沪教版小学数学三升四年级暑假衔接专题导学案：探秘乘法与除法的孪生关系

沪教版小学数学三升四年级暑假衔接专题导学案：探秘乘法与除法的孪生关系

  设计依据与理念

  本导学案专为沪教版小学数学三升四年级学生在暑期进行自主衔接学习而设计。核心设计理念源于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对“数与运算”主题的深刻要求，即不仅要让学生掌握运算技能，更要理解算理，感悟运算之间的关系。乘法与除法的关系，是整数四则运算意义网络中最核心的枢纽，是学生从算术思维向代数思维过渡的关键桥梁。传统的教学中，往往将乘、除法视为两种孤立的运算进行教学，而本设计致力于打破这种割裂，从“关系”的视角重构学习路径。设计充分尊重小学中年级学生的认知发展规律（具体运算阶段向形式运算阶段过渡），通过结构化的问题链、生活化的真实情境、游戏化的探究活动以及可视化的思维工具（如矩形模型、思维导图），引导学生在自主操作、合作交流、思辨论证中主动建构“乘除互逆”这一核心数学模型。设计不仅关注知识的掌握，更强调数学思想（如模型思想、逆运算思想、函数思想）的渗透和迁移应用能力的培养，旨在为学生四年级进一步学习运算律、解决复杂实际问题以及未来学习分数、方程奠定坚实的思维基础，实现暑假衔接的“温故”与“知新”双重目标。

  学习目标

  知识与技能目标：1.能够准确、流畅地阐述乘法与除法各部分之间的对应关系，即“因数×因数=积”与“积÷一个因数=另一个因数”，并能用规范的数学语言进行表达。2.能够熟练运用乘、除法的互逆关系，完成三种基本形式的填空（如：□×7=56，72÷□=9，□÷8=6），并验证计算结果的正确性。3.能够灵活运用乘除法的关系，解决“求未知因数”或“求未知被除数、除数”的一步计算实际问题，并理解其与后续方程思想的联系。4.能够辨析乘、除法在解决实际问题时的区别与联系，并选择合适的运算解决问题。

  过程与方法目标：1.经历从具体生活情境抽象出数学问题，再利用乘除关系模型解决问题的完整过程，体会数学建模的思想。2.通过操作学具（如小方块、点子图）、绘制矩形面积模型，将抽象的乘除关系可视化，发展几何直观能力。3.在“猜想-验证-归纳”的探究活动中，学会用举例、推理等数学方法发现规律、概括结论，提升合情推理与演绎推理能力。4.通过制作“乘除关系”思维导图，学会用结构化的方式梳理和巩固知识，构建个人知识网络。

  情感、态度与价值观目标：1.在发现乘除法奇妙联系的过程中，感受数学的对称美、逻辑美，激发对数学内在规律的好奇心和探究欲。2.通过解决富有挑战性的关联性问题，体会运用已有知识解决新问题的成就感，增强学习数学的自信心。3.在小组讨论与分享中，学会倾听、质疑与表达，培养严谨求实的科学态度和合作交流的学习习惯。

  学习重点与难点

  学习重点：深刻理解并掌握乘法与除法之间的互逆关系，即“除法是乘法的逆运算”，并能运用这一关系进行计算和解决简单实际问题。

  学习难点：1.理解“逆运算”概念的抽象本质，特别是除法中“除数”与“商”在乘法模型中对应角色的灵活互换。2.在复杂的变式情境中（如被除数、除数未知的情况），灵活、准确地应用乘除关系进行判断和计算。3.将乘除互逆的算术关系，初步与未来代数中的“解方程”思想建立有意义的连接。

  学习者分析

  本导学案面向的是已完成沪教版三年级数学学习，即将进入四年级的学生。他们已经熟练掌握了表内乘除法、两位数乘一位数、两位数除以一位数等基本计算技能，并初步理解了乘法和除法的基本含义（乘法是“几个几相加”，除法是“平均分”和“包含除”）。然而，大多数学生对于乘、除两种运算的认识仍处于平行、割裂状态，尚未有意识地从“关系”层面进行统整。他们的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，对于通过操作、画图来理解抽象关系有较强的需求。部分思维活跃的学生可能已经模糊地感觉到乘法和除法可以互相“检验”，但缺乏系统性的提炼和概括。暑期自主学习环境，要求学生具备更强的自我管理和任务驱动能力，因此本设计通过设置清晰的闯关任务、有趣的探究活动和即时性的自我评价，旨在激发学生的内在学习动机，引导他们进行深度思考而非浅表练习。

