暑假培优复习：几何法求二面角问题、几何法解决已知二面角求其他量问题专项训练（解析版）

暑假培优复习：几何法求二面角问题、几何法解决已知二面角求其他量问题专项训练PAD是正三角形，侧PAD⊥平面ABC(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值；(3)求C点到平面PAB的距离.又侧PAD⊥平面ABCD,侧PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD,所以AM⊥平面PCD.则EF//CD,因为BC⊥CD,所以EF⊥BC,又侧面PAD⊥平面ABCD,侧面PAD∩平面ABCD=AD,P又侧面PAD⊥平面ABCD,侧PADN平面ABCD=AD=1,且AB⊥BC.(1)若AD//平面PBC,证明：(2)设平面PAD⊥平面PCD.(ii)若1≤AD≤√3,求二面角A-PC-D的正弦值的取值范围.因为AD//平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBCN平面ABCD=BC,所以AD⊥平面PAB,因为PBC平面PAB22图1因为平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD,因为CDC平面PCD,所以AQ⊥CD.又因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AQ=A,PA,AQC平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因为ADC平面PAD,所以CD⊥AD.(2)(i)略因为PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以PA⊥DE,因为PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC,因为PCC平面PAC,所以DE⊥PC,又EF⊥PC,DE∩EF=E,则CD=√4-m2,所以344,所以sin∠DFE随着m的增大而增大，所以二面角A-PC-D的正弦值的取2A'B'=4,BC=4√2,M,N分别为AC,BC的中点，且AN⊥B'N.(2)证明：平面AB'N⊥平面A'BM;(3)若B'B=C'C=√6,求平面AB'N与平面ABC的夹角的正弦值.【答案】(1)记BM,AN的交点为D,A'B,AB′的交点为E,连接DE,因为AB//A'B',所以△ABE~△B'A'E,所以因为DEC平面AB'N,A'Md平面AB'N,所以A'MI//平面AB'N.因为AN⊥B'N,所以AN⊥DE,所以AN⊥BM,又BM,DE是平面A'BM内的相交直线，又ANC平面AB'N,所以平面AB'N⊥平面A'BM.【分析】(1)由题意证得DE//A'′M,根据线面平行的判定定理(2)根据线面垂直的判定定理可得AN⊥平面A'BM,再由面面垂直的判定定理证明即可；因为BC//B'C"且BC=2B'C”,所以NC//B'C”,NC=B'C",(不含端点).设DE=x(0<x<2).(ii)求二面角E-AC-D的正切值.又BD₁4平面AEC,EOC平面AEC,所以BD₁//平面AEC.566又平面ADP⊥平面ABCP,BPC平面ABCP,平面又PD⊥AD,PDC平面ADP,BDC平面ADB,平面ADP∩平面ADB=AD,又EFC平面PBE,AD4平面PBE,AB=6,AC=8.过点P作PD⊥BC,垂足D在棱BC上.(2)若△PBC的面积为60,PC²-PB²=25.(ii)求点C到平面PAB的距离.788故二面角P-AB-C的正切值为4.考点二考点二几何法解决已知二面角求其他量问题=1,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=1,点E为棱PD的中点，点F为棱CD的中点.(2)点M是线段PC上的动点(不与端点重合),若二面角M-BD-A的大小为θ,若tanθ=√5,求的值.且EF⁴平面PBC,PCC平面PBC,所以EF//平面PBC,且OF4平面PBC,BCC平面PBC,所以OF//平面PBC,又因为EF∩OF=F,EF,OFC平面OEF,所以平面PBC//平面OEF.【分析】(1)可证EF//平面PBC,OF/平面PBC,结合面面平行的判定定理分析证明；在底面ABCD内过点M′作M'H⊥BD于点H,连接MH.所以BD⊥平面MM'H,由MHC平面MM'H可得MH⊥BD,因为AM'=λAC,故,即的值为(i)求AA₁;又因为DEC平面A₁ABB₁,AB₁C平面A₁ABB₁,所以DE//平面A₁ABB₁.