提分专项5　几何中的类比探究

软件使用本课件使用office软件制作，建议老师使用相应软件打开编辑修改本课件全文可单击进行编辑修改便捷操作快速核答案题号以及返回图标等都有超链接点击即可跳转至相应页面提分专项5几何中的类比探究目录类型1一线三等角模型01类型2手拉手模型02类型3对角互补模型03类型4半角模型0405类型5十字模型模型探究

类型1一线三等角模型探究1（1）如图1，已知点A，D，E在直线m上，AB＝AC，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，写出线段DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由.

解：DE＝BD＋CE.

理由：标记角，如图1.∵∠1＋∠2＝∠1＋∠3＝180°－α，∴∠2＝∠3.

又∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS).

∴BD＝AE，AD＝CE.

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.

探究2

（2）如图2，已知点A，D，E在直线m上，AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝90°.

判断△ABD和△CAE之间的关系是__________________；线段DE，BD，CE之间的数量关系是_________________.△ABD≌△CAE

DE＝BD＋CE探究3（3）如图3，已知点A，D，E在直线m上，AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝90°.

判断△ABD和△CAE之间的关系是___________________；线段DE，BD，CE之间的数量关系是___________________.

△ABD≌△CAE

CE＝DE＋BD

探究4（4）如图4，点A，D，E在直线m上，若AB≠AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝90°，判断△ABD和△CAE之间的关系是_______________，依据是__________________________________；若AB＝2AC，BD＝m，CE＝n，则DE＝__________.

(用含m，n的代数式表示)△ABD∽△CAE

有两个角对应相等的两个三角形相似

条件：如图，A，P，B三点共线，∠1＝∠2＝∠3.图形：

结论：若PC＝DP，则△APC____△BDP；若PC≠DP，则△APC___

△BDP.

关键：一线三等角模型的证明一般利用三角形内角和或外角的性质进行角的等量代换，得到一组相等的角，再结合题干中是否有相等线段判断是全等或相似.模型分析≌

∽构造模型：有些题目“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部结构，因此，需要利用已知角或挖掘隐藏的特殊角来构造模型.方法1：看到一条直线上的直角，想到作两条垂线.

方法2：看到一条直线上的两等角，想到作等角.模型应用1.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F.

若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，则BF的长为_____.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝∠B.

若AB＝8，BC＝6，AE＝7，则DC的长为_______.

2或4

5.构造模型

如图，在正方形ABCD中，F为BC边上一点(点F不与点B，C重合)，将线段AF绕点F顺时针旋转90°至线段GF，连接CG，则线段CG与BF的数量关系是_____________.

解法一：构造“一线三垂直”.解法二：构造“手拉手相似”.解法三：截取AH＝FC，构造△AHF≌△FCG.

6.构造模型

(2025·贵州改编)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一点，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由.

解：EC＝2BE.解法一：如解图1，标记角，在线段BP上取点F，使得EF＝AF，则∠AEF＝∠EAF＝30°.∴∠AFP＝60°.∴∠ABC＝∠PEC＝∠AFP＝60°.∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3，即∠2＝∠3.∵AB＝BC，∠AFB＝∠BEC＝120°，∴△AFB≌△BEC(AAS).∴BF＝CE，AF＝BE.∵BF＝BE＋EF，BE＝AF＝EF，∴BF＝2BE.∴EC＝2BE.解法二：如解图2，把△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ，证明△BEQ为等边三角形，在Rt△EQC中，∠EQC＝90°，∠ECQ＝30°，∴EC＝2EQ＝2BE.

探究1

（1）如图1，2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，将△ADE绕点A在平面内旋转，连接BD，CE，直线BD，CE交于点F.

①请你在图1、图2中选择一种情况，判断BD，CE的数量关系及∠BFC的大小，并证明；模型探究

类型2手拉手模型解：选图1，BD＝CE，∠BFC＝α.

证明：标记∠1，∠2，如图1，记AC与BF交于点O.

∵∠BAD＝∠CAE＝α－∠DAC，AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS).

∴BD＝CE，∠1＝∠2.

∴180°－∠1－∠AOB＝180°－∠2－∠COF.

∴∠BFC＝∠BAC＝α.

