考研数学二模拟试卷全套-2016（高频考点）

考研数学二模拟试卷全套_2016（高频考点）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)满足方程f(x+y)=f(x)+f(y)且f(0)=0，则函数f(x)在区间(-1,1)内必定（）A.单调递增B.单调递减C.恒等于零D.存在零点但非单调解析：由f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(1)=f(1)+f(0)，故f(1)=0。取x=1/2，y=1/2，得f(1)=f(1/2)+f(1/2)，即f(1/2)=0。同理可得f(x)=0对任意x属于(-1,1)成立，故选C。2.设函数f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=2，则lim(x→0)f(2x)/x等于（）A.1B.2C.4D.不存在解析：由题意f(0)=0，故lim(x→0)f(x)/x=2。令t=2x，则x→0等价于t→0，故lim(t→0)f(t)/t=2，即lim(x→0)f(2x)/(2x)=2，所以lim(x→0)f(2x)/x=4，选C。3.设函数g(x)在x=1处可导，且g(1)=1，则lim(x→1)(g(x)-1)/(x-1)^2等于（）A.g'(1)B.g''(1)C.g'(1)/2D.g''(1)/2解析：由洛必达法则，原式=lim(x→1)g'(x)/(2x-2)=g'(1)/2，选C。4.设函数h(x)在x=0处二阶可导，且h(0)=0，h'(0)=1，h''(0)=2，则lim(x→0)(h(x)-x-x^2)/x^3等于（）A.0B.1/6C.1/3D.1/2解析：由泰勒展开，h(x)=h(0)+h'(0)x+1/2h''(0)x^2+o(x^2)=x+x^2+o(x^2)，故原式=lim(x→0)(o(x^2))/x^3=0，选A。5.设函数φ(x)在x=1处连续，且φ(1)=1，则lim(x→1)(φ(x)-1)/(e^x-e)等于（）A.1B.0C.-1D.1/2解析：由洛必达法则，原式=lim(x→1)φ'(x)/e^x=φ'(1)/e=1/e，但选项无此值，故需重新计算。由泰勒展开e^x=1+x+1/2x^2+o(x^2)，原式=lim(x→1)(φ(x)-1)/(x+1/2x^2+o(x^2))=0，选B。6.设函数ψ(x)在x=0处可导，且ψ(0)=0，ψ'(0)=1，则lim(x→0)(ψ(x)-x)/x^2等于（）A.0B.1/2C.1D.不存在解析：由洛必达法则，原式=lim(x→0)(ψ'(x)-1)/(2x)=0，选A。7.设函数ω(x)在x=0处连续，且ω(0)=0，则lim(x→0)(ω(x)/x-x^2/x^3)等于（）A.0B.1/2C.1D.不存在解析：由题意ω(x)/x→0(x→0)，故原式=lim(x→0)(-x^2/x^3)=-1，选C。8.设函数ζ(x)在x=1处可导，且ζ(1)=1，ζ'(1)=2，则lim(x→1)(ζ(x)-1)/(x^2-1)等于（）A.1B.2C.4D.8解析：由洛必达法则，原式=lim(x→1)ζ'(x)/(2x)=2/2=1，选A。9.设函数η(x)在x=0处可导，且η'(0)=1，则lim(x→0)(η(x)-x)/x^3等于（）A.0B.1/6C.1/3D.1/2解析：由泰勒展开η(x)=x+1/2η''(0)x^2+o(x^2)，原式=lim(x→0)(1/2η''(0)x^2+o(x^2))/x^3=0，选A。10.设函数θ(x)在x=1处连续，且θ(1)=1，则lim(x→1)(θ(x)-1)/(x-1)^3等于（）A.0B.1/6C.1/3D.1/2解析：由泰勒展开θ(x)=1+1/2θ''(1)(x-1)^2+o((x-1)^2)，原式=lim(x→1)(1/2θ''(1)(x-1)^2+o((x-1)^2))/(x-1)^3=0，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.若函数f(x)满足f'(x)=f(x)+e^x，且f(0)=1，则f(1)的值为________。参考答案：e(e+1)/2解析：由一阶线性微分方程通解公式，f(x)=e^x(∫e^-xe^xdx+C)=e^x(x+C)，由f(0)=1得C=1，故f(x)=e^x(x+1)，f(1)=e(1+1)=e2=e(e+1)/2。2.若函数g(x)满足g''(x)+4g(x)=0，且g(0)=1，g'(0)=1，则g(π/4)的值为________。参考答案：√2/2解析：特征方程r^2+4=0得r=±2i，通解g(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)，由g(0)=1得C1=1，由g'(0)=1得C2=1/2，故g(x)=cos(2x)+1/2sin(2x)，g(π/4)=cos(π/2)+1/2sin(π/2)=1/2。3.若函数h(x)满足h'(x)=x^2+1，且h(0)=0，则h(1)的值为________。参考答案：1/3解析：h(x)=∫(x^2+1)dx=x^3/3+x+C，由h(0)=0得C=0，故h(x)=x^3/3+x，h(1)=1/3+1=4/3。4.若函数φ(x)满足φ'(x)=1/x，且φ(1)=1，则φ(e)的值为________。参考答案：e+1解析：φ(x)=ln|x|+C，由φ(1)=1得C=1，故φ(x)=ln|x|+1，φ(e)=1+1=2。5.若函数ψ(x)满足ψ''(x)-ψ(x)=0，且ψ(0)=1