核心素养导向的小学数学五年级上册“实际问题与方程（一）”教学设计

核心素养导向的小学数学五年级上册“实际问题与方程（一）”教学设计一、基本信息与设计理念【基础】学科与学段：小学数学五年级上册【核心概念】课题名称：实际问题与方程（一）——相遇与差倍问题的代数建模【重要】课时安排：第二课时（基于教材5.2.6，融合例6与例7）【设计理念】本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心纲领，深度践行“三会”核心素养导向。通过创设真实、具体的问题情境，引导学生经历从现实生活或具体情境中抽象出数学问题、用数学语言（方程）表达数量关系、获得结论并解释论证的完整过程。旨在帮助学生完成从算术思维向代数思维的跨越，理解方程作为刻画现实世界数量关系的有效模型的价值，初步建立模型意识与符号意识，提升逻辑推理能力与问题解决能力。二、教学内容与学情分析【基础】教学内容分析：“实际问题与方程（一）”是人教版五年级上册第五单元的核心内容。例6（相遇问题）通过两个物体相向运动的场景，展现了速度和与路程之间的关系，为学生提供了用方程表示“路程＝速度和×相遇时间”这一等量关系的模型范本。例7（差倍问题）则通过“地球的表面积为5.1亿平方千米，其中海洋面积约为陆地面积的2.4倍”这一情境，引导学生找出两个未知量之间的倍数关系及总和关系，从而设其中一个未知量为x，用含x的式子表示另一个未知量，再依据等量关系列方程求解。这两道例题是学生从解决单一未知量问题向解决两个关联未知量问题迈进的关键一步，是培养学生构建数学模型、发展代数思维的重要载体。【难点】学情分析：学生在学习本课之前，已经掌握了用字母表示数、初步认识方程、解简单方程（如ax±b=c）以及用算术方法解决两步计算的实际问题。然而，从算术思维过渡到代数思维是一个巨大的飞跃。算术思维是逆向推理，往往隐藏已知条件，由问题推向已知；而代数思维是顺向建模，要求用字母表示未知数，直接根据题目中的等量关系建立方程。对于例6，学生可能难以理解“速度和”的概念并将其作为等量关系。对于例7，学生面临的主要障碍是：①在有两个未知量的情况下，如何选择设哪个未知量为x；②如何根据倍数关系正确表示另一个未知量；③如何准确找出隐含的等量关系（如和的关系、差的关系）。部分学生可能仍习惯于算术解法，对列方程解决问题的优势体会不深。三、教学目标与核心素养【核心概念】教学目标：1.知识与技能：能根据具体问题中的等量关系列出方程，掌握列方程解决实际问题的基本步骤（设、找、列、解、答）。理解相遇问题中的“速度和×时间=总路程”的模型，掌握差倍问题中如何设未知数及表示另一个量。2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，经历将现实问题抽象为方程模型的过程，体会建模思想。在对比算术解法和方程解法的过程中，感悟方程思维的顺向性和优越性，发展抽象能力、推理能力和模型意识。3.情感态度与价值观：在用方程解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，增强对数学的好奇心和求知欲。在克服困难、解决问题的过程中，建立学好数学的自信心，培养严谨求实的科学态度。【重要】核心素养指向：1.符号意识：能够用字母x表示未知量，并能用含有字母的式子表示相关的量（如2.4x）。2.模型意识：能从现实问题中抽象出数学模型（如ax＋bx=c），并能解释模型的实际意义。3.推理意识：能依据题目中的条件，推导出核心等量关系，并由此列出方程。4.运算能力：能熟练运用等式的性质解ax＋bx=c这类方程。5.应用意识：自觉运用方程思想解决生活中的实际问题。四、教学重难点【教学重点】根据实际问题中的等量关系列方程，掌握列方程解决问题的基本步骤。【教学难点】1.相遇问题中，正确理解并找出“速度和×相遇时间＝总路程”这一核心等量关系。2.差倍问题中，能正确选择设未知数，并用含x的式子表示另一个未知量，进而准确列方程。【高频考点】1.列方程解相遇问题。2.列方程解含有两个未知量的问题（和倍、差倍问题）。五、教学准备教师准备：多媒体课件（动态演示相遇过程）、导学案、分层作业设计。学生准备：预习导学案、直尺、铅笔。六、教学实施过程【核心环节】本环节将例6与例7有机整合，遵循“情境感知—建模抽象—巩固内化—反思提升”的认知路径，将约80%的课堂时间用于引导学生亲身经历问题解决的全过程。（一）唤醒经验，引入新知1.