矩形的折叠问题(专题)

矩形的折叠问题(专题)几何研究的对象是：图形的形状、大小、位置关系；主要培养三方面的能力：思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力；折叠型问题的特点是：折叠后的图形具有轴对称图形的性质；两方面的应用：一、在“大小”方面的应用；二、在“位置”方面的应用。2折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题。一、在“大小”方面的应用1、求线段与线段的大小关系例1如图，AD是

ABC的中线，

ADC=45º，把

ADC沿AD对折，点C落在点C'的位置，求BC'与BC之间的数量关系。解由轴对称可知

ADC≌ADC',ADC'=ADC=45º,C'D=CD=BDBC´D为RtBC’=2BD=BC

223练习1如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）(A)2(B)3(C)4(D)5例2如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是

。解设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3B4练习2如图，在梯形ABCD中，DCAB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D¹、C¹处，折痕为EF。若CD=3，EF=4，则AD¹+BC¹=

。2练习3如图，将矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，若AB=3，则折痕AE的长为（）。(A)33/2(B)33/4(C)2(D)23EC52、求角的度数例3将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如图所示；已知

EFG=55º，则FGE=

。70º练习4如图，矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在AD边上的F点处，如果

ABF=60º，则CBE等于（）。(A)15º(B)30º(C)45º(D)60ºA63、求图形的全等、相似和图形的周长例4如图，折叠矩形ABCD一边AD，使点D落在BC边的一点F处，已知折痕AE=55cm，且tanEFC=3/4.(1)求证：

AFB∽FEC；(2)求矩形ABCD的周长。7大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流8练习5如图，将矩形纸片ABCD沿一对角线BD折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符号写出来。练习6如图，矩形纸片ABCD，若把

ABE沿折痕BE上翻，使A点恰好落在CD上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。答案：△ABD≌△CDB,△CDB≌△EDB,△EDB≌△ABD,△ABF≌△EDF.答案：矩形的长为10，宽为8。94、求线段与面积间的变化关系例5已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，

B和

C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A¹，ΔA¹MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？10练习7如图，把一张边长为a的正方形的纸进行折叠，使B点落在AD上，问B点落在AD的什么位置时，折起的面积最小，并求出这最小值。O解：如图，设MN为折痕，折起部分为梯形EGNM，B、E关于MN对称，所以BE⊥MN，且BO=EO，设AE=x，则BE=

。由Rt△MOB∽

，得：

，∴BM=

=

=

.作NF⊥AB于F，则有Rt△MNF≌

,∴FM=AE=x,从而CN=BM-FM=

=

。∴S梯形BCNM=

。=½(x-a/2)2+3/8a2.∴当x=a∕2时，Smin=(3∕8)a2.11例6将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如图所示，延长C`E交AD于H，连结GH。求证：EF与GH互相垂直平分。二、在“位置”方面的应用由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。1、线段与线段的位置关系证明：由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴

。又

，∴四边形

是

，∴FE与GH互相垂直平分。122、点的位置的确定例7已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)，∠OAB=60º，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标。→x↑y解由题意知，OA=3，∠OAB=60º，∴OB=3tan60º=3√3.∵Rt△ACB≌Rt△ADB,∴AD=AC=OB=3√3.→x↑y过点D作Y轴垂线，垂足为E，在直角三角形AED中，ED=

，AE=

，故OE=

。故点D的坐标为（3/2√3，-3/2）。13练习8如图，在直角三角形ABC中，∠C=90º，沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合。当∠A满足什么条件时，点D恰好是AB的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点。条件：∠A=30º证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴BC=BD，在△ABC中，∵∠C=90º，∠A=30º，∴BC=½

AB，∴BD=½

AB，即点D为AB的中点。141、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处。矩形中的折叠问题（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；（2）若AB＝6cm，

AD＝10cm，求线段CE的长及△AEF的