2027届高中数学一轮复习第八章解析几何第五节双曲线学案（教师用）

第五节双曲线新课标要求真题分布1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它们的简单几何性质．2．通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．2025年全国Ⅰ卷T3，全国Ⅱ卷T112024年新高考Ⅰ卷T122023年新高考Ⅰ卷T16必备知识·回归教材清单式排查彰显一个“准”知识导图【重要结论】1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则(|PF1|)min＝a＋c，(|PF2|)min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b4．与双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b5．双曲线的焦点三角形双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上一点P与两焦点F1，F2构成的三角形叫做焦点三角形．设∠F回归教材1.(人教A版选修一P127习题T5改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线2．(人教A版选修一P121练习T3)已知方程x22+m-yA．(－∞，－2)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)3．(人教A版选修一P127习题T8)与椭圆x249+y2A．x29-y2C．y29-x2164．(人教A版选修一P128习题T12改编)双曲线x2a2多元视角·拓展教材探究式精练收获一个“赢”视角一双曲线的定义及应用例1(1)(2026·青岛模拟)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．以上都不是(2)已知F1，F2是双曲线C：x29-y216＝1的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝学霸笔记：(1)利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练(1)已知动圆M与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋7＝0都外切，则动圆M的圆心轨迹是()A．双曲线 B．双曲线的一支C．抛物线 D．前三个答案都不对(2)设F1，F2分别是双曲线x2－y23＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且5|PF1|＝3|PF2|，则△PF1FA．6B．10C．12D．15视角二双曲线的标准方程例2(1)已知双曲线C1过点A-15，1，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线CA．x212-y2C．x215-y25(2)(2026·郑州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线的渐近线上的点，满足FA．x2－9y216＝1 C．9x216－y2＝1 学霸笔记：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程(组)并求出a，b，c的值．(2)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b，2c，从而求出a2，b2.还常结合勾股定理、正弦定理、余弦定理求解．跟踪训练(1)已知双曲线的两个焦点F1-5，0，F2A．x22-y23C．x2－y24＝1 D．x24(2)焦点在y轴上的双曲线C与双曲线x29-y2视角三双曲线的几何性质题型1渐近线问题例3双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B在C上，且BF⊥A．y＝±33x B．y＝±3C．y＝±x D．y＝±2x学霸笔记：(1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；(2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；(3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程．提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称．跟踪训练(2026·南通模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(A．y＝±x B．y＝±22C．y＝±2x D．y＝±3x题型2离心率问题例4(1)(2026·衡水模拟)过双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的顶点A作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂线与y轴交于点A．32B．2C．3(2)双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于原点对称，若直线学霸笔记：(1)求a，b，c的值，由e＝ca(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．跟踪训练(1)(2025·全国Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为()A．2 B．2C．7 D．22(2)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：x2a2-y2b2＝1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，题型3与双曲线有关的最值(范围)问题例5(1)已知F是双曲线y24-x25＝1的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A．11 B．9C．13 D．5(2)(2026·长沙模拟)已知双曲线C：y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的上支上的任意一点(不在y轴上)，PF2与x轴交于点A，△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为学霸笔记：(1)几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征．