  学习资源与工具

  基础资源：沪教版三年级下册数学课本；学生自备练习本、铅笔、尺子、彩色笔。

  探究工具：若干小正方形积木或小方块（可用方格纸代替）；点子图或方格纸；A4白纸用于绘制思维导图。

  数字化资源（可选）：可以访问国家中小学智慧教育平台等权威网站，搜索“乘除法的关系”相关微课作为预习或复习的辅助；使用平板电脑的绘图工具绘制矩形模型。

  导学材料：本导学案文本；配套的“闯关挑战卡”与“自我评价表”。

  学习过程实施

  第一阶段：启动阶段——唤醒经验，提出问题

  活动一：记忆寻宝。请你在练习本上，快速写出你记得的所有关于“乘法”和“除法”的知识。比如，它们的意义是什么？各部分的名称叫什么？你能各举一个生活中的例子吗？给你3分钟时间，写得越多越好。完成后，请停下来看一看，你写出的关于乘法和除法的知识，是分开的两大块，还是中间有连线呢？

  设计意图：通过自由回忆，激活学生已有的关于乘、除法的分散性知识，为后续建立联系做好铺垫。同时引导学生自我觉察当前知识的组织状态（割裂或关联），产生建立联系的心理需求。

  活动二：情境谜题。请仔细思考下面两个问题：1.妈妈去超市买苹果，每袋装8个，买了6袋。她一共买了多少个苹果？2.妈妈一共买了48个苹果，每袋装8个。这些苹果可以装几袋？请你在练习本上分别列出算式并解答。解答后，请仔细观察这两个问题和它们的算式，你有什么发现？把你的发现用一句话写在问题下面。

  设计意图：提供一组紧密关联的乘、除法现实情境，让学生在解决具体问题的过程中，直观感受到两个问题、两个算式之间的内在联系，初步萌发“乘除可逆”的感性认识。这是学生自主建构关系的起点。

  第二阶段：探究阶段——操作验证，建构关系

  活动三：模型搭建——方块的秘密。拿出你的小方块（或用方格纸上画方格代替）。任务一：请你用方块摆出一个长为6个单位、宽为4个单位的长方形。数一数一共用了多少个小方块？这个总数，我们叫它“积”。长和宽，我们可以叫它“因数”。所以，这个操作可以用算式表示为：6×4=24。任务二：现在，我给你这24个小方块，告诉你其中一个“因数”是4（即宽是4），你能通过摆一摆，求出另一个“因数”（长）是多少吗？请动手操作，并用一个算式记录你的过程。任务三：还是这24个小方块，如果我告诉你其中一个“因数”是6（即长是6），你能求出另一个“因数”（宽）吗？再次操作并记录算式。

  关键提问与思考：1.在任务二和任务三中，你操作的起点（已知条件）和任务一有什么不同？2.你得到的算式（24÷4=6，24÷6=4）和乘法算式6×4=24，有什么肉眼可见的联系？3.你能用一句话总结，当我们知道“积”和其中一个“因数”时，如何得到另一个“因数”吗？

  设计意图：矩形面积模型是揭示乘除关系最直观、最有力的几何模型。通过“拼长方形”到“拆长方形”的逆向操作活动，将“因数×因数=积”与“积÷因数=另一个因数”的抽象关系，转化为可观察、可操作的空间变换过程，让“逆运算”变得看得见、摸得着。

  活动四：规律搜索——数字的魔法。我们已经从摆方块中发现了线索，现在让我们在更大的数字世界里验证一下。请你完成下面三组“数字魔法”练习。

  第一组：9×8=72，那么72÷9=（），72÷8=（）。

  第二组：15×6=90，那么90÷15=（），90÷6=（）。

  第三组：已知（）×7=84，那么84÷7=（）。

  完成填空后，请思考并回答：1.这三组练习，共同证明了我们刚才从方块操作中得出的结论吗？2.如果用一个像桥梁一样的图来表示乘法算式和两个除法算式的关系，你会怎么画？试着画一画。