复习铺垫，激活思维：课件出示：“小东每分钟走50米，小英每分钟走40米，两人从家同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。他们两家相距多少米？”【基础】学生独立完成，并请学生汇报两种解法：分步式（50×5＋40×5）和综合式（50+40）×5。教师板书“速度和×时间=总路程”。引导学生回顾算术解法中每一步的含义，特别强调“速度和”的概念，为学习方程解法埋下伏笔。2.设疑导入，揭示课题：教师引导：“同学们用算术方法很快就解决了这个问题。如果老师把问题中的条件和问题换一下，变成‘已知总路程和速度，求相遇时间’，或者‘已知总路程和相遇时间，求其中一个速度’，你们还能用算术方法很快解决吗？今天，我们就来学习一种更强大、更顺向的解题策略——用方程解决实际问题。”（板书课题：实际问题与方程（一））（二）探究例6，构建相遇问题模型1.动态呈现，理解题意：课件出示例6情境图：小云家和小林家相距4.5km。周日早上9：00，两人分别从家骑自行车出发，相向而行。小云每分钟骑200m，小林每分钟骑250m。两人何时相遇？【重要】引导学生观察、思考：①题目中已知什么？求什么？②“相向而行”是什么意思？③“何时相遇”指的是什么？（相遇的时刻或相遇所用的时间）④单位不一致怎么办？（统一单位，4.5km＝4500m）2.小组合作，寻找等量关系：【核心概念】教师提出核心问题：“同学们，如果用方程解决，我们需要找到一个‘不变量’作为等量关系。在这个相遇过程中，什么是始终不变的？”（预设：总路程不变）引导学生在小组内讨论，尝试用语言描述等量关系。小组汇报，教师提炼并板书关键等量关系：小云骑的路程＋小林骑的路程＝总路程小云的速度×时间＋小林的速度×时间＝总路程（小云的速度＋小林的速度）×时间＝总路程3.自主探究，尝试列方程：教师追问：“时间是我们不知道的，可以用什么来表示？”（字母x）“如果我们设两人x分钟后相遇，你能根据上面的等量关系列出方程吗？”学生尝试独立列式，教师巡视指导。预设学生可能出现两种方程：①200x＋250x＝4500②（200＋250）x＝4500请两名学生分别板演，并解释自己列的方程依据的是哪一个等量关系。4.对比分析，优化解法：引导学生对比黑板上两个方程。提问：“这两个方程有什么联系？哪一个更简洁？”学生发现第二个方程是第一个方程的简化形式，实际上是运用了乘法分配律。这正好对应了算术解法中的“速度和×时间=总路程”。教师小结：无论是分步加还是先求和再乘，其本质都是利用“路程和”这一不变的等量关系。用方程解，思考过程更加直接，要求什么就设什么。5.规范步骤，求解作答：带领学生完整解题步骤。【高频考点】解：（200＋250）x＝4500450x＝4500450x÷450＝4500÷450x＝10提问：“x＝10表示什么？10分钟后是几时几分？”（9：00过10分，是9：10）最后提醒学生写答语。6.变式练习，内化模型：课件出示变式题：“小云和小林家相距4.5km，周日早上9：00，两人分别从家骑自行车出发，相向而行。9：10两人相遇，已知小云每分钟骑200m，求小林每分钟骑多少m？”【难点】引导学生思考：等量关系变了吗？还是“小云的路程＋小林的路程＝总路程”。现在设谁为x？学生独立完成，全班订正。通过变式，让学生深刻理解，无论求什么，核心等量关系是不变的。（三）探究例7，攻克差倍问题模型1.情境过渡，抛出问题：课件出示例7：地球的表面积为5.1亿平方千米，其中海洋面积约为陆地面积的2.4倍。地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？【核心概念】引导学生分析：这个问题和刚才的相遇问题有什么不同？（预设：有两个未知量，而且它们之间有倍数关系）2.分析关系，理清思路：关键提问：“题目中告诉了我们几个未知量？它们之间有什么关系？已知的总面积5.1亿平方千米，指的是谁的面积？”引导学生得出：陆地面积和海洋面积都是未知的，海洋面积＝陆地面积×2.4，并且陆地面积＋海洋面积＝地球表面积。【重要】教师强调：当遇到两个未知量时，我们通常设其中一个为x，再根据它们的倍数关系表示出另一个。那么，设哪个为x更容易表示另一个呢？为什么？学生讨论得出：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积就可以表示为2.4x亿平方千米，这样表示起来非常方便。3.自主建模，列方程：引导学生根据“陆地面积＋海洋面积＝地球表面积”这一等量关系列出方程。