小学三年级数学竞赛解题技巧教学设计

小学三年级数学竞赛解题技巧教学设计  一、课程基本信息  （一）课程名称：小学三年级数学竞赛解题技巧  （二）适用对象：小学三年级学生（数学兴趣小组/竞赛预备队）  （三）课时安排：共4课时，每课时40分钟  （四）课程性质：拓展提高课、思维训练课  （五）教学目标：  1.知识与技能目标：学生能够掌握“枚举法”“画图法”“逆向思考”“找规律”等基本数学竞赛解题方法；能够识别常见竞赛题型的特征，并选择恰当的技巧进行解答；能够规范、清晰地表达解题步骤和思路。  2.过程与方法目标：通过典型例题的分析与探究，引导学生经历“尝试—归纳—应用”的认知过程，体验从不同角度思考问题、解决问题的策略多样性，培养观察、比较、归纳、推理的逻辑思维能力。  3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的浓厚兴趣和探索欲望，培养敢于挑战、乐于思考的学习态度；在合作与交流中，增强自信心，体会解决问题的成就感和乐趣。  二、教学重难点  （一）【基础】教学重点：掌握枚举法、画图法、逆向思考、找规律这四种核心解题技巧的基本思想和操作步骤。能够将这些技巧应用于解决简单的整数运算、图形计数、逻辑推理等竞赛问题中。  （二）【难点】教学难点：灵活选择和应用合适的解题技巧解决综合性或变式问题，特别是如何从题目中抽象出数学模型，并能有条理、无遗漏、无重复地进行思考（如枚举法中的有序性）。培养学生的审题能力和策略意识。  三、教学准备  （一）教师准备：多媒体课件（PPT），包含例题动画演示、思考过程图解；设计精美的学习任务单（每生一份），包含课堂例题、巩固练习和拓展挑战题；准备一些实物教具，如小棒、彩色的几何图形片、简单的天平模型（用于等量代换）等。  （二）学生准备：常规学习用具（铅笔、橡皮、直尺、草稿纸）；参与数学竞赛的热情和积极思考的心态。  四、教学实施过程（核心环节）  第一课时有序思考的基石：枚举法与分类讨论  （一）【非常重要】情境导入，感知“枚举”    教师通过多媒体展示一个生活情境：“周末，小明想把红、黄、蓝三种颜色的气球按不同顺序挂成一排装饰房间，他想知道一共有多少种不同的挂法。你能帮帮他吗？”引导学生尝试用自己喜欢的方式（如画图、用字母代替）来列举所有可能。学生初步尝试后，可能会有遗漏或重复。教师以此引出课题：当我们面对可能性不多的问题时，可以一种一种地列举出来，这就是数学中常用的一种解题技巧——“枚举法”。它的核心要求是：不重复、不遗漏。  （二）【高频考点】技巧精讲：有序枚举    教师以气球排列问题为例，讲解如何做到“有序枚举”。    1.方法一：固定位置法。先确定第一个位置的气球颜色，再考虑后面位置的排列。      如果第一个是红，那么后面可以是（黄，蓝）或（蓝，黄）→红黄蓝、红蓝黄。      如果第一个是黄，那么后面可以是（红，蓝）或（蓝，红）→黄红蓝、黄蓝红。      如果第一个是蓝，那么后面可以是（红，黄）或（黄，红）→蓝红黄、蓝黄红。      一共3×2=6种。    2.方法二：画树状图。教师板书演示如何用树状图将每种可能性清晰地表示出来，从第一个分支到最后一个分支，每条路径代表一种排列。树状图是枚举法的直观形式。    3.对比小结：通过对比无序的尝试和有序的列举，让学生深刻体会到“有序”是枚举法的灵魂，它能保证结果既不重复也不遗漏。  （三）【热点】分层探究：枚举法的进阶应用    教师呈现例题2：“用数字1、2、3可以组成多少个不同的两位数？”（数字不可重复使用）    引导学生小组合作，运用刚才学到的有序枚举法进行探究。小组讨论后，派代表分享本组的枚举策略（如：先固定十位，再变个位；或先固定个位，再变十位）。教师巡视指导，关注学生是否做到了有序。    师生共同总结：十位为1时：12，13；十位为2时：21，23；十位为3时：31，32。共3×2=6个。    例题3（变形提升）：“有1张5角、2张2角和5枚1角的硬币，要从中拿出6角钱，可以怎样拿？”