②小东同学观察图2发现，连接AF，FA是∠BFE的平分线，你认为小东同学的发现是否正确？请说明理由.

解：正确，理由：如图2，过点A作AH⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为H，G.

同①，可证△BAD≌△CAE，∴AH＝AG.

∴FA平分∠BFE.

探究2

（2）△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A在平面内旋转，如图3，4，连接BD，CE，直线BD，CE交于点F.

①线段BD，CE的数量关系是__________；

②∠BFC的度数是_______.

BD＝CE60°

∽kβ

特征：①有一个公共顶点；②有两组从公共顶点引出的相等(或成比例)的线段；③两组线段夹角相等.当题目中没有出现完整的“手拉手”模型时，我们就需要通过“补形”来构造.模型分析

条件：AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE

结论：①△ABD≌△ACE；②∠BOC＝∠BAC；③OA平分∠BOE.

BP＝CQ

32.构造模型

在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P为边AC上一动点(不与A，C重合)，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转60°得到线段PQ，连接AQ，DQ.

(1)当点Q落在AD上时，如图1，AQ与PQ的数量关系是_________.

(2)当点Q落在线段AD下方时，请就图2所示的情形判断AQ与PQ的数量关系，并给出证明.

AQ＝PQ解：AQ＝PQ.证明：如图2，取AC的中点E，连接DE，QE，则△CDE是等边三角形.∴∠CDE＝60°，DC＝DE.由旋转的性质，易得△PDQ是等边三角形.∴∠CDP＝∠EDQ.∴△CDP≌△EDQ(SAS).∴∠DEQ＝∠C＝60°.∴∠AEQ＝60°＝∠DEQ.又∵AE＝CE＝DE，EQ＝EQ，∴△AEQ≌△DEQ(SAS).∴AQ＝DQ＝PQ.

8(2024·河南第23题改编)在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

探究1

（1）用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______(填序号).

模型探究

类型3对角互补模型②④

探究3（3）小颖经过观察思考，发现并提出新的问题，把探究2的条件换成∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，条件AD＝CD不变，如图3，则探究2中的两个结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论.探究4

（4）小明总结了小亮和小颖的探究结果：如图4，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝CD.

若AB＝m，BC＝n，∠ABC＝2θ，则BD的长为______(用含m，n，θ的式子表示).

解：结论①成立，结论②不成立，BD=AB+BC.

探究5（5）如图5，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在BC，AC边上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形.

当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，BN的长为

.

条件如图，∠AOB＋∠DCE＝180°，CD＝CE图示作法1：过点C作CG⊥OA，CH⊥OB，则△CGD≌△CHE.

作法2：在EB上截取EF＝OD，连接CF，则△COD≌△CFE.

模型分析

特殊：从四点共圆的角度认识对角互补四边形.如图，∠DAB＋∠DCB＝180°，CD＝CB→∠DAC＝∠CAB→AC平分∠DAB.

结论拓展作法1中，若将条件“CD＝CE”与结论“OC平分∠AOB”互换，则命题仍成立本质利用邻补角等于对角的思路，通过“旋转”的方法添加辅助线构造全等三角形模型应用1.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，点M，N分别在边AD，AB上，∠MPN＝90°，则线段PM与PN的数量关系是______________.PM＝PN

3.(2025·濮阳二模节选)李老师带领数学社团的同学们探究下面的问题：如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边BC上一点，以点D为旋转中心，将直线AD逆时针旋转60°交直线AB于点E，顺时针旋转60°交直线AC于点F.①求证：AE＝AF；②若BD＝m，则DE＋DF的值为_________________.

(用含m的代数式表示)①证明：如图，作AM⊥DE交DE延长线于点M，作AN⊥DF于点N.

由旋转，得∠ADE＝∠ADF＝60°，∴DA平分∠EDF，∠EDF＝120°.

∴AM＝AN.∵∠M＝∠AND＝∠ANF＝90°，∴∠MAN＝60°＝∠BAC.

∴∠MAN－∠EAN＝∠BAC－∠EAN，即∠MAE＝∠NAF.

∴△AME≌△ANF(ASA).

∴AE＝AF.

