2026年山东省中考数学真题试卷三套附答案

2026年山东省中考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求）13）列数，比1的是（ ）2A．﹣2 B．0 C．0.5 23）列形，是对图又中对图的（ ）2A． B．C．D．33）东海大，邻域积为16平公．将16000科记法示（ ）A．0.16×106 B．1.6×105 C．1.6×106 D．16×10443）图示何的视是（ ）A． B．C．D．53）列算确是（ ）A．m﹣mm m2＝m6 ．m÷3m3 D．m3m＝m63a∥c分别交bAa，cM，NM，NMN的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部交CACbD．若∠ABD＝54°，则∠ADB的度数是（）A．36° B．54° C．63° D．72°�2 173）算+1−�+1结是（ ）1 1A．x﹣1 B．x+1 C．�−1 D．�+183）61根据图中信息，下列结论正确的是（ ）A．甲的跳绳成绩总是高于乙B184C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙D．甲的跳绳成绩的方差小于乙9（3分）在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km15minkm与时间mn（）A．8：25 B．8：33 C．9：00 D．9：17103）图点P抛线yaxbxc（≠0的点下结正的（ ）A．2a+b＝0B．−314 2C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b总成立D．若点（﹣m，，（1m，21y2二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）（3）算：5a6ab ．123）图圆扇中的案正边，正边的角等 °．133）关于x一二方（﹣2（x﹣＝0一根是10则一根 ．14（3分y=�1y=�2y=�3y=��

1，n为� � � � ﹣大于1的整数这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交交点依次记为An．若A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An=2，则k6＝ ．15（3分）如图，在平行四边形纸片CD中，B＝cm，D＝5cm，点E是边D的中点，点F在边CD上连接EF．将纸片沿EF折叠点D落在纸片上的点G处连接若AG＝3cm，GE∥AB，则△CFG的面积为 cm2．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）161671计：2− ﹣3；16（2）

�+1＜2�−1�−1 � ．2＜3178）C中，DBDE，GCCB求证：△EDF≌△ECF；AEFG的形状，并说明理由．188分请根据他们的对话解答下列问题：求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；20219（8分）如图，B是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，�=�，连接C，D，D，过点AAH⊥CD交DC的延长线于点H．求证：AH是⊙O的切线；5，求若AH＝2，sin∠CAH=5，求

⊙O的半径．20（10分）关于项目式学习活动的调查问卷问题关于项目式学习活动的调查问卷问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）①绘制校园平面地图②读书长廊地面没铺设计③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线⑤体育运动与心率的关系探究问题问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）A．查阅文献B．上网查询C．同伴合作D．寻求指导E问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？【数据处理】11的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．22的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．解决困难的方式ABCDE选择人数324133352833调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；【决策建议】假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．21（10分）（俯角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，ABBCDCA为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．【操作发现】ABADPF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．B与视线F3∠DE31DE6，可知仰角∠P＝∠DAE＝31°，tan∠P＝tan∠DAE=��=

=0.6．𝐵 10图3矩D视线F合度读为2∠DE29尺读为5.DE5.5，仰角P ，a∠P 结精到0.1．（4的顶端EB的长度．AMEABDCCE45C＝2m1.mE0.m．2212（．1O2mAOOB是12m，花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m．①mO（myx的函数表达式；

21 1②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为10m，最小为2m，求d的取值范围．5与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣527+8（t0，丙在距花枪落地点m处沿直线运动到花枪落地点．求5丙的平均速度．2312）在△C中，BC，∠C＝12【观察与发现】ACA60DC分别在AB，AC上，AE＝CFDE，DF．求证：DE＝DF．【思考与探究】2AAH⊥ACBCHE，FAB，AC上，CF＝2AEEF，HE，HFEFHE的数量关系，并说明理由．【拓展与延伸】3（2）FEGEG＝FEGA，GHAB＝6，AG＝27，AE的长度．题号12345678910答案D．AB．CBCADCB【答案】11ab．【解答】解：5ab+6ab＝（5+6）ab＝11ab．故答案为：11ab．【答案】720．【解答】解：图中正多边形是正六边形，正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，故答案为：720．【答案】2．解：∵x2x﹣m＝0，∴x﹣2＝0或x﹣m＝0，∴x＝2或x＝m，∴方程另一个根是2．故答案为：2．【答案】36．�【解答】解：由x=�1得，�x= 1舍负，以点A1标（，则��1= 2�1，同理可得，��2= = = 所以���= 2��．因为A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An=2，222212所以 2

