陕西省西安市第七十中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

陕西省西安市第七十中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知，则下列向量中与垂直的是（

）A． B． C． D．2．已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（

）A． B．C． D．3．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．已知，若三向量共面，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．55．双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（

）A． B． C． D．7．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为弦的中点，为上一点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多选题9．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若，，，则下列说法正确的是（）

A．B．C．D．10．已知直线（）与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，下列结论正确的是（

）A．线段中点的轨迹方程是B．点到点的距离的最大值为C．点到点的距离的最小值为D．点活动区域围成图形的面积为11．已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（

）A．的周长为6B．若，则的面积为C．椭圆上存在4个点，使得D．的最小值为三、填空题12．直线被圆截得的弦长为________．13．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________．14．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是__________.四、解答题15．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线的倾斜角为45°，求.16．已知圆C过点，，且圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程．17．已知，点P满足：．设点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．(2)若直线l过点且与曲线C有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围．18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.19．已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l的倾斜角为，求线段的长；(3)求的面积最大值．1．B【详解】对于A，，不合题意；对于B，，符合题意；对于C，，不合题意；对于D，，不合题意.故选：B.2．C【详解】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上，由渐近线方程为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以的方程是.故选：C.3．A【详解】直线方程为，即，由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：A.4．C【详解】若三向量共面，则存在，使得，又因为，所以，所以，解得，故等于4.故选：C.5．C【详解】双曲线，化为标准方程得，则，离心率为.故选：C.6．B【详解】，圆心为，圆心与连线所在直线斜率为：，因为，所以点在圆内，所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.所以，最短弦所在的直线斜率满足，所以由点斜式方程得，最短弦所在的直线为，整理得.故选：B7．B【详解】由题可知，，又因为，，故，又因为，故.故选：B.8．A【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，由消去y并整理得：，设，，则，弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，令交抛物线于点，在抛物线上任取点，过作于点，连接，即有，，当且仅当点与P重合时取等号，所以的最小值为.故选：A.9．AD【详解】由题意可知，，对于A：，故A正确；对于B，因为，所以所以，故B错误；对于C:，故C错误；对于D:，故D正确．故选：AD10．BD【详解】由，得，由，得，由，得，设，则，即，因此点的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为，即有，则代入，整理得：，即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），即线段中点的轨迹方程是，所以A错误；点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值，所以最大值为，所以B正确；点与圆上点连线的距离减去圆C的半径即为点到点的距离的最小值，所以最小值为，所以C错误；点轨迹是以圆心在圆上，半径为的圆，故点C的活动区域为圆盘，其面积为，所以D项正确．故选：BD.11．ABD【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则，，，所以的周长为，A正确.对于B，若，根据余弦定理可得，可得，解得，则的面积为，B正确.对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大，此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误.对于D，因为，所以当且仅当，即时取等号，的最小值是，D正确.故选：ABD.12．/【详解】由圆的方程可得圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.故答案为：.13．，【详解】设，则，整理，得，．动点的轨迹方程是，．故答案为：，．14．【详解】∵，若在O在同侧，则，，∵是的角平分线，∴，则，由，得，由，得，且，∴椭圆离心率的范围是；若在O在异侧，则，，，则，得，所以，得，且，∴椭圆离心率的范围是；综上，椭圆离心率的范围是.故答案为：.15．(1)(2)8【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线.（2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为，设，联立，,故.16．（1）；（2）或.【详解】解：（1）直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为直线AB的垂直平分线的方程为，整理为联立方程，解得由圆C的性质可知，圆心C的坐标为，可得圆C的半径为故圆C的标准方程为（2）①当直线l的斜率不存在时，直线正好与圆C相切，故此时直线l的方程为②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，整理为由直线l与圆C相切，有，解得可得直线l的方程为，整理为故直线l的方程为或．17．(1)(2)【详解】（1）由题可得：曲线C是以为焦点，的双曲线的左支．则，由，得：，故曲线C的方程为．（2）显然直线的斜率存在，设直线l的方程为；令直线l与曲线C的两个交点分别为．联立得．①当，即时，直线l与曲线C至多有一个交点，不符合题意．②当，即时，．又直线l与曲线C有两个不同交点，则，且，解得：．所以直线l斜率的取值范围为．18．(1)证明：平面，平面，.是矩形，.，平面，平面，平面.平面，.又，，平面，平面，平面.平面，.又，，平面，平面，平面.又平面，平面平面.(2)【详解】（1）略（2）因为底面是矩形，平面，所以两两垂直，所以可分别以射线为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，.因为，，垂足为E，所以E是PC的中点，由题意可得，，，，，所以，，.由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则取，得，，所以是平面的一个法向量.，所以平面与平面的夹角的余弦值为19．(1)；(2)；(3).