  设计意图：从具体的操作模型过渡到抽象的数学算式，通过多组具有代表性的算式练习，让学生经历从特殊到一般的归纳过程，巩固和验证刚刚发现的规律。引导学生绘制关系图，是将内在理解进行外化表征的重要一步，促进思维的结构化。

  第三阶段：深化与建模阶段——抽象概括，形成概念

  活动五：概念定义——为关系命名。通过前面的探索，我们已经牢牢抓住了乘法与除法之间的神秘联系。现在，是时候为这种联系起一个正式的数学名字了。在数学上，我们把这种“知道‘积’和其中一个‘因数’，求另一个‘因数’”的运算，叫做除法的第一种含义（等分除）。更厉害的是，我们整体上看：除法就是乘法的逆运算。“逆”就是“相反”的意思。就像“加法和减法”是逆运算一样，“乘法和除法”也是一对完美的逆运算搭档。

  请你尝试完整表述：1.因为（）×（）=（），所以（）÷（）=（），（）÷（）=（）。2.已知一个乘法算式，我们可以写出（）个相关的除法算式。3.已知一个除法算式，比如56÷8=7，你能写出和它相关的乘法算式吗？写出来，并说说你是怎么想的。

  设计意图：引导学生用规范的数学语言对探究发现进行概括和定义，将感性认识上升为理性认识。明确“逆运算”这一核心概念，并让学生通过逆向推导（从除法到乘法），完成对互逆关系的双向理解，使认知结构更加完整和牢固。

  活动六：思维可视——绘制“乘除关系”思维地图。请你拿出一张A4纸，以“乘法与除法的关系”为中心主题，绘制一张属于你自己的思维导图。你的分支可以包括：核心结论（互逆运算）、各部分名称对照（因数、积、被除数、除数、商）、数学模型（矩形图）、关系句式（“因为...所以...”）、举例、我的发现、易错提醒等。用上你的彩色笔，让你的知识地图既漂亮又清晰。

  设计意图：思维导图是进行知识梳理与整合的绝佳工具。此活动鼓励学生将本专题所学进行个性化、创造性的总结与重构。绘制过程本身就是一次深度复习和系统思考，形成的思维导图将成为学生后续复习的宝贵资料。

  第四阶段：迁移与创造阶段——灵活运用，解决问题

  活动七：闯关挑战——关系应用大练兵。恭喜你掌握了乘除关系的核心秘密！现在，请运用你的智慧，完成以下三层挑战，成为“关系运用小达人”。

  挑战一：基础巩固关（填空小能手）。

  1.根据13×5=65，直接写出：65÷13=（），65÷5=（）。

  2.（）×12=108，那么108÷12=（）。

  3.已知□÷9=11，那么□=（）×（）=（）。

  挑战二：灵活应用关（判断小侦探）。判断下列说法是否正确，并说明理由。

  1.知道一个乘法算式，只能写出一个除法算式。（）

  理由：

  2.在45÷□=5中，□里应该填9，因为45÷9=5。（）

  理由：

  3.除法是乘法的逆运算，所以乘法和除法是完全一样的运算。（）

  理由：

  挑战三：问题解决关（生活智慧星）。解决以下实际问题。

  1.文具店之谜：文具店新进了一批钢笔，如果每盒装10支，正好可以装36盒。这批钢笔一共有多少支？如果每盒装12支，可以装多少盒？（提示：先用乘除关系求出总数）

  2.花园设计：学校有一块长方形花圃，面积是120平方米。园艺师傅知道它的长是15米，请问宽是多少米？如果要用篱笆围起来，需要知道什么条件？

  3.创意编题：请你模仿“情境谜题”或以上题目，自己创作一道先用乘法计算，再用第一步的结果进行除法计算的两步实际问题。

  设计意图：设计分层、递进的挑战任务，满足不同层次学生的学习需求。从直接关系到变式应用，从判断辨析到综合解决，引导学生将所学知识在不同情境中迁移运用。“创意编题”则是对理解的最高层次检验，激发学生的创造力和对数学建模的深层领悟。

  第五阶段：总结与反思阶段——梳理收获，展望未来

  活动八：收获与疑问盘点。请你认真回顾整个学习过程，完成以下句子：1.今天我学到的最重要的一个数学观点是：。2.我能用自己的话把这个观点讲给家人听。3.在今天的探究中，我印象最深的一个活动/方法是：