= − =⋯= 32�1332�132��−1

=2，2−2−1因为k1＝1，所以�2n＝6时，k6＝36．故答案为：36．【答案】1.8．【解答】解：过点G作GH⊥AD于点H，连接GD，如图所示：∴∠GHA＝∠GHE＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4cm，∴AB∥CD，CD＝AB＝4cm，∵点E是AD的中点，且AD＝5cm，∴AE＝DE＝2.5cm，设AH＝acm，则EH＝AE﹣AH＝（2.5﹣a）cm，由折叠性质得：GE＝DE＝2.5cm，∠1＝∠2，∠EGF＝∠D，在△GHA和△GHE中，∠GHA＝∠GHE＝90°，AG＝3cm，由勾股定理得：GH2＝AG2﹣AH2＝GE2﹣EH2，5，∴32﹣a2＝2.52﹣（2.5﹣a）2，解得：a=5，5∴Ha=9（cm，532−32−32−(9)25

=12（cm）5∵GE∥AB，AB∥CD，5∴GE∥CD，∴∠1＝∠D，∴∠1＝∠EGF．∴AD∥GF，∵GE∥AB，AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠1＝∠D，∴∠1＝∠EGF．∴AD∥GF，在四边形EDFD中，GE∥CD，AD∥GF，∴四边形EDFD是平行四边形，∴DF＝GE＝2.5cm，∴CF＝CD﹣DF＝1.5cm，DFD1DE•GH=1×.5×123（c2，2 2 5∴SGD=131.5cm2，△ 2∴GE∥CD，∴△CFG的边CF上的高与△GDF的边DF上的高相同，∴�△���=��=1.5=3，�

�� 2.5 5∴SCFG=3SGDF=3×3=1.8．△ 5△ 5故答案为：1.8．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）161）；（2）2＜x＜3．（1原式＝﹣433；�+1＜2�−1①（2）�−1 � ，2＜3②解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＜3，不等式组的解集是2＜x＜3．（1）∵在△ABC中，CD⊥ABDE，F，GAC、BC，AB的中点，∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，∴∠FED＝∠CEF，∵EF＝EF，△DF△F（SS；（2）四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，2∴EF∥AB，EF=1AB，22∵AG=1AB，2∴EF＝AG，∴四边形AEFG是平行四边形．1）C中，DBD，，GCCB∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，∴∠FED＝∠CEF，∵EF＝EF，△DF△F（SS；（2）四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，2∴EF∥AB，EF=1AB，22∵AG=1��，2∴EF＝AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（1）40元，30元；（2）购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元．（1x元，y由题意�+2�=100，3�+4�=240解得�=40．�=30答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元；（2）x个，购买内画瓶（20﹣x）W元．W＝40x+30（20﹣x）＝10x+600，3由题意≥（﹣x≥40，3∵10＞0，∴当x＝14时，W最小，最小值＝740．故当购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元．191）�=∴∠ADC＝∠BAD，∴AB∥CD，∵AH⊥CD，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴AH是⊙O的切线；5（2）⊙O的半径为2．（1�=�，∴∠ADC＝∠BAD，∴AB∥CD，∵AH⊥CD，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴AH是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AH⊥CD，∴∠H＝90°，∴sin∠CAH=��=5，𝐴 5∴设CH=5k，AC＝5k，𝐴2−𝐴2−5∴k=5，5