则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；(2)代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．跟踪训练已知F1，F2为双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为0，提示：请完成课时作业50第五节双曲线必备知识·回归教材回归教材1．解析：由题意可得|QA|＝|QP|，所以|OP|＝||QP|－|OQ||＝||QA|－|OQ||为定值，即Q到两个定点O，A的距离之差的绝对值为定值，而A在圆外，|OA|＞|OP|，所以可得Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线．答案：C2．解析：由题意得(2＋m)(m＋1)＞0，∴m＜－2，或m＞－1，∴m的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．故选C.答案：C3．解析：∵椭圆x249+y224＝1的焦点为(±5，0)，∴与椭圆x249+y224＝1有公共焦点，且离心率e＝5答案：D4．解析：由已知ba<255，则e＝ca＝a2答案：1，多元视角·拓展教材例1解析：(1)因为N为F1M的中点，O为F1F2的中点，所以|F2M|＝2|ON|＝2，因为P在线段F1M的中垂线上，所以|PF1|＝|PM|，因此||PF1|－|PF2||＝|F2M|＝2|ON|＝2<|F1F2|＝4，即点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．故选C.(2)由双曲线方程知实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8，焦距|F1F2|＝2c＝10，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线定义可知|m－n|＝2a＝6，在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝m2+n2－2mncos∠F1PF2＝(m－n)2＋mn＝36＋mn＝100，所以mn＝64，则S△F1PF2＝12mnsin∠F1PF2＝163，又S△F1PF2＝12F1F2·y答案：(1)C(2)16跟踪训练解析：(1)由题意可知圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋y2＝2的圆心为A(3，0)，半径r2＝2，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则MO＝1+r，MA＝2+r，且OA＝3，可得|MA(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2，又5|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|<|PF2|，则|PF2|＝2＋|PF1|，故5|PF1|＝3(2＋|PF1|)，解得|PF1|＝3，则|PF2|＝5，又|F1F2|＝21+3＝4，由32＋42＝52，故PF1⊥F1F2，则S△PF1F答案：(1)B(2)A视角二例2解析：(1)由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，又因为C1过点A(-15，1)，所以15－3＝λ，解得λ＝12，所以双曲线C1的标准方程是(2)由F1M·F2M＝0，得F1M⊥F2M，而|MF1|＝2MF2，△MF1F2的面积为209，则S△MF1F2＝|MF2|2＝209，F1F22＝|MF1|2＋|MF2|2＝5|MF2|2＝1009，令双曲线C的半焦距为c，则c2＝14F1F22＝259，即a2＋b2＝259，直线OM的方程为y＝bax，tan∠MF1F2答案：(1)A(2)A跟踪训练解析：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2＋n2＝4c2＝20，mn＝2，又|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16，∴4a2＝16⇒a2＝4，又∵c＝5，∴b2＝1，∴双曲线的标准方程为x24(2)设双曲线C的标准方程为y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)，则双曲线C的渐近线方程为y＝±abx，∴双曲线C的上焦点(0，c)到其渐近线的距离为d＝c1+ab2＝b＝6，又∵双曲线x29答案：(1)D(2)y2视角三例3解析：由题知，|AF|＝a＋c，又BF⊥AF，则B的横坐标为c，根据对称性不妨设B在x轴上方，由c2a2-y2b2＝1，解得y＝b2a，则Bc，b2a，于是BF＝b2a，故BF＝b2a＝|AF|＝a＋c，即b2答案：B跟踪训练解析：设双曲线x2a2-y2b2＝1的焦距为2c，则2c＝43，故c＝23，所以双曲线x2a2-y2b2＝1的焦点坐标为(±c，0)，又双曲线x2a2-y2b2＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，所以双曲线x2a2-y答案：A例4解析：(1)设双曲线C的焦距为2c，O为坐标原点，不妨设点B在y轴的正半轴上，A(a，0)，有|OB|＝AB2-OA2＝c2-a2＝b，可得点B(0，b)，直线AB的斜率为0-ba-0＝-ba，又由直线AB与渐近线垂直，有－(2)由题A(－a，0)，设P(x1，y1)，因为P，Q关于原点对称，则Q(-x1，-y1)，则kAP·kAQ＝-y12x1+a-x1+a＝2⇒y12x12-a2＝2，又P答案：(1)B(2)3跟踪训练解析：(1)设双曲线的实轴长，虚轴长，焦距分别为2a，2b，2c，由题知，b＝7a，于是a2＋b2＝c2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝22a，即e＝(2)因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝F1A2-AF22答案：(1)D(2)3例5解析：(1)由y24-x25＝1，得a＝2，b＝5，所以c＝a2+b2＝3，所以上焦点F(0，3)，则下焦点为F1(0，－3)，又A(3，1)，由双曲线的定义得|PF|＋|PA|＝2a＋|PF1|＋|PA|≥2a＋|AF1|＝4＋32+1+32＝9，由图知，当A，(2)设该内切圆在PF1，PA上的切点分别为D，E，由切线长定理可得|AB|＝|AE|，|PD|＝|PE|，|F1B|＝|F1D|，又|PF2|－|PF1|＝2a，|AF1|＝|AF2|，所以|PA|＋|AF1|－|PF1|＝2a，所以|AE|＋|PE|＋|AB|＋|BF1|－|PF1|＝2a，所以|AB|＋|PD