利用基本几何事实：*两点之间线段最短：这是解决所有路径和最小问题的根本依据。*垂线段最短：当路径中包含垂线段，或需要构造垂线段时使用。三、典型例题精析与方法提炼类型一：两动点分别在两条不同直线上，求“定点-动点-动点”路径和最小例题1：如图，已知直线l₁和l₂相交于点O，点P是平面内一定点（不在l₁、l₂上）。在l₁上求作点A，在l₂上求作点B，使△PAB的周长最小。分析：△PAB的周长为PA+PB+AB。由于P是定点，A、B是动点，直接考虑三线段和最小较为困难。我们可以利用对称思想，将其中一些线段进行转化。作法与证明：1.分别作点P关于直线l₁的对称点P₁，关于直线l₂的对称点P₂。2.连接P₁P₂，分别交l₁于点A，交l₂于点B。3.则点A、B即为所求，此时△PAB的周长最小，最小值为P₁P₂的长度。理由：*由对称性质知，PA=P₁A，PB=P₂B。*所以△PAB的周长=PA+PB+AB=P₁A+P₂B+AB。*当A、B在线段P₁P₂上时，P₁A+AB+BP₂=P₁P₂，此时和最小。若A、B不在线段P₁P₂上，则根据三角形两边之和大于第三边，P₁A+AB+BP₂>P₁P₂。提炼：对于“定点-动点-动点-定点”（此处可视为P-A-B-P，但P为同一点，故转化为P₁-A-B-P₂）型路径和最小问题，通过分别作定点关于两条动直线的对称点，连接两对称点，与两直线的交点即为动点位置，对称点连线长即为最小值。类型二：两动点在同一直线上，求“定点-动点-动点”路径和最小例题2：如图，直线l是一条河，点P是河岸一侧的一个村庄。现在要在河边l上建两个供水站A和B，使得PA+AB+BP最短，问A、B应建在何处？（A、B可重合吗？若A、B顺序有要求呢？）分析：此问题中，A、B均为直线l上的动点。我们需要明确A、B的顺序，通常题目会隐含或明确A、B的先后顺序，例如从P到A再到B，最后到某个地方，或者A、B是并列的两个点。若题目仅要求PA+AB+BP最短，且A、B在l上顺序不限，我们可以思考如何转化。情形一：A、B顺序固定，例如从P出发，先到A，再到B，B为终点。此时路径为P-A-B，求PA+AB的最小值。作法：作点P关于直线l的对称点P'，过P'作P'B⊥l于点B，交l于点A（此时A与B重合）。则PA+AB=P'A+AB=P'B，根据垂线段最短，此时PA+AB最小，最小值为P'到l的距离。但此时A、B重合。情形二：A、B为直线l上两个不同点，要求PA+AB+BP最小，且A、B无顺序要求。此时可理解为PA+PB+AB=(PA+PB)+AB。由于AB是A、B两点间的距离，若A、B重合，则AB=0，此时问题转化为求PA+PB的最小值，即经典的“两定一动”将军饮马问题，A、B重合于P'P与l的交点。但若题目明确A、B为两个不同点，则需另当别论，可能需要其他条件限制。提炼：当两动点在同一直线上时，需仔细分析路径构成和动点的顺序要求。若允许动点重合，则可能退化为“两定一动”模型；若不允许重合，则可能需要结合其他几何条件或进行更复杂的转化。这类问题更考验对题意的准确理解和模型的灵活应用。类型三：“一定两动”与特殊图形结合例题3：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P是边AC上的一个定点（不与A、C重合），AP=2。点M是边AB上的动点，点N是边BC上的动点，求PM+MN的最小值。分析：本题中，点P是AC上的定点（AP=2，故PC=4），M是AB上的动点，N是BC上的动点。要求PM+MN的最小值。路径是P-M-N，M、N为动点，分别在AB、BC上。思路：要使PM+MN最小，我们希望将这两条折线转化为直线。可以先固定M点，此时MN的最小值是点M到BC的垂线段长度（垂线段最短）。但M本身也是动点，因此可以考虑将N点“消去”，即作点M关于BC的对称点M'，则MN=M'N，且M'N⊥BC。此时PM+MN=PM+M'N。但M'N是M'到BC的距离，若M'在过M且垂直于BC的直线上，如何进一步转化？换个角度，我们可以尝试将点P进行对称。因为M在AB上，N在BC上。可以先作点P关于AB的对称点P₁，此时PM=P₁M。则PM+MN=P₁M+MN。要使P₁M+MN最小，因为N在BC上，对于定点P₁和动点M、N，M在AB上，N在BC上，当P₁、M、N三点共线且该直线垂直于BC时，P₁M+MN最小，即P₁到BC的垂线段长度。作法与计算：1.作点P关于AB的对称点P₁。2.过点P₁作P₁N⊥BC于点N，交AB于点M。3.则此时PM+MN的值最小，最小值为P₁N的长度。计算过程（简要）：*首先求出AB的长度，利用勾股定理AB=√(AC²+BC²)=10。*求出点P的坐标（若建立坐标系）或利用相似三角形求出P₁到BC的距离。*具体计算略，核心思想是利用对称和垂线段最短。提炼：当“一定两动”模型与特殊三角形、四边形等结合时，要充分利用图形的性质（如直角、特殊角、边长关系）进行对称点的构造和距离的计算。坐标系的建立有时能为这类问题的解决提供便利。四、方法归纳与中考备考建议1.深刻理解模型本质：“一定两动”模型的核心依然是“轴对称”和“化折为直”。要明确哪个是定点，哪两个是动点，它们分别在什么直线上运动，以及所求的是哪几条线段的和（或差）的最值。2.熟练掌握对称变换：根据动点所在的直线，灵活选择对称点的位置。通常是将定点关于动点所在直线对称，或者将一个动点关于另一个动点所在直线对称。有时需要进行两次对称。3.注重几何直观与逻辑推理结合：画图是解决几何问题的关键。通过准确画图，观察动点运动过程中路径的变化趋势，结合对称后的图形，进行逻辑推理，找到最值位置。4.多做变式练习，总结规律：“一定两动”模型有多种变式，例如动点所在直线的位置关系（相交、平行）、所求路径的构成方式等。通过多做不同类型的题目，总结解题规律和技巧，才能在考试中应对自如。5.结合代数方法：对于一些复杂的图形，可以尝试建立平面直角坐标系，将几何问题代数化，通过坐