=25k＝2，∴CH＝1，AC=5，∵�=，∴BD＝AC=5，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠H＝90°，∵∠ACH＝∠B，∴△ACH∽△ABD，𝐴 ��∴��= ，𝐵5 1∴��= 5，∴AB＝5，5∴⊙O的半径为2．20答1）5，；（2）410名；1（3）3；（4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小（．（1510%50名，⑤5012%6名，③5（513146＝1名，补全条形统计图如下：50（）50×4141名，50答：估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约有410名；ABCA（A，A）（ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3种结果，3 1所以两人恰好选择同一领域的概率为9=3；建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小（．211）6°；1.；（2）8.3m．（1GQ，∠QP90∵∠DAE＝29°，∴∠P＝90°﹣∠DAE＝61°，∵在正方形ABCD中∠ADC＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝61°，∴∠P＝∠AED，∴���∠�=���∠𝐷�=𝐵=10≈1.8，�� 5.5故答案为：61°；1.8；（2）根据题意得：BF＝CN＝1.6m，MN＝AC＝20m，∠EFM＝∠EFN＝90°，∠NGH＝45°，GH⊥MN，KL＝5，JK＝10，∴∠ENF＝90°﹣45°＝45°，��∴Rt△EFN中，���∠���=������即���45°=1=����∴EF＝FN，设EF＝FN＝xm，则MF＝（20﹣x）m，∵∠MJL+∠EMF＝∠MJL+∠KJL＝90°，∴∠EMF＝∠KJL，10∴tan∠EMF＝tan∠KJL=510

=0.5，��∴△MF中，��∠��=����0.5即�20−0.5即解得：x≈6.67，∴＝FB＝6.61.＝8.2≈8.m，答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m．221）①yxy22+12�−3②d9≤�≤11；5 5 5 2 225（2）丙的平均速度至少为8m/s．（1①Ox1则A（2

1，3，，2∵点C为最高点，（，3，∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3，∴1=a(1−3)2+3，2 25∴a=−2，5∴y=−2（x﹣3）2+3=−2�2+12�−3，5 5 5 5∴y关于x的函数表达式为y=−2�2+12�−3；②∵花枪下落过程中，∴x≥3，

5 5 5=21

21 22 12 3当y 10m时，10=−5�+5�−5，∴x=

3x=x=12=1 2 12 312当y 2m时，2=−5�+5�−5，∴=11或x=1，2 221 1

9 11∴枪下落过程中，能接到的高度最大为10m，最小为2m，d的取值范围为2≤�≤2．5hm与时间tsh﹣57t+8t0，5∴花枪落地时h＝0，5∴﹣5t2+7t+8=0，5∴=8或t1，5 58∴乙从开始抛出花枪，到花枪落地需要5秒，设丙的平均速度为vm/s，∵乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪，8∴5v≥5，8∴v≥25，825∴丙的平均速度至少为8m/s．231连接D根据旋转可得：∠CAD＝60°，AC＝AD，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝AD，∠ACD＝60°，∵∠EAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣60°＝60°，∴∠EAD＝∠ACD，∵AE＝CF，△D△D（SS，∴DE＝DF；（2）��=3��，理由如下：∵AH⊥AC，∴∠HAF＝90°，∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAF＝30°，∴���=��0°=1=��∵AB＝AC，

2 ��，2∴∠�=∠�=1×(180°−120°)=30°，2∴∠BAH＝∠C，∵CF＝2AE，𝐷 1∴��=2，𝐷 𝐶∴��=��，∴△AEH∽△CFH，�� 𝐶 1∴��=

，∠AHE＝∠CHF，2∴∠AHE+∠AHF＝∠AHF+∠CHF，即∠EHF＝∠AHC，�� 𝐶∵��=��，�� ��∴𝐶=��，∴△EFH∽△ACH，∴∠EFH＝∠C＝30°，∠HEF＝∠HAC＝90°，∴∠EHF＝90°﹣30°＝60°，3= ��∴���∠���=���60°3= ��∴��=3��；（3）AE＝1或2．（1）CD，如图所示：根据旋转可得：∠CAD＝60°，AC＝AD，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝AD，∠ACD＝60°，∵∠EAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣60°＝60°，∴∠EAD＝∠ACD，∵AE＝CF，△D△D（SS，∴DE＝DF；（2）解：��=3��，理由如下：∵AH⊥AC，∴∠HAF＝90°，∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAF＝30°，∴���=��0°=1=��∵AB＝AC，

