2027届高中数学一轮复习第八章解析几何第六节抛物线学案（教师用）

第六节抛物线新课标要求真题分布1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．2．通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想．3．了解抛物线的简单应用．2025年全国Ⅰ卷T10，全国Ⅱ卷T62024年新高考Ⅱ卷T102023年新高考Ⅰ卷T22，新高考Ⅱ卷T10必备知识·回归教材清单式排查彰显一个“准”知识导图回归教材1.(人教A版选修一P133练习T2(2)改编)抛物线y＝2x2的焦点坐标是()A．0，12 C．0，18 2．(人教A版选修一P139习题T11)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为()A．y＝x2－1(x≠±1)B．x＝y2－1(y≠±1)C．y＝－x2＋1(x≠±1)D．x＝－y2＋1(y≠±1)3．(人教A版选修一P138习题T5)M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，则|FM|＝()A．2 B．4C．6 D．84．(人教A版选修一P139习题T10)已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则这个等边三角形的边长为________.多元视角·拓展教材探究式精练收获一个“赢”视角一抛物线的定义及应用例1(1)(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝()A．3B．4C．5D．6(2)(2026·漳州模拟)已知点N(1，1)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的动点，则|PN|＋|PF|的最小值为()A．32B．2C．5学霸笔记：(1)根据抛物线的定义，把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0+p跟踪训练(1)已知抛物线y＝18x2上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点PA．7，498 C．(4，2) D．2，(2)(2026·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点P在C上，直线l′：4x－3y＋11＝0，点P到直线l′的距离与到直线l的距离之和的最小值是________．视角二抛物线的标准方程例2(1)已知点F(0，1)，动点M在直线l：y＝－1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为()A．x2＝－4y B．x2＝4yC．x2＝－2y D．x2＝2y(2)已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线x＋2y－6＝0上，则抛物线C的标准方程为()A．y2＝－12x B．x2＝8yC．x2＝－12y D．x2＝12y(3)点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是()A．x2＝12yB．x2＝112y或x2＝－1C．x2＝－136D．x2＝12y或x2＝－36y学霸笔记：(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．跟踪训练(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8x(2)已知A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，若△OAB是边长为83的等边三角形，O为坐标原点，则抛物线的方程为______________．视角三抛物线的几何性质例3(多选)(2025·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交l：x＝－32于E，过点A作准线l的垂线，垂足为DA．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB|C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18学霸笔记：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练(1)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝()A．3 B．6C．9 D．12(2)(多选)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有()A．抛物线的焦点坐标为F(0，－1)B．若|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到x轴的距离为3C．以线段AF为直径的圆与x轴相切D．以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切提示：请完成课时作业51第六节抛物线必备知识·回归教材回归教材1．解析：抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，所以p＝14，开口向上，故焦点坐标为答案：C2．解析：设点M的坐标为(x，y)(x≠±1)，则直线AM的斜率是yx+1，直线BM的斜率是yx-1.由题意可知yx+1-yx-1＝2，化简得y＝－x2＋1(x≠±1)，即点M的轨迹方程为y＝－答案：C3．解析：由题意，得F(1，0)，设M(m，n)，过点M作MA垂直于x轴，垂足为A.∵Rt△AFM中，∠AFM＝60°，∴|MF|＝2|FA|，即|FM|＝2(m－1)，|MF|＝2MA3，∵|MA|＝|n|，∴|MF|＝2n3，∴2(m－1)＝2n3，整理得n2＝3(m－1)2①，又∵M是抛物线y2＝4x上一点，∴n2＝4m②，联立①②，得m＝3或m＝答案：B4．解析：设这个等边三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>y2，则y12＝2px1，y22＝2px2.又|OA|＝OB，∴x12+y12＝x22+y22，即x12-x22+2px1-2px2＝0，∴x1-x2(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2＞0，2p＞0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段答案：43p多元视角·拓展教材视角一例1解析：(1)如图所示，在y＝－2x＋2中，令y＝0，得x＝1，∴F(1，0)，∴抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，当x＝－1时，y＝4，∴B(－1，4)，∴yA＝4，则xA＝4，∴|AF|＝|AB|＝4－(－1)＝5(或|AF|＝(4-1)2(2)过点P作PQ垂直抛物线C的准线l：y＝－1于点Q，由抛物线定义可得|PQ|＝|PF|，则|PN|＋|PF|＝|PN|＋|PQ|≥|NQ|，当且仅当N，P，Q三点共线，NQ垂直抛物线C的准线，即xP＝1时，|PN|＋|PQ|有最小值2.