，因为它让我感觉_____________________。4.我还有一个想继续研究的小问题是：_________________________。（例如：加法、减法、乘法、除法这四种运算之间，还有更多关系吗？）

  设计意图：引导学生进行元认知反思，梳理核心收获，评估自己的学习过程与方法，并鼓励提出新的问题。将学习终点变为新的思考起点，培养学生持续探究的意识和能力。

  活动九：预习瞭望塔。掌握了乘除法的紧密关系，就像获得了一把万能钥匙。到了四年级，我们将用这把钥匙去开启更多数学宝库的大门。例如：1.验算神器：我们可以用“商×除数=被除数”来快速验算除法计算对吗？2.定律探索：乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）非常有趣，除法会有类似的规律吗？3.方程萌芽：求“□”里的数，是不是很像未来要学的“解方程”呢？带着这些期待，准备好迎接四年级更精彩的数学之旅吧！

  设计意图：建立新旧知识之间的联系，点明本专题学习的深远意义，激发学生对后续学习内容的期待和兴趣，实现暑假衔接的平稳过渡和正向激励。

  学习评价设计

  本导学案采用“过程性评价”与“总结性评价”相结合、“自我评价”与“任务评价”相融合的多元评价方式。

  1.过程性表现评价：关注学生在各阶段活动中的参与度、思考深度与合作交流表现。具体体现在“操作探究的专注与有序性”、“讨论发言的逻辑性与创新性”、“思维导图的结构性与美观性”。

  2.任务成果评价：

  “闯关挑战卡”完成情况：挑战一正确率反映基础掌握程度；挑战二判断与说理反映概念理解的清晰度；挑战三问题解决反映迁移应用能力；自编题目反映综合理解与创造力。

  “乘除关系”思维导图：评价其内容的完整性、准确性、结构的逻辑性以及形式的美观性。

  3.自我反思评价：通过“收获与疑问盘点”活动，评价学生的元认知能力和学习态度。能清晰总结核心观点、提出有价值新问题的学生，视为达到了深度学习的目标。

  评价建议：鼓励学生使用“我真棒！”、“我做到了！”、“我再想想”等符号进行自我激励。家长或辅导者可以主要扮演观察者、倾听者和鼓励者的角色，而非裁判者，重点欣赏学生的思考过程和创新尝试。

  学习资源附件（示例）

  附件一：乘除关系各部分名称对照表（填空版）

  乘法算式：（因数）×（因数）=（积）

  对应的除法算式1：（积）÷（因数）=（另一个因数）

  对应的除法算式2：（积）÷（另一个因数）=（因数）

  除法算式：（被除数）÷（除数）=（商）

  对应的乘法算式：（除数）×（商）=（被除数）

  核心关系句：除法是乘法的（逆运算）。

  附件二：易错点辨析小贴士

  1.找准对应关系：在根据乘除法关系填空时，一定要找准谁对应“积”，谁对应“因数”。例如：在“□÷8=6”中，□是被除数，它是“积”的角色，所以应该是8×6=48。

  2.关于“0”的特殊情况：请记住：在乘法中，0乘任何数都得0。在除法中，0不能做除数。乘除关系在涉及0时要特别小心。

  3.“平均分”与“包含除”统一于关系：无论是“把24平均分成4份”还是“24里面有几个6”，都可以用除法24÷4=6或24÷6=4表示，并且都能找到对应的乘法算式。这证明了乘除关系统一了除法的两种含义。

  附件三：拓展探究园地（供学有余力者挑战）

  1.连环锁问题：○×△=36，□÷○=4，△-□=1。请问○、△、□各代表什么数字？

  2.数字谜题：在下面的竖式中，每个汉字代表一个数字（0-9），不同的汉字代表不同的数字。你能破解这个“数学魔法”吗？

  爱数学

  ×学

  ───────────

  好数学

  （提示：“学”ד学”的个位是“学”）

  3.关系推广猜想：我们学习了加与减、乘与除是逆运算。你想过“乘方”（如3²=9）有它的逆运算吗？试着去查查资料，“开方”（如√9=3）是什么？

  教师指导建议