2 ��，2∴∠�=∠�=1×(180°−120°)=30°，2∴∠BAH＝∠C，∵CF＝2AE，𝐷 1∴��=2，𝐷 𝐶∴��=��，∴△AEH∽△CFH，�� 𝐶 1∴��=

，∠AHE＝∠CHF，2∴∠AHE+∠AHF＝∠AHF+∠CHF，即∠EHF＝∠AHC，�� 𝐶∵��=��，�� ��∴𝐶=��，∴△EFH∽△ACH，∴∠EFH＝∠C＝30°，∠HEF＝∠HAC＝90°，∴∠EHF＝90°﹣30°＝60°，3= ��∴���∠���=���60°3= ��∴��=3��；CANAN＝AFGGM⊥ANM，如图所示：则∠GMA＝90°，∵EG＝EF，∴AE为△FGN的中位线，2∴𝐷=1𝐸，AE∥GN，2∴∠GNA＝∠BAC＝120°，∴∠GNM＝180°﹣120°＝60°，∵AB＝6，∴AC＝AB＝6，3设AE＝x，则GN＝2AE＝2x，CF＝2AE＝2x，AN＝AF＝6﹣23∵𝑐�∠���=𝑐�60°=1��

��∠��=

=𝐸，2 𝐸，

2 𝐸∴��=1𝐸=�，𝐸=3𝐸=3�，2 2∴AM＝AN+MN＝6﹣2x+x＝6﹣x，在Rt△AGM中，根据勾股定理得：AM2+GM2＝AG2，即(6−�)2+(3�)2=(27)2，解得：x1＝2，x2＝1，∴AE＝1或2．2026年山东省德州市中考数学试卷一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分。14）列数比2的（ ）A．﹣1 B．﹣3 C．24）列志，中对图的（ ）A． B．C．D．34）483.5用学数表为（ ）A．4.835×106 B．0.4835×107C．48.35×105 D．4.835×10744）家了好销一洗液品，该择查种衣的（ ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方54）图在C，BC5C＝则cosB值（ ）A．B．C．D．6（41.57009005x）A． B．C．D．74分OBO为半径画弧分别交于点再分别以为圆心大于 的长度为半径画弧两弧在∠AOBEOEOE则为∠AOB的角平分线．小明说，可以通过判定△OCE≌△ODE得到对应角相等来证明射线OE是∠AOB的角平分线他使用的全等判定方法（ ）A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D．三条边分别相等的两个三角形全等84分反例数图上两点2和my若2y则m取范是（ ）A．m＞﹣2且m≠0 B．﹣2＜m＜0 C．m＜﹣2或m＞0D．m＜﹣2或m＞294图圆角为60径为R扇纸片OB点O到B距记为这扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h，下列关于d和h的大小关系正确的是（ ）A．d＜h B．d＝h C．d＞h D．无法确104）若2＝b100则值（ ）A．B．C．D．5420分。（4）式3ab2次为 ．12（4分）在平面直角坐标系中，若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的m的值 ．13（4分）如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是 ．144）1元xy﹣2x21元x（6，3）并且经过（，1则个果在年的高件果润为 ．15（4分）如图，在四边形ED中，∠B＝∠D＝9°，D＝3，E＝5．取D的中点A，连接C，AE，将△ABC和△ADE分别沿AC，AE折叠，若BC和DE恰好都能与EC重合，线段AE的长为 ．三、简答题：共8小题，总计90分。1610分1解等： ；（2）化简： ．1710）了止通堵某区展关交出的卷查问如：问题一：您选择的出行方式是（ ）A．步行B．私家车C．自行车D．电动车E．公交车题二前取后不等您出时段（ ）A.6：30～7：00B.7：00～7：30C.7：30～8：00D.8：00～8：30E.8：30～9：00400（1）m的值为 ；请补全条形统计图；5000人，请估计社区在该时间段使用私家车出行的人数；根据问卷调查，为防止交通拥堵提出一条建议．1810分33nA、B、C、D．①用含n的式子表示A；②探究B•C﹣A•D是否为定值，请证明；x2﹣13x+22＝0的根，求九宫格中最大的数．19（12分）如图，在t△E中，∠E＝90°，点D是E的中点．连接D，在平面内找一点B，AB∥CE，BE∥AD．ABED是菱形；若，四边形ABED的面积为，求线段AC的长．20（12分）y（L）x（h）的函数关系式图象如图所示．