（【难点】）    1.审题引导：此题与前面两题不同，拿出的硬币可以组合，而且同面额的硬币有数量限制。如何枚举才能不重不漏？    2.策略指导：按大面额硬币的使用数量来分类枚举，是解决此类问题的有效策略。      第一类：使用1张5角。那么还需要1角，可以从2角和1角中组合。再按使用2角的数量继续细分：        不使用2角：则用1枚1角（5+1=6）→一种。        使用1张2角：5+2=7>6，不行。      结论：此类只有1种。      第二类：不使用5角。全部用2角和1角凑6角。        使用2张2角（4角）：还需2角，用2枚1角（4+2=6）→一种。        使用1张2角（2角）：还需4角，用4枚1角（2+4=6）→一种。        不使用2角：全部用1角，需要6枚，但只有5枚1角，不行。      结论：此类有2种。      汇总：共有1+2=3种不同的拿法。    3.【重要】总结归纳：对于稍复杂的枚举问题，首先要确定一个合理的“分类标准”，将大问题分解成几个小类，再在每一类中进行有序枚举。这就是“分类讨论”思想，是枚举法的升级版。  （四）巩固练习，内化方法    学生独立完成学习任务单上的练习：    1.基础题：从明明、丽丽、军军三个人中选两个人参加比赛，有几种不同的选法？    2.提高题：用0、4、7三个数字可以组成多少个不同的两位数？（数字不可重复使用，强调0不能放在十位，这是易错点）。    3.拓展题：早餐店有2种饮料（牛奶、豆浆）和3种点心（包子、油条、蛋糕），选一种饮料和一种点心，有多少种不同的搭配？用你喜欢的方式（文字列举、连线、画图）表示出来。    教师巡视，个别辅导，并选取典型作业进行展示点评，强化有序思考的重要性。  （五）课堂小结    引导学生回顾：今天学习的“枚举法”是什么？在运用时最关键的是什么？（有序、分类）你还有哪些收获或困惑？  第二课时化抽象为直观：画图法  （一）【非常重要】问题引入，揭示画图价值    教师呈现一道文字题：“一根绳子，第一次剪去一半多2米，第二次剪去剩下的一半少1米，最后还剩5米。这根绳子原来长多少米？”学生读题后，普遍感到条件复杂，理不清头绪。教师引导：“题目中的数量关系像一团乱麻，有没有什么办法能让它们变得清晰、直观呢？”由此引出“画图法”——一种化抽象为直观的强大解题工具。  （二）【高频考点】技巧精讲：线段图与示意图    1.画线段图分析数量关系（以上题为例）：      第一步：先画一条线段表示绳子的“总长”。      第二步：根据“第一次剪去一半多2米”，将线段平均分成两份，并标出多剪的2米部分（用阴影或虚线表示剪去的部分）。      第三步：明确“剩下的部分”是哪一段，并在其上继续分析“第二次剪去剩下的一半少1米”。这表示第二次剪去的长度不到剩下部分的一半，即少剪了1米，所以剩下的部分应该比剩下的一半多1米。      第四步：此时图上清晰显示出最后剩下的5米与第二次剪后剩下部分的关系。引导学生从后往前推理（结合逆向思考）：如果第二次是剪去剩下的一半，那么最后剩下的应该是51=4米（因为少剪1米，所以剩下的就多了1米）。这4米恰好是第一次剪完后剩下的一半。所以第一次剪完后剩下的长度是4×2=8米。      第五步：再看第一次剪的情况。第一次剪去一半多2米，说明剩下的8米比总长的一半少2米。所以总长的一半是8+2=10米。绳子原长就是10×2=20米。      教师边讲解边逐步完善线段图，让学生直观地看到每一步推理的依据。    2.画示意图解决图形问题：      例题：一个长方形，长是宽的3倍。如果长减少4厘米，宽增加4厘米，就变成了一个正方形。求原长方形的长和宽。      引导画图策略：先画出原长方形，标注长是宽的3倍。再想象变化后的正方形，可以在原图上用虚线或不同颜色画出变化后的图形。从图上可以直观地看出，长减少的4厘米和宽增加的4厘米，这两段长度有什么关系？它们共同作用使得长和宽变得相等，说明原来长比宽多出的部分正好等于（4+4）=8厘米。