第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定

【R·数学八年级上册】第1课时线段的垂直平分线的性质和判定15.1.2线段的垂直平分线学习目标了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题；了解互逆定理.探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，感受证明的必要性，体会逻辑推理的数学方法.能灵活运用线段的垂直平分线的性质及判定解题.回顾导入线段是轴对称图形吗？请画一条线段AB，你能找到线段的对称轴吗？线段的对称轴和它有怎样的关系？AB情境导入中兴公园附近有两个小区，现在要在建一座商场，要求从商场到两个小区的距离差不多，请问该商场要建在哪里才能符合要求？商场探究新知如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…

与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？【点击打开几何画板文件】1.线段的垂直平分线的性质探究ABlP1P2P3P1A=

P1B，P2A=

P2B，P3A=

P3B······1.线段的垂直平分线的性质如果把线段

AB

沿直线l

对折，线段P1A

与P1B，P2A

与P2B，P3A

与P3B···都重合吗？它们都分别相等吗？ABlP1P2P3都重合，都分别相等.1.线段的垂直平分线的性质P1A=

P1B，P2A=

P2B，P3A=

P3B······猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.已知：一个点在一条线段的垂直平分线上.求证：验证这个点到这条线段两个端点的距离相等.ABlP1P2P31.线段的垂直平分线的性质如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证：PA=PB.ABlPC证明：当点P

与点C

不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB.又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.当点P

与点C

重合时，显然成立1.线段的垂直平分线的性质几何语言：∵直线l⊥AB，垂足为C，AC

=BC，点P

在l

上，∴PA

=PB.

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线的性质ABlPC针对训练教材P67练习第1题如图，AD⊥BC，BD=DC，点C

在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE

的长度有什么关系？AB

+BD

与DE

有什么关系？ABEDC针对训练教材P67练习第1题解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD

是BC

的垂直平分线.∴AB=AC.又点C

在AE

的垂直平分线上，∴AC=CE.∴AB=AC=CE.又BD=DC，∴AB+BD=CE+DC，即AB+BD=DE.ABEDC2.线段垂直平分线的判定思考把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P

是否在线段AB

的垂直平分线上呢？已知：如图，在△ABP中PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.猜想：点P在线段AB的垂直平分线上ABP2.线段垂直平分线的判定证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．ABPC2.线段垂直平分线的判定ABPC与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.【点击打开几何画板文件】线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.几何语言：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上.针对训练1.导入问题：商场应该建在两个小区连线的垂直平分线上才符合要求商场针对训练2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM

是线段BC

的垂直平分线吗？为什么？教材P67练习第2题ABMC解：直线AM

是线段BC

的垂直平分线.理由：∵AB=AC，∴点A

在线段BC

的垂直平分线上.∵MB=MC，∴点M

也在线段BC

的垂直平分线上，∴直线AM

是线段BC

的垂直平分线.名称角平分线线段垂直平分线图示性质判定角的平分线与线段的垂直平分线CABODEPABPC角平分线上的点到角两边的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上3.互逆命题与互逆定理思考分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？两个命题的题设、结论正好相反.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上3.互逆命题与互逆定理我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.线段的垂直平分线的性质与判定“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.两个命题的题设、结论正好相反.3.互逆命题与互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.线段的垂直平分线的性质与判定角的平分线的性质与判定“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”······针对训练教材P67练习第3题3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.同位角相等，两直线平行.如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.成立不成立不成立1.如图，DE

是线段AB

的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）

ED=CD

AE=AC

AD=BD

BD=AC随堂演练C2.如图，P

是

△ABC

内一点，若PB=PC，则点P

在（

）∠ABC

的平分线上

∠ACB

的平分线上边AB

的垂直平分线上边BC

的垂直平分线上D随堂演练3.如图，公园里有一块三角形草坪(△ABC)，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC

三个顶点的距离相等，则该树应种在（

）三条边的垂直平分线的交点处三条角平分线的交点处三条高的交点处三条中线的交点处A随堂演练4.如图，在△ABC

中，DE

垂直平分BC，分别交AC，BC

边于点D，E.若AB=3，AC=5，求△ABD

的周长.随堂演练解：∵DE

是BC

的垂直平分线，∴BD

=CD.∴△ABD

的周长=AB

+AD+BD=AB+AD+CD

=AB

+AC.∵AB=3，AC=5，∴△ABD

的周长为3+5=8.随堂演练5.如图，AD

是

△ABC

的角平分线，E，F

分别是AB，AC

上的点，且AE=AF，连接DE，DF，EE.求证：AD

垂直平分EF.随堂演练证明：∵AD

是△ABC

的角平分线，∴∠BAD=∠CAD.在△ADE

和

△ADF

中，AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△ADE≌△ADF

(SAS)随堂演练∴

DE=