汽车从出发到加油站行驶了 小时，在加油站加了 升汽油；yx的函数关系式；200km80km/h，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量．21（12分）如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，点D是的中点，C是⊙O的直径．过点A⊙O的切线交BC的延长线于点E，连接OD并延长交AE于点F，连接CF．求证：CF与⊙O相切；AF：EF＝1：2，CF＝2，求阴影部分的面积．2212）知次数m常．m＝0时，求该二次函数的对称轴；x＞0时，yxx＜﹣1时，yxm的取值范围；AAx21A到对称轴的距离．2312C＝CD是AD＜CD作DFBC于点F交AB于点E．求证：AD＝AE；若，BC＝8，求线段BF的长；若∠BAC＝45°，EF＝BC，请直接写出 的值．题号12345678910答案B．CA．CBDDCAB【答案】4．【解答】解：根据单项式定义得：3a2b2的次数为：2+2＝4．故答案为：4．．【解答】解：由题知，因为若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限，则﹣3+m＞0，解得m＞3，所以m的值可以是4．．【答案】．【解答】解：列表如下：64，所以乙和丙邻座的概率＝＝．故答案为：．【答案】7．【解答】解：由题意，设 ，把（3，12）代入得：9a+3＝12，∴a＝1，∴抛物线为，设单件水果利润为W元，∴W＝y1﹣y2＝﹣2x+21﹣x2+12x﹣39＝﹣x2+10x﹣18＝﹣（x﹣5）2+7，∵a＝﹣1＜0，x＝5W7元．故答案为：7．【答案】．解：∵将△ABC和△ADEAC，AEB，DB'，D'BCDE恰ECB'，D'ABD的中点，，∴AB＝AB'＝AD＝AD'CCF⊥DEF，，∴∠CFD＝∠D＝∠B＝90°，∴四边形BCFD是矩形，∴∠CFE＝90°，CF＝BD＝3，BC＝DF，∴，设BC＝B'C＝DF＝x，则EB'＝CE﹣B'C＝5﹣x，DE＝DF+EF＝x+4，∴5﹣x＝x+4，解得 ，∴ ，在Rt△ADE中， ．故答案为： ．三、简答题：共8小题，总计90分。161）＜x5；（2）．（1x2，x＜5，2＜x＜5；原式＝•＝•＝．171）5；（）B4055%（4049230＝2214080人，2750人；B时段市民选择早半小时出行．（1m%＝﹣15﹣15﹣10﹣5＝55，m＝55，故答案为：55；（）B4055%（4049230＝2214080人，50055%275人，2750人；B时段市民选择早半小时出行．181）①＝n8；②B•C﹣A•D为定值，证明如下：由题意得：B＝n﹣6，C＝n+6，D＝n+8，∴B•C﹣A•D（n6n6﹣（﹣8（n8）＝n2﹣36﹣（n2﹣64）＝28，∵结果为常数，∴B•C﹣A•D为定值；（2）19．（1①A在n∴A＝n﹣7﹣1＝n﹣8；②B•C﹣A•D为定值，证明如下：由题意得：B＝n﹣6，C＝n+6，D＝n+8，∴B•C﹣A•D（n6n6﹣（﹣8（n8）＝n2﹣36﹣（n2﹣64）＝28，∵结果为常数，∴B•C﹣A•D为定值；（2）解方程x2﹣13x+22＝0，（x2x＝，解得：x1＝2，x2＝11，∵日历中33第1）第5，∴x＝2在第1行无法作为中心数，舍去，当n＝11时，九宫格最大数为D，D＝n+8＝11+8＝19，∴该九宫格中最大的数为19．19（1∵∥ED在E∴AB∥DE．∴四边形ABED是平行四边形．在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点，∴．∵四边形ABED是平行四边形且AD＝DE，∴四边形ABED是菱形．（2）4．1）BED在E∴AB∥DE．∴四边形ABED是平行四边形．在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点，∴．∵四边形ABED是平行四边形且AD＝DE，∴四边形ABED是菱形．（2设菱形ED边DEh．∵四边形ABED是菱形，∴菱形ABED的面积＝．∵AB∥CE，∴点A到CE的距离等于h．∴△ACE的面积＝．∵点D是CE的中点，∴CE＝2DE．∴△ACE的面积＝ ．在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，∴△ACE的面积＝．∵，∴，∴，∴AC＝4．201），3；（）y﹣1x450x3；（3）25升．（13小时，50﹣15＝35（升）汽油．故答案为：3，35；y与时间xykxbk≠0，（045（315代入ykxb：，解得： ，y与时间xy﹣10450≤≤3；由（2）10升/小时，∴汽车去往目的地时的耗油速度是10升/小时，∴5﹣1×25升．