第七节　二项分布、超几何分布与正态分布

第七节二项分布、超几何分布与正态分布[明确目标]1.掌握二项分布、了解超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识|1.二项分布(1)伯努利试验:把只包含两个可能结果的试验叫做.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为.

(2)二项分布:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作.

(3)均值、方差:若X~B(n,p),则E(X)=,D(X)=.

2.超几何分布(1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n(2)超几何分布的均值:设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN,则E(X)==3.正态曲线和正态分布(1)正态曲线:函数f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ(2)正态分布:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为,特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态曲线的特点①曲线是单峰的,它关于直线对称;

②曲线在x=μ处达到峰值;

③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.(4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响:①当σ较小时,峰值高,正态曲线“”,表示随机变量X的分布比较;

②当σ较大时,峰值低,正态曲线“”,表示随机变量X的分布比较.

(5)若X~N(μ,σ2),则E(X)=,D(X)=.

(6)3σ原则:①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.Ⅱ.|练|悟|教|材|固|基|小|题|1.(人A选必修③P74例1改编)在100件产品中有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则()A.X~B(100,0.05) B.X~B(10,0.05)C.X~B(100,0.95) D.X~B(10,0.95)2.(北师大选必修①P224T2)若随机变量ξ~N(μ,σ2),其分布密度函数为φ(x)=122πe-(x-1)28(x∈A.1 B.2 C.4 D.83.(苏教选必修②P146T8改编)如果随机变量X~B6,13,那么D(X)=4.(人A选必修③P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)=.

题点一二项分布[例1](2026·重庆模拟)已知某计算机网络的服务器有三台设备,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8,它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X.(1)求X的分布列;(2)求E(X)和D(X);(3)求计算机网络不会断掉的概率.听课随笔:|思维建模|二项分布问题的解题关键(1)定型:①在每一次试验中,事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.(2)定参:确定二项分布中的两个参数n和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.[即时训练]1.某公司招聘员工分笔试和面试两个环节,应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题,并独立完成所抽取的20道题,每道题答对得10分,答错不得分.甲答对笔试每道题的概率为23,答对面试每道题的概率为12.假设每道题都是相互独立的,则甲得2.为宣扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰;第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是23;第二阶段,若选手甲进入高分组,每个问题答对的概率都是14,若选手甲进入低分组,每个问题答对的概率都是(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率;(2)求选手甲在该次比赛得分数为40的概率;(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分数为X,求随机变量X的分布列和期望.题点二超几何分布[例2]袋中有8个除颜色外完全相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(1)若从袋中一次性取出两个小球,记取到的红球个数为X,求X的分布列和均值;(2)若从袋中不放回地取3次,每次取一个小球,取到黑球记0分,取到白球记2分,取到红球记4分,在最终得分为8分的条件下,求恰取到一个红球的概率.听课随笔:|思维建模|(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.[即时训练]3.(2026·南昌模拟)某商场为了促进消费,推出购物优惠活动.消费者购物每满300元可参加一次抽奖,抽奖活动如下:抽奖箱设置3个红球和2个白球,每次抽取2个球.若抽中2个白球,返现金50元;若抽中1个红球和1个白球,返现金30元;若抽中2个红球,返现金20元.(1)顾客A恰好消费了300元,设他所获得返现金额为随机变量X.求X的分布列与均值;(2)顾客B消费了1000元:①顾客B获得返现金额为100元的概率是多少?②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动(减免总金额的10%),则顾客B应选择哪种方案更优惠?(不能同时参加抽奖和打折活动)

