湖北省武汉市重点中学5G联合体2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖北省武汉市重点中学5G联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=i+2i−1，则在复平面内z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(−3,4)，向量b=(1,2)，则向量a在向量b上的投影向量为(

)A.(1,2) B.(−1,−2) C.(−15,−3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(

)A.若m // α，n // α，则m // n

B.若m // α，m⊥n，则n⊥α

C.若α // β，m⊥α，n // β，则m⊥n

D.若m // n，n⊂α，则m // α4.如图，四边形OABC的斜二测画法的直观图为等腰梯形OA′B′C′，已知OC′=2，B′C′=1，OA′=3，则四边形OABC的面积为(

)A.2 B.22 C.35.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π3，c=6，若△ABC有两解，则b的取值范围是(

)A.(33,6) B.(33,66.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，侧面BCC1B1是正方形，BC=2AB=2A.2+2+6

B.27.青花瓷(blue and whiteporcelain)，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为12，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值可以是A.14 B.22 C.8.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，过点C作平面BMC1的平行平面α，记平面αA.π6 B.π4 C.π3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.复数z=5i−2(i为虚数单位)的共轭复数z−=−2+i

B.复数z=a2−1+(a+1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则a=±1

C.一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等

D.若样本x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为2和3，则10.如图所示，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A.直线AM与BN是平行直线

B.直线BN与MB1是异面直线

C.直线MN与AC所成的角为60°

D.过A，M，N11.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，b=4，且cosCcosB=2a−cb，延长AC到点D，使点C为线段ADA.B=π3

B.△ABD的面积的最大值为43

C.若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为(2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18，则这8个数据的上四分位数是

．13.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=4，BC=26，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=

．14.已知平面α∩平面β=l，球O与直线l相切于点A，平面α与平面β分别截球O所得截面圆的半径为12和32.若二面角α−l−β的大小为5π6，则球O的半径为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2．

(1)求圆锥的侧面积；

(2)过线段AO的中点E作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．16.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6．

(1)若A=2π3，C=π4，求sin∠BDC的值；

(2)若CD=2，cosA=3cosC17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA垂直于底面AD=AP，点E、F分别是AB、PC的中点．

(1)求证：EF//平面PAD；

(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18.(本小题17分)

2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数；

(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,x1−,s19.(本小题17分)

已知三棱台ABC−A1B1C1，底面△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，体积为1336，平面ABB1A1⊥平面ABC，且A1B1=12AA1=12BB1

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】16

13.【答案】4

14.【答案】715.【答案】解：(1)因为圆锥的底面半径为1，母线长为2，

所以圆锥的侧面积为S=12⋅2π⋅2=2π；

(2)因为圆锥的底面半径r=1，母线长l=2，

所以圆锥的高h=l2−r2=3，

由EB//OC16.【答案】64

17.【答案】证明：取PD的中点G，连接AG，FG，

因为点E、F分别是AB、PC的中点，

所以FG//CD且FG=12CD，

又因为AE/​/CD且AE=12CD，

所以AE/​/FG且AE=FG，

所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF/​/AG，

因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，

所以18.【答案】解：(1)根据题意可得(0.005+a+0.045+0.02+0.005)×10=1，解得a=0.025；

(2)根据题意估计这100名候选者面试成绩的平均数为：x−=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5，

因为前几组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，

所以第80百分位数在[75,85)内，且为75+0.8−0.05−0.25−0.450.02=77.5；

(3)设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为x1−=62,x2−=80,s12=40,s22=50，

且两组的频率之比为0.2519.【答案】解：(1)证明：在三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB⊥BC，

又平面ABB1A1∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥平面ABB1A1．

(2)由棱台性质知：延长AA1，BB1，CC1交于一点P，

由A1B1=13AB，得S△ABC=9S△A1B1C1，点P到平面ABC的距离为到平面A1B1C1距离的3倍，则VP−ABC=27VP−A1B1C1，

于是VP−ABC=2726VABC−A1B1C1=2726×1336=934，由BC⊥平面ABB1A1，得BC为点C到平面PAB的距离，

又A1B1/​/AB，则A1是PA的三等分点，PA1=12AA1=A1B1=PB1，即△PA1B1与△PAB均为正三角形，

设AB=3x，则BC=PA=PB=AB=3x，

VP−ABC=1