探究1（1）如图1，在正方形纸片ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，∠MAN＝45°，连接MN.判断线段MN，BM，DN之间的数量关系，并给出证明.解：MN＝BM＋DN.证明：延长ND至点E，使得DE＝BM，连接AE，标记相关角，如图1所示.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE＝90°.∴△ABM≌△ADE(SAS).∴∠1＝∠2，∠3＝∠E，AM＝AE.∵∠MAN＝45°，∴∠1＋∠4＝45°.∴∠NAE＝∠2＋∠4＝45°.又∵AN＝AN，∴△AMN≌△AEN(SAS).∴MN＝EN.∵EN＝DE＋DN＝BM＋DN，∴MN＝BM＋DN.模型探究

类型4半角模型探究2

（2）转一转：小源将图1中的∠MAN绕点A旋转，使角的两边与正方形的边CB，DC的延长线分别相交于点M，N，连接MN，如图2.

则上述结论是否依然成立？请说明理由.解：不成立．理由：在DC上截取DE=BM，连接AE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠D=90°，AB=AD.∴△ABM

≌△ADE（SAS）．∴∠DAE=∠BAM，AM=AE.∵∠MAN=∠BAM＋∠BAN=45°，∴∠DAE+∠BAN=45°.又∵∠BAD=90°，∴∠EAN=45°.∴∠EAN=∠MAN.又∵AN=AN，AE=AM，∴△EAN≌△MAN（SAS）．∴MN=EN=DN-BM.探究3

（3）剪一剪：小东将图1中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图3，∠MAN的两边与边BD相交于点P，Q.则BP，PQ，DQ之间的数量关系是___________________.BP2＋DQ2＝PQ2类型正方形90°角含45°角等腰直角三角形90°角含45°角菱形120°角含60°角图示

结论①△ABG≌△ADF，△AEF≌△AEG；②EF＝EG＝BE＋DF；③△EFC的周长＝2AB；④AH＝AB①△ABG≌△ACF，△AEF≌△AEG；②CF＝BG，EF＝EG；③BE2＋CF2＝EF2①△ABE≌△ACF，△AEC≌△AFD；②△AEF是等边三角形模型分析

半角模型常通过旋转(将与半角有关的三角形绕顶点旋转，使边重合)或截长补短法构造全等三角形.

∴∠BAM＋∠BAE＝∠EAM＝∠EAF.∵AM＝AF，AE＝AE，∴△MAE≌△FAE(SAS).∴ME＝FE.∵ME＝BE＋BM，BM＝DF，∴EF＝BE＋DF.【模型应用】(2)如图2，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AD＝6，AB＝4，∠CAE＝45°，则CE的长为_______.【提示】解法一：如解图2，延长AB至点P，使AP＝AD，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，延长AE交PQ于点M，连接CM.证CM＝PM＋CD，△ABE∽△APM.解法二：过点E作EN⊥AC于点N，如解图3，证△AEN是等腰直角三角形，△ABC∽△ENC.5.22.数学课上，小组同学对含60°角的菱形进行了探究.

在菱形ABCD中，∠B＝60°，作∠PAQ＝∠B，AP，AQ分别交直线BC，CD于点P，Q.(1)如图1，点P为线段BC上任意一点，小智经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系为___________.(2)如图2，若点P为线段BC延长线上任意一点，AQ交射线CD于点Q，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

AP＝AQ解：(2)(1)中的结论仍然成立.理由：如图2，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADC＝60°.∴△ABC和△ADC都是等边三角形.∴AB＝AC，∠B＝∠ACQ＝∠BAC＝60°.∴∠BAP＝∠BAC＋∠CAP＝60°＋∠CAP.∵∠CAQ＝∠PAQ＋∠CAP＝60°＋∠CAP，∴∠BAP=∠CAQ.∴△BAP≌△CAQ(ASA).∴AP＝AQ.(人教八下P68T8改编)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE⊥BF于点G.判断线段AE，BF的数量关系，并说明理由.解：AE=BF.理由：标记角，如图1.∵AE⊥BF，∴∠2+∠3=90°.∵∠1+∠2=90°，∴∠3=∠1.又∵∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，∴△ABE≌△BCF(ASA).∴AE＝BF.模型探究

类型5十字模型变式1条件