题点三正态分布[例3](1)若随机变量X服从正态分布N(1,σ2),且P(X≥0.5)=0.86,则P(1<X≤1.5)=()A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.86(2)(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.8413)()A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8|思维建模|解决正态分布问题的注意点(1)对于正态分布N(μ,σ2):①P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5;②对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);③P(X<x0)=1-P(X≥x0);④P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).(2)服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:①利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值直接求解;②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.[即时训练]4.已知三个正态密度函数φi=1σi2πe-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,A.σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ3C.σ2<σ3 D.μ1=μ25.中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理,若随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)>5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为()(参考数据:P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545)A.0.99865 B.0.97725 C.0.84135 D.0.65865第七节二项分布、超几何分布与正态分布Ⅰ.落实教材主干知识1.(1)伯努利试验n重伯努利试验(2)Cnkpk(1-p)nX~B(n,p)(3)npnp(1-p)2.(2)nMNnp3.(2)X~N(μ,σ2(3)x=μ1(4)瘦高集中矮胖分散(5)μσ2Ⅱ.练悟教材固基小题1.B2.B3.434.题点一二项分布[例1](1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,0.8),P(X=0)=C30×0.80×(1-0.8)3=0.X0123P0.0080.0960.3840.512P(X=1)=C31×0.81×(1-0.8)2=0.P(X=2)=C32×0.82×(1-0.8)1=0.P(X=3)=C33×0.83×(1-0.8)0=0.所以X的分布列如右表所示.(2)因为X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4,D(X)=3×0.8×(1-0.8)=0.48.(3)要使得计算机网络不会断掉,也就是要求能正常工作的设备至少有一台,即X≥1,因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.008=0.992.[即时训练]1.解析:设应聘者答对的笔试备选题个数为X,答对的面试备选题个数为Y,且答对x道笔试备选题和y道面试备选题的概率最大,则P(X=x)=C10x(23)1-2310-x=由P(X解得193≤x≤223.又x∈N,所以x=7.P(Y=y)=C10y(12)y(1-1易知y=5时,P(Y=y)最大.(C10n(0≤n≤10,n∈N)中,C故甲得分为(7+5)×10=120的概率最大.答案:1202.解:(1)选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答三个问题答对其中2个或3个,其概率为p1=C32(23)2(13)+(2)选手甲在该次比赛得分数为40有两种情况:进入高分组,答对2个问题;进入低分组,答对4个问题,故概率为p2=C32232（1(3)由题意可知,X的所有可能取值有0,20,40,60,80,则P(X=0)=C40344=81256,P(X=20P(X=40)=C42342142=54256,P(P(X=80)=C44144=X020406080P8110854121所以E(X)=0×81256+20×108256+40×54256+60×12256题点二超几何分布[例2](1)由题意得X的可能取值为0,1,2,X012P343PX=0=C40C42C82=314,P(X=2)=C42C40C8E(X)=0×314+1×47+2×3(2)设事件A=“最后得分为8分”,事件B=“恰取到一个红球”.由题意,最后得分为8分有两种情况:取出2个白球1个红球或1个黑球2个红球,所以P(A)=C32C41+C11C42C83=928,P(AB)=C3[即时训练]3.解:(1)设某顾客参加一次抽奖获得返现金额为X,X的可能取值为20,30,50,则P(X=20)=C32C52=0.3,P(X=30)=C31C21C52=0.6,PX203050P0.30.60.1E(X)=20×0.3+30×0.6+50×0.1=29.(2)①由题意知刚好可以抽三次,分别为50元、30元、20元各一次,则概率为A33×0.1×0.6×0.3=0.108.②若打九折,需支付金额为1000×0.9=900(元).由(1)知每次抽中的均值为29元,则抽取三次总的均值为29×3=87(元).因为1000-87=913>900,题点三正态分布[例3](1)选B因为随机变量X服从正态分布N(1,σ2),即μ=1,所以P(1<X≤1.5)=P(0.5≤X<1)=P(X≥0.5)-P(X≥1)=0.86-0.5=0.36.故选B.(2)选BC依题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.8413>0.5,C正确,D错误;P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.8413,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.8413=0.1587<0.2,而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误.故选BC.[即时训练]4.选C∵正态曲线关于x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边,根据图象知,第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小,且第二、第三两个的均值相等,即μ1<μ2=μ3,故B、D错误;∵σ越小图象越瘦高,根据图象知,第一个图象的σ等于第二个图象的σ,且第二个图象的σ比第三个的σ要小,∴σ1=σ2<σ3,所以A错误,C正确.故选C.5.选B投掷一枚质地均匀的骰子2500次,设向上的点数为