第2课时 角的平分线的判定

【R·数学八年级上册】第2课时角的平分线的判定学习目标探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.情境导入如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？即求：∠AOB内是否存在一点到OA、OB的距离相等，且距离O点500m.转化AOB0200m探究新知交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等”

这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？知识点1角的平分线的判定CABODEP猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上已知：角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.求证：验证这个点在这个角的平分线上.知识点1角的平分线的判定如图，P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE.求证：点P

在∠AOB

的平分线上.可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.ABODEPC知识点1角的平分线的判定证明：如图，经过点P

作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OP，PD=PE，∴△OPD≌△OPE（HL）∴∠AOC=∠BOCABODEPC∴点P

在∠AOB

的平分线上.如图，∵P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上，即OP

平分∠AOB.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.角的平分线的判定定理知识点2角的平分线的性质几何语言：ABODEPC位置关系数量关系归纳总结所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线1角的平分线的性质及判定的关系点在角的平分线上角的内部，点到角两边距离相等性质判定2角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.针对训练1.导入问题：在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？0200m答：集贸市场应建在S

区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点P

所示.P针对训练2.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE

相交于点F，连接DF.求证：FD

平分∠BFE.教材P51练习第1题CABDEF针对训练教材P51练习第1题CABDEF证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD=∠CED=90°.在△ABD

和△CED

中，∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠CED，AB=CE，∴△ABD≌△CED（AAS）∴BD=ED.又AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD

平分∠BFE.知识点2三角形三条角平分线的关系例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等；△ABC

的三条角平分线交于一点.CABMNP点P

到边AB，BC

的距离相等，点P

到边AC，BC

的距离相等要证△ABC

的三条角平分线交于一点，只要证点P

也在∠A

的平分线上．CABMNP教材P51例题证明：(1)过点P

作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.∵BM

是△ABC

的角平分线，点P

在BM

上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.EFDCABMNP教材P51例题(2)由(1)得，点P

到边AB，CA

的距离相等，∴点P

在∠A

的平分线上.∴△ABC

的三条角平分线交于一点.EFD知识点2三角形三条角平分线的关系三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.拓展探究到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？4个P1P4P2P3三角形三个内角的平分线的交点P1；三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点P2，P3，P4.针对训练教材P51练习第2题如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG

是△ABC

的外角∠BCE

的平分线，BF，CG

相交于点P.求证：点P

到三边AB，BC，CA

所在直线的距离相等；点P

在∠A的平分线上.CABDEFGP针对训练教材P51练习第2题CABDEFGPJIH证明：(1)如图，过点P

分别作PJ，PI，PH

垂直于三边AB，BC，AC

所在的直线，垂足分别为J，I，H.∵BF

是∠CBD

的平分线，点P

在BF

上，∴PI=PJ.同理，PH=PI，∴PJ=PI=PH，即点P

到三边AB，BC，CA

所在直线的距离相等.针对训练教材P51练习第2题CABDEFGPJIH(2)由(1)知PH⊥AE，PJ⊥AD，且PH=PJ，∴点P

在∠A

的平分线上.提炼归纳角平分线的性质角平分线的判定图示已知条件结论OP平分∠AOBPD⊥OA于点DPE⊥OB于点EPD=PEPD⊥OA于点DPE⊥OB于点EPD=PEOP平分∠AOB随堂演练1.两块完全一样的直角三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC

的边AB，AC

上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M

一定（）在∠A

的平分线上在AC

边的高上在AB

边的中线上以上都正确A

随堂演练2.

如图，O

是△ABC

内一点，且点

O

到三边

AB，AC，BC

的距离相等，即

OF

=

OE

=

OD，若∠BAC

=

100°，则∠BOC

的度数是（）A

A.140°

B.130°C.120°

D.110°BACODFE随堂演练3.如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别是5，7，9，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB:S△OAC:S△OBC=________.5：7：9BACO随堂演练4.如图，点D

在边BC

的延长线上，∠ABC

的平分线交AD

于点E，过点E

作EH⊥BD

于点H，∠CEH=62°，∠ACE

=28°.求证：AE

平分∠CAF.BACDFEH∵BE

平分∠ABC，∴EM=EH.∵∠ACE=28°，∠CEH=62°，∴∠HCE=90°–∠CEH

=90°–62°=28°=∠ACE.

∴EN=EH.∴EM=EN，∴AE

平分∠CAF．证明：如图，过点E

作EM⊥BF

于点M，

EN⊥AC

于点N.随堂演练BACDFEH