河南省郑州市第十八中学2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省郑州十八中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.直线x=-1的倾斜角为（）A.0 B. C. D.不存在2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3=15，S8-S5=18，则S8=（）A.132 B.88 C.44 D.334.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°，则的模长为（）

A. B. C. D.5.在数列{an}中，，则a2024的值为（）A.5 B.-5 C.4 D.-46.已知O为坐标原点，双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点为P.若cos∠PF2F1=，则点O到直线PF1的距离为（）A. B.1 C. D.27.已知点M，N为圆x2+y2-2y-3=0上两点，且|MN|=2，点P在直线x-y-5=0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.48.斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|=|BF2|，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若平面α，β的法向量分别是，，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则（）A.α⊥β B.l∥α

C.l与m为相交直线 D.在上的投影向量为10.记等比数列{an}的前n项积为Tn，且，若，则a5+a6的可能取值为（）A.-7 B.5 C.6 D.711.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，AC=BC=2，CC1=3，P是棱A1C1上的动点，则（）A.平面PBB1⊥平面ABC

B.存在点P，使

C.存在点P，使点C1到平面PBB1的距离为

D.存在点P，使直线B1P与BA1所成角的余弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆的焦距为2，则m=

.13.已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，当圆上由2个点到直线l的距离为1，则b的取值范围为

．14.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn-1是an和Sn的等比中项，设bn=（-1）n•（2n+1）an，则数列{bn}的前60项和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}满足.

（1）求{an}的通项公式；

（2）记bn=|11+log3a2n|，求数列{bn}的前n项和Tn.16.(本小题15分)

已知⊙M过A（-1，0）、B（-2，1）两点，且圆心M在直线2x-y+4=0上.

（1）求⊙M的标准方程；

（2）若直线l：x-y+m=0与圆⊙M交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程.17.(本小题15分)

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1），其右焦点为F（1，0）

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）过点M（2，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，Q关于x轴对称的点为N，判断P，F，N三点是否共线？并加以证明．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=2CD=2BC=4，PA=PB=2，BD⊥PA，E，F分别是棱PA，PC的中点.

（1）证明：BD⊥平面PAD.

（2）求四棱锥P-ABCD的体积.

（3）求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值.19.(本小题17分)

已知抛物线，其焦点为.

（1）A，B两点为抛物线C1上的动点且满足，直线AB不垂直于y轴，求证：线段AB的垂直平分线过定点P，并求出点P的坐标；

（2）已知椭圆，圆，过（1）中点P作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且满足k1k2=-1，直线l1交椭圆C2于C，D两点，直线l2交圆M于E，F两点，点H为EF中点，求△HCD面积的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】BD

11.【答案】ACD

12.【答案】5或7

13.【答案】（-3，-）∪（，3）

14.【答案】-

15.【答案】（1）

（2）

16.【答案】解：（1）设⊙M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．

因为⊙M过A（-1，0）、B（-2，1）两点，且圆心M在直线2x-y+4=0上．

所以，解得：D=4，E=0，F=3．

所以⊙M的标准方程为：（x+2）2+y2=1．

（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），联立，得2x2+2（m+2）x+3+m2=0，

由题意得：Δ=4（m+2）2-8（3+m2）＞0，即，

由根与系数关系得：x1+x2=-（m+2），，

所以==m2-2m+3=2，解得m=1，

又因为m=1满足，

故所求直线l的方程为x-y+1=0．

17.【答案】解：（Ⅰ）依题意：b=1，c=1，所以a2=b2+c2=2，

所以

椭圆C的方程为，离心率．

（Ⅱ）依题意，直线QM斜率存在，设直线QM方程为y=k（x-2）．

由整理得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则N（x2，-y2）．

所以

，

=，

所以kPF=kFN，所以P、F、N三点共线．

18.【答案】（1）证眀：取棱AB的中点H，连接DH

因为AB=2CD=2BC=4，且AB∥CB，BC⊥CD，

所以四边形BCDH为正方形，所以DH=AH=AB=2，DH⊥ÀB，所以AD=BD=2，

因为AB=4，所以AD2+BD2=AB2，所以BD⊥AD．

因为BD⊥PA，BD⊥AD，PA⊂平面PAD，且AD∩PA=A，所以BD⊥平面PAD．

（2）解：因为BD⊥平面PAD，且PD⊂平面PAD，所以BD⊥PD，

因为PA=PB，AD=BD，PD=PD，所以△PAD≌△PBD，

所以∠PDA=∠PDB．

因为BD⊥PD，所以∠PDB=90°，所以∠PDA=90°，所以PD⊥AD．

因为AD∩BD=D，所以PD⊥平面ABCD．

因为PA=2，AD=2，PD⊥AD，所以PD=2，

则四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4．

（3）解：因为DA，DB，DP两两垂直，

所以以D为坐标原点，，，的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

由题中数据可知D（0，0，0），E（，0，1），F（-，，1），

则=，0，1），=（-，，1），

设平面DEF的法向量为=（x,y,z），

则，令x=1，得=（1，3，-），

平面ABCD得一个法向量为=（0，0，1），

设平面DEF与平面ABCD的夹角为θ，

则cosθ=|cos＜，＞|===，

所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为．

19.【答案】解：（1）证明：不妨设直线AB的方程为y=kx+t（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

因为，

所以y1+y2=1，

联立，消去y并整理得x2-kx-t=0，

由韦达定理得x1+x2=k,

所以线段AB中点的坐标为，

可得线段AB中垂线方程为，

即x=-ky+k=-k（y-1），

则线段AB中垂线必过定点P（0，1）；

（2）不妨设直线CD的方程为y=k1x+1，C（x3，y4）