故选B.答案：(1)C(2)B跟踪训练解析：(1)将抛物线y＝18x2化为标准方程为x2＝8y，则抛物线的焦点坐标为F(0，2)，准线方程为y＝－2.设抛物线上一点Px0，18x0(2)由题意，抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知，点P到直线l的距离等于点P到点F的距离，因此点P到直线l′的距离与到直线l的距离之和的最小值，即为点F到直线l′的距离，即为4-0+1116+9答案：(1)C(2)3视角二例2解析：(1)方法一轨迹方程法设点P(x，y)，则点M(x，－1)．连接PF，由题意知|PF|＝PM，即x2+y-12＝|y＋1|，整理得x2＝4y，则曲线方法二几何定义法由题意知，点P到点F(0，1)的距离等于其到直线y＝－1的距离，则点P的轨迹为以点F(0，1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线，则曲线C的方程为x2＝4y.故选B.(2)设抛物线C的标准方程为x2＝2py(p>0)．直线x＋2y－6＝0与y轴的交点为(0，3)，所以抛物线C的焦点为(0，3)，故p2＝3，解得p＝6，所以抛物线C的标准方程为x2＝12y(3)将y＝ax2转化为x2＝1ay，当a>0时，抛物线开口向上，准线方程y＝－14a，点M(5，3)到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，所以抛物线方程为y＝112x2，即x2＝12y；当a<0时，抛物线开口向下，准线方程y＝－14a，点M(5，3)到准线的距离为3+14a＝6，解得a＝－136或a＝112(舍去)，所以抛物线方程为y＝－136x2，即x2＝－36y答案：(1)B(2)D(3)D跟踪训练解析：(1)由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1的距离相同，因此－p2＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x(2)抛物线和其上的等边三角形都关于x轴对称，则A，B两点关于x轴对称，x轴是等边三角形边AB的垂直平分线，不妨取A在第一象限，如图，由|OA|＝83，∠AOx＝30°，得A(12，43)，将A(12，43)代入抛物线方程中得48＝24p，所以p＝2，抛物线的方程为y2＝4答案：(1)C(2)y2＝4x视角三例3解析：方法一对于A，对于抛物线C：y2＝6x，则p＝3，其准线方程为x＝-32，焦点F32，0，则|AD|为抛物线上点A到准线的距离，|AF|为抛物线上点A到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE＝∠AFE＝90°，又|AD|＝|AF|，|AE|＝|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED＝∠AEF，同理∠BEP＝∠BEF，又∠AED＋∠AEF＋∠BEP＋∠BEF＝180°，所以∠AEF＋∠BEF＝90°，即∠AEB＝90°，显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋32，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x＝my+32，y2＝6x，得y2－6my－9＝0，易知Δ>0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，又x1＝my1＋32，x2＝my2+32，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝m(y1＋y2)＋3＋3＝6m2＋6≥6，当且仅当m＝0时取等号，故C正确；对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE＝∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则AEAB＝AFAE，即AE2＝|AF|·|AB|，同理|BE|2＝|BF|·|AB|，又|AF|·|BF|＝x1+32x2+32＝(my1＋3)(my2＋3)＝m2y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝－9m2＋18m方法二对于A，对于抛物线C：y2＝6x，则p＝3，其准线方程为x＝－32F(32，0)，则|的距离，|AF|为抛物线上点A到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE＝∠AFE＝90°，又|AD|＝|AF|，|AE|＝|AE|，所以△ADE≌△AFE，所以∠AED＝∠AEF，同理∠BEP＝∠BEF，又∠AED＋∠AEF＋∠BEP＋∠BEF＝180°，所以∠AEF＋∠BEF＝90°，即∠AEB＝90°，显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；对于C，当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝2p＝6；当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y＝kx-3y＝kx-32，y2＝6x，消去y，得k2x2－(3k2知Δ>0，则x1＋x2＝3＋6k2，x1x2＝1+k2x1-3+6k22-9＝61+于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE＝∠EAF，所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则AEAB＝AFAE，即|AE|2＝|AF|·|AB|，同理|BE|2＝|BF|·|AB|，当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝6，|AF|＝|BF|＝12AB＝3；所以|AE|2·|BE|2＝|BF|·|AF|·|AB|2＝3×3×62，即|AE|·|BE|＝18；当直线AB的斜率存在时，|AB|＝61+1k2，AF·BF＝x1+32x2+32＝x1x2＋32(x1＋x2)＋94＝94+323+6k2＋答案：ACD跟踪训练解析：(1)设准线与x轴的交点为M，由题意可知，F32准线l方程为x＝－32，在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|