这个8厘米对应的是“长是宽的3倍”中多出的2倍。因此，宽=8÷2=4厘米，长=4×3=12厘米。      【重要】强调：画图不是简单地重现题目，而是将题目中的条件和关系“翻译”成图形，让隐藏的关系显性化。  （三）【热点】分层探究：画图解“重叠问题”    例题：三年级一班有30人，喜欢语文的有18人，喜欢数学的有23人，两样都喜欢的有10人。请问两样都不喜欢的有多少人？    1.引导画韦恩图（集合圈）：用两个相交的圆分别表示喜欢语文和喜欢数学的集合，相交部分表示两样都喜欢的人数。    2.分析图形：将已知数据填入图中。首先把中间的“两样都喜欢”的10人填入相交部分。那么，只喜欢语文的人数是1810=8人；只喜欢数学的人数是2310=13人。    3.看图列式：从图中可以看出，至少喜欢一门的人数为：只喜欢语文的8人+只喜欢数学的13人+两样都喜欢的10人=31人？等等，这里出现了问题，总人数才30人，至少喜欢一门的却有31人？这提示我们题目数据可能有问题，或者我们对图的理解有偏差。实际上，喜欢语文的18人已经包含了那10人，喜欢数学的23人也包含了那10人，所以总人数=喜欢语文的18人+喜欢数学的23人重叠的10人=31人，确实比班级总人数30人还多1人。这1人就是既不喜欢语文也不喜欢数学的人吗？不，31人已经是至少喜欢一门的人数，它比总人数多出来的部分无法解释。通过画图，我们反而发现了题目数据可能存在的矛盾（18+2310=31>30）。这个矛盾点正是思维的生长点，引导学生思考：这说明什么？说明我们的计算或题目假设有误？如果数据无误，那么意味着什么？这种情况下，我们只能认为，至少喜欢一门的人数是31人，但总人数只有30人，这不可能。因此，题目中的一个数据需要调整。假设总人数30正确，那么两样都喜欢的人数就不可能是10人，或者喜欢的人数要减少。通过画图，我们不仅解题，还能检验题目合理性。    （注：若数据合理，如总人数为35，则可顺利求出两样都不喜欢的为3531=4人。）    此环节重在让学生体会画图在理清复杂逻辑关系中的巨大作用。  （四）巩固练习，内化方法    学生独立完成：    1.基础题：小明和小红共有50本书，小明给小红5本后，两人的书就一样多了。原来两人各有多少本？（画线段图）    2.提高题：一个正方形被分成了3个完全一样的长方形，每个长方形的周长是16厘米。原来这个正方形的周长是多少厘米？（画示意图，寻找长方形长与宽的关系）    3.拓展题：40个同学都订了报纸，订《语文报》的有28人，订《数学报》的有26人，问两种报纸都订的有多少人？两种报纸都没订的有多少人？这道题可能吗？为什么？（结合画图讨论）  （五）课堂小结    画图法就像解题的“导航仪”，能把复杂的文字信息变成清晰的图形语言。记住，遇到难题，不妨先画个图！  第三课时逆向思维与等量代换  （一）【非常重要】游戏导入，体验“倒着推”    教师设计一个“猜数”游戏：你在心里想好一个数，先把它乘以2，再加上4，然后再除以3，最后减去1，结果是5。你能猜出我心里想的数是多少吗？引导学生从最后的结果“5”开始，按照运算步骤“逆着推回去”：结果5是减去1得到的，那减之前是5+1=6；6是除以3得到的，那除之前是6×3=18；18是加上4得到的，那加之前是184=14；14是乘以2得到的，那乘之前是14÷2=7。所以心里想的数是7。通过游戏，让学生初步感受“逆向思考”的魅力。  （二）【高频考点】技巧精讲：还原问题    教师引出“还原问题”的概念：已知一个数经过若干次变化后的结果，求原来的数，这类问题叫做还原问题。解决还原问题的基本方法就是“倒推法”或“逆向思考法”。    例题：一筐桃子，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多3个，最后还剩15个。原来筐里有多少个桃子？    1.引导学生画图（结合上一课时知识）或用文字倒推。    2.关键步骤：      从最后剩下的15个开始倒推。      “第二次卖掉剩下的一半多3个”后剩下15个，说明如果第二次只卖掉剩下的一半，剩下的应该是15+3=18个。这18个正好是第一次卖完后剩下的一半。所以第一次卖完后剩下的就是18×2=36个。      “第一次卖掉总数的一半多2个”后剩下36个，说明如果第一次只卖掉总数的一半，剩下的应该是36+2=38个。这38个正好是总数的一半。所以原来总数是38×2=76个。      【重要】强调：在倒推时，每一步的运算都要做逆运算（加变减，减变加，乘变除，除变乘），并且要注意顺序，从最后一步往前逐步推理。  （三）【热点】技巧精讲：等量代换    1.情境引入：出示天平图，一个菠萝和两个梨一样重，一个梨和三个苹果一样重。问：一个菠萝和几个苹果一样重？    2.核心思想讲解：这就是“等量代换”。用一种量来代替和它相等的另一种量，使复杂的关系变得简单。在这个例子中，梨就是“中间量”。因为1个菠萝=2个梨，1个梨=3个苹果，所以2个梨=2×3=6个苹果，因此1个菠萝=6个苹果。    3.【难点】例题进阶：已知：1个排球+1个足球=80元；1个足球+1个篮球=90元；1个篮球+1个排球=86元。求三种球各多少钱？      策略引导：观察三个等式，每个球都出现了两次。如果把三个等式左边全部加起来，就是（排球+足球+篮球）出现的次数。左边总和=(排球+足球)+(足球+篮球)+(篮球+排球)=2×(排球+足球+篮球)。右边总和=80+90+86=256元。所以2×(排球+足球+篮球)=256元，因此排球+足球+篮球=128元。      然后，用这个总和分别减去每个等式：篮球=12880=48元；排球=12890=38元；足球=12886=42元。      【非常重要】此例题展示了“整体代换”的思想，即将几个等式相加得到一个整体关系，再进行代换求解，这是竞赛中常用的高阶技巧。  （四）【难点突破】逆向与代换的综合应用    例题：小军有一些卡片，他先送给小明一半，又送给小红3张，然后又从小刚那里得到剩下的一半多2张，最后他有12张。小军原来有多少张？    此题结合了还原问题和数量关系的理解。引导学生先整体分析事件流程，画出流程图，然后从后往前分步逆向思考，每一步都要清晰当前的数量是如何变化的。教师带领学生逐步拆解，强化综合运用能力。  （五）巩固练习，内化方法    1.基础题：一个数加上5，乘以2，减去4，除以2得6。求这个数。    2.提高题：△+□=15，□+○=18，○+△=17。求△、□、○各是多少？    3.拓展题：妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，最后还剩1个。妈妈一共买了多少个橘子？（提示：从最后一天往前推）  第四课时发现规律，预见未来：找规律与综合运用  （一）【非常重要】观察与猜想，引入规律    教师展示一系列数列或图形：    数列：2，4，6，8，（），（）…    图形：□○△□○△□（）（）…    请学生快速说出括号里应填什么，并说明理由。学生能很快发现其中的规律。教师由此引出：在数学竞赛中，很多问题都隐藏着规律，只要我们善于观察、比较、归纳，就能发现规律，从而“预见”未来的结果或解决看似复杂的问题。  （二）【高频考点】技巧精讲：数列中的规律    1.等差数列：相邻两项的差相等。如：3，7，11，15，…差为4。通项公式初步感知：第n项=首项+(n1)×公差。    2.等比数列：相邻两项的比相等。如：2，4，8，16，…比为2。    3.双重数列：一个数列由两个有规律的子数列穿插而成。如：1，2，3，4，5，6，7，8，…奇数项和偶数项分开看。    4.兔子数列（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，…从第三项起，每一项都是前两项之和。    例题：找规律填数：1，4，9，16，（），36。引导学生发现这是平方数数列。  （三）【热点】技巧精讲：图形中的规律    例题：摆一个三角形需要3根小棒，摆两个三角形需要5根小棒（共用一条边），摆三个三角形需要7根小棒，照这样摆下去，摆10个三角形需要多少根小棒？摆n个呢？    1.动手操作（可想象或画图）：学生尝试找出小棒根数与三角形个数之间的关系。    2.归纳规律：摆1个用3根，以后每增加一个三角形，只需增加2根小棒。所以摆2个：3+2=5；摆3个：3+2×2=7；摆10个：3+2×9=21；摆n个：3+2×(n1)=2n+1。    3.【重要】强调：从具体的、简单的例子开始，找出变化规律，再推广到一般情况，这是解决规律问题的一般方法。  （四）【非常重要】综合运用：多种技巧解决复杂问题    例题：小赵、小钱、小孙三人，一位是工人，一位是教师，一位是军人。已知：（1）小赵比教师年龄大；（2）小钱和教师不同岁；（3）小孙比军人年龄小。请推断他们各自的职业。    1.审题与策略选择：这是一个逻辑推理题，可以用列表法（也是一种枚举）或推理法。    2.列表法（【高频考点】）：      画一个3×3的表格，行表示人，列表示职业。根据条件逐一打“×”或“√”。      由条件（2）小钱和教师不同岁→小钱不是教师。      由条件（1）小赵比教师年龄大→小赵不是教师（因为如果是教师，就不能比自己大）。      现在，小钱和小赵都不是教师，所以教师只能是小孙。在表格中对应位置打“√”。      由条件（3）小孙比军人年龄小，而小孙是教师，所以教师（小孙）比军人年龄小→小孙不是军人。      现在，小孙是教师，不是军人，那小孙就是工人？在对应位置打“√”。      最后，剩下的军人是小赵。检验条件（1）：小赵（军人）比教师（小孙）年龄小？条件（3）说小孙（教师）比军人（小赵）年龄小，这与我们推出的“小赵（军人）比小孙（教师）年龄小”矛盾！我们的推理出现了问题。回顾：条件（3）是小孙比军人年龄小，我们推出了小孙是教师，教师比军人小，所以小孙不是军人，这没问题。但谁可能是军人？剩下的有小赵和小钱。如果小赵是军人，那么条件（1）说小赵比教师（小孙）年龄大，这与条件（3）小孙比军人（小赵）年龄小（即军人比教师年龄大）是一致的。所以小赵是军人是符合的。如果小钱是军人呢？那么条件（3）小孙比军人（小钱）小，条件（2）小钱不是教师，条件（1）小赵（非教师）比教师（小孙）大，这些也都可能成立，但我们需要唯一解。我们需要重新审视列表，我们最初由条件（2）和（1）推出教师只能是小孙，这一步是否正确？条件（1）小赵比教师年龄大，并不能推出小赵一定不是教师，因为如果小赵是教师，那么“小赵比小赵年龄大”是荒谬的，所以小赵不可能是教师。正确。条件（2）小钱和教师不同岁，并不能直接推出小钱不是教师，因为“不同岁”不等于“不是同一个人”，不同岁的人当然可以是不同的人，所以小钱有可能还是教师。这里我们犯了逻辑错误！“和教师不同岁”的意思是，小钱的年龄与那位教师的年龄不相等，既然小钱是具体的人，那位教师也是具体的人，如果小钱是教师，那么“小钱和教师”就是同一个人，同一个人不可能和自己不同岁。所以“小钱和教师不同岁”确实能推出“小钱不是教师”。所以第一步推理正确，教师只能是小孙。那么冲突出在哪里？冲突在于条件（3）和职业分配结果。如果小孙是教师，那么条件（1）小赵比小孙大，条件（3）小孙比军人小。这两个条件合起来就是小赵（可能是军人也可能不是）比小孙大，而小孙比某位军人小。如果军人就是小赵，则条件变为小赵比小孙大，且小孙比小赵小，这是等价的，成立。如果军人不是小赵，而是小钱，那么条件为小赵（？）比小孙大，小孙比小钱小，这无法推出矛盾。所以此题实际上可能有两种情况？我们继续列表：      确定小孙是教师后，在表格中标记。      条件（3）：小孙比军人小→军人不是小孙。      现在还剩工人和军人的职业分配给赵和钱。      假设小赵是军人，小钱是工人。条件（1）小赵（军人）比教师（小孙）大→军人比教师大，符合条件（3）教师比军人小（即军人比教师大），一致。条件（2）小钱（工人）和教师（小孙）不同岁，自然