【难点】学生尝试列式：x＋2.4x＝5.1教师追问：“x＋2.4x可以怎样计算？”引导学生回顾乘法分配律，得出（1＋2.4）x＝5.1，即3.4x＝5.1。4.规范求解，检验作答：师生共同完成解方程过程。解：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。x＋2.4x＝5.1（1＋2.4）x＝5.13.4x＝5.13.4x÷3.4＝5.1÷3.4x＝1.5提问：“陆地面积是1.5亿平方千米，海洋面积是多少？”（2.4x＝2.4×1.5＝3.6）【重要】引导检验：1.5＋3.6＝5.1，且3.6÷1.5＝2.4，符合题意。最后写答语。5.回顾反思，总结模型：教师总结：像这类已知两个量的倍数关系和它们的总和（或差），求这两个量的问题，我们通常设一倍量为x，几倍量就是nx，再根据和（或差）的关系列方程。这种方程我们一般称为“ax＋bx＝c”的模型。（四）分层练习，巩固提升【基础】1.模仿练习：出示导学案上的基础题：学校买来篮球和足球共8个，篮球的个数是足球的3倍，两种球各有多少个？要求学生独立设未知数、列方程并求解。集体订正，强调设一倍量为x。【重要】2.辨析练习：出示：果园里种着桃树和杏树，杏树的棵数是桃树的3倍。（1）桃树和杏树一共有180棵，桃树和杏树各有多少棵？（2）杏树比桃树多90棵，桃树和杏树各有多少棵？【高频考点】引导学生对比分析：两道题的等量关系有什么不同？第一道是“和”的关系，列方程为x＋3x＝180；第二道是“差”的关系，列方程为3x－x＝90。通过对比，深化学生对等量关系的辨析能力。【热点】3.拓展练习：结合生活实际，出示：王叔叔用一根长72cm的铁丝焊接成一个长方形框架，使它的长是宽的2倍。这个长方形框架的长和宽各是多少厘米？引导学生分析：铁丝的长度是长方形的什么？（周长）周长与长、宽的关系是什么？（（长＋宽）×2＝周长）设宽为x厘米，长为2x厘米，如何列方程？（（x＋2x）×2＝72）进一步培养学生将新知识迁移到复杂情境中的能力。（五）课堂总结，建构网络1.师生共同回顾：今天这节课我们主要研究了什么内容？我们是怎样用方程解决实际问题的？（找等量关系——设未知数——列方程——解方程——检验作答）2.对比感悟：在解决例6和例7时，我们找的等量关系有什么共同点？（都是两种量相加等于总量，或两个部分量之和等于整体）列出的方程有什么共同特征？（都可以归结为形如ax＋bx＝c的形式）3.【核心素养】教师升华：方程是一种非常重要的数学模型，它就像一架思维的桥梁，把我们已知的条件和未知的问题连接起来。当我们遇到复杂问题时，只要抓住题目中不变的等量关系，顺着题意列出方程，就能化繁为简，以“顺”克“逆”。希望同学们在以后的学习中，能主动运用方程思想解决更多的实际问题。七、板书设计实际问题与方程（一）——相遇与差倍问题的代数建模【核心模型】1.相遇问题：等量关系：路程1+路程2=总路程速度和×时间=总路程方程：（小云速度+小林速度）×时间=总路程（200+250）x=45002.差倍问题：等量关系：一倍量+几倍量=和几倍量一倍量=差方程：x+2.4x=5.1【解题步骤】设→找→列→解→答八、分层作业设计【基础作业】（面向全体学生）1.完成教材练习十六第6、7题（模仿课堂例题的相遇问题和差倍问题）。2.根据方程“3x－x＝18”编一道实际问题，并解答。【提升作业】（面向学有余力的学生）1.甲、乙两辆汽车同时从同一地点向相反方向开出，甲车每小时行45km，乙车每小时行55km。几小时后两车相距300km？（提示：画出线段图，找出等量关系）2.妈妈的年龄比小明大24岁，妈妈的年龄正好是小明的3倍。妈妈和小明今年各多少岁？【实践探究作业】（面向全体学生，选做）和家人一起进行一次购物，观察购物小票。选择其中一件商品，了解它的单价，再根据小票上的总价和数量，计算出另一件商品的单价。尝试用列方程的方法向家人解释你的计算过程。九、导学案设计（简案）【课前预习】1.复习旧知：解方程x+3.5=9.22.5x=10x7.8=12.42.阅读课本P78例6，思考：（1）题目中已知什么？求什么？单位需要统一吗？（2）想一想，在相遇过程中，什么是始终不变的？你能写出这个等量关系吗？（3）尝试列方程解答。3.阅读课本P79例7，思考：（1）题目中有几个未知量？它们之间有什么关系？（2）你认为应该设哪个未知量为x？为什么？另一个量如何表示？（3）根据“陆地面积+海洋面积=地球表面积”列出方程。【课堂探究】1.小组交流：在例6