在直角三角形A₁OA中表示出tan∠A₁OA即可求a;(ii)根据三棱锥的体积公式表示出三棱锥A₁-因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁,AA₁⊥平面ABC,又因为AB,ACC平面ABC,所以AA₁⊥AB,AA₁⊥AC;设因此二面角A₁-BC-A的平面角为∠A₁OA,,解得a=6,所以AA₁=6;(ii)若M为棱BC上(不包括端点)的动点，则BM∈(0,4),的中点F,连接DF,EF,又∵FDC平面SCD,PE女平面SCD,∴PE//平面SCD.⊥平面ABCD,即SP为四棱锥的高，因为四棱锥S-ABCD的体积为,所以,解得a=2即AD=2,所以SA=SD=AD=2,AP=PD=1,SP=√3,AB=1,∠SAD=60°,又平面SAD⊥平面ABCD,交线为AD,ABC平面ABCD,得AB⊥平面SAD,因为AB⊥平面SAD,PMC平面SAD,故AB⊥PM;又AH⊥PM,且AB∩AH=A,AB,AHC平面ABH,得PM⊥平面ABH;因为BHC平面ABH,故PM⊥BH,因为AHC平面SAD,BHC平面PBM,且AH⊥PM,BH⊥PM,设AM=x,所以所以AM=PA=1,(3)在棱BB₁上是否存在一点E,使得二面角C₁-AE-A₁平面角的正切值为?若存在，求出【答案】(1)因为AB⊥侧面BB₁C₁C,C₁BC侧面BB₁C₁C,得AB⊥C₁B,所以CB²+BC=CC²,所以C₁B⊥CB,【分析】(1)由AB⊥C₁B,C₁B⊥CB,(2)先证明平面ABB₁A₁⊥平面BB₁C₁C,因此过C₁作交线的垂线C₁P,可得到平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B,即可求得B₁P=2;(3)由上一问C₁P⊥平面AA₁B₁B,故过P作PH⊥AE交AE所在直线于点H,则∠C₁HP为二面角C₁(2)由已知AB⊥侧面BB₁C₁C,ABC平面ABB₁A₁,知平面ABB₁A₁⊥平面BB₁C₁C,过C₁作C₁P⊥BB₁于P,C₁PC平面BB₁C₁C,平面ABB₁A₁∩平面BB₁C₁C=BB₁,则C₁P⊥平面AA₁B₁B,因C₁PC平面C₁AP,故平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B,由(2)知：C₁P⊥平面AA₁B₁B,AEC平面AA₁B₁B,则C₁P⊥AE,过P作PH⊥AE交AE于H,C₁PNPH=P且都在平面C₁PH内，所以AE⊥平面C₁PH,则二面角C₁-AE-A₁的平面角为∠C₁HP或其补角，由△PHE~△ABE,则,所以(2)①若DG=3,求直线MN到平面BEF的距离.②若平面BEF与平面EFG所成角的余弦值为,求直线CF与平面BEF所成角的正弦值.由M,J分别为FC,FB,则,故MJ=EN,又NM4平面BEF,EJC平面BEF,故MN//平面BEF;【分析】(1)取FB中点为J,连接MJ,EJ,通过证明MJ=EN,MJ//EN可得四边形ENMJ是平行四边平面BEF所成角的正弦值.(2)①由DG⊥平面ABCD,AD、AB、BC、DCC又EG//AD且EG=AD,故四边形ADGE为矩形，则AEI/GD,故AE⊥AB,由AD⊥CD,AD//BC,故BC⊥CD,而DG∩DC=C,DG,DCC平面DCF,故BC⊥平面DCF,而CFC平面DCF,故BC⊥CF,CC12.(25-26高一下·湖南·期末)现有两块角板的直角顶点重合于点P,斜边AB,CD共线，如图1所示，然后将这两块三角板绕点P反向平行移图2(2)设平面PAB∩平面PCD=l.(ii)当二面角A-l-C的大小为时，求四棱锥P-ABCD所以O为AC,BD的中点.又由于PA=PC,PB=PD,所以PO⊥AC,又因为AC,BDC平面ABCD,ACNBD=0,所以PO⊥平面ABCD.所以平面PAC⊥平面ABCD【分析】(1)通过PA=PC,PB=PD确定PO⊥AC,PO⊥BD,可得PO⊥平面ABCD,进而求证即(2)(i)通过AB//平面PCD,得到AB//1,可得直线l与PA所成的角即为∠PAB(或其补角),进而求解即可；(2)(i)因为AB//CD,AB平面PCD,CDC平面PCD,所以AB//平面PCD,又因为ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,所以AB//l.所以直线l与PA所成的角等于直线AB与PA所成的角，即∠PAB(或其补角).(ii)作PE⊥CD,