答：汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为25升．（1）OA，∵BC是⊙O的直径，C在⊙O上，∵D是的中点，∴∠AOF＝∠COF，在△AOF和△COF中，，△OF△OF（SS，∴∠OCF＝∠OAF＝90°，∴OC⊥FC，∵OC是⊙O的半径，∴CF与⊙O相切；（2）．【解答】（1）证明：连接OA，∵BC是⊙O的直径，C在⊙O上，∵D是的中点，∴∠AOF＝∠COF，在△AOF和△COF中，，△OF△OF（SS，∴∠OCF＝∠OAF＝90°，∴OC⊥FC，∵OC是⊙O的半径，∴CF与⊙O相切；解：∵AF，CF是⊙O的切线，∴AF＝CF，∵AF：EF＝1：2，CF＝2，∴AF＝2，EF＝4，∵∠FCE＝90°，∴，∴∠E＝30°，∴∠CFE＝90°﹣∠E＝60°，∴，∴∠FOC＝90°﹣∠OFC＝30°，∴OF＝2FC＝4，由勾股定理得，，∴， ，，∴阴影部分的面积为．【答案（1）直线x＝﹣；（2）；（3）．解】解（1由意当m0，次数：，∴二次函数的对称轴为直线；（ 2 ） ∵ ＝ ＝，∴抛物线的对称轴为直线，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴，解得：，∴m的取值范围为：；由题意，∵的对称轴为直线，而该二次函数的图象上有一AA21，∴|yA|＝21，∴当yA＝21时，则，即，∴，解得：，∴A（m+2，21）或，∴点A到对称轴的距离为：；当yA＝﹣21时，，即，∴，∴方程无解，综上：点A到对称轴的距离为：．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DF⊥BC，∴∠DFC＝∠BFE＝90°，∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BEF＝90°，∴∠D＝∠BEF，∵∠AED＝∠BEF，∴∠D＝∠AED，∴AD＝AE；（2）3；（3）3﹣2．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DF⊥BC，∴∠DFC＝∠BFE＝90°，∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BEF＝90°，∴∠D＝∠BEF，∵∠AED＝∠BEF，∴∠D＝∠AED，∴AD＝AE；1AAG∥BCDFGAD＝m，由（1）知，AD＝AE，∴AE＝m，∵AD＝AC，∴AC＝4AD＝4m，∴AB＝AC＝4m，∴CD＝AD+AC＝5m，BE＝AB﹣AE＝3m，∴△ADG∽△CDF，∴＝，∴CF＝＝＝5AG，∵AG∥BC，∴△AEG∽△BEF，∴ ，∴BF＝ ＝ ＝3AG，∵BC＝BF+CF＝8，∴3AG+5AG＝8，∴AG＝1，∴BF＝3；2AAG∥BCDFG，设AD＝a，AC＝b，∴AB＝AC＝b，∴CD＝AD+AC＝a+b，BE＝AB﹣AE＝b﹣a，同（2）的方法得，CF＝＝，∵AG∥BC，∴△AEG∽△BEF，∴，∴BF＝＝＝，∴BC＝BF+CF＝+＝，∵EF＝BC，∴EF＝，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝67.5°，∵DF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠BEF＝90°﹣∠ABC＝22.5°，在FE上取一点H，使FH＝BF，∴∠HBF＝∠BHF＝45°，∴BH＝BF，∵∠ABC＝67.5°，∠BEF＝22.5°，∴∠EBH＝∠ABC﹣∠HBF＝22.5°＝∠BEH，∴EH＝BH，∴EF＝EH+FH＝BF+BF＝（+1）BF，∵BF＝，EF＝，∴＝（ +1）•，∴＝3﹣2．2026年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（10330A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）213）−1相数（ ）22A．−12

1B．2

C．﹣2 D．22（3分）笔画图是指用根连续不断的线，在不重路径的况下完整个图形制的特贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B．C．D．332026年1月度布上原全态模文心5.0式模参达24亿现原生的全模态统一理解与生成多项权威评测稳居全球第一梯队千亿用科学记数法表示（ A．24×1011 B．2.4×1011 C．2.4×1012 D．0.24×101243）图一双罐具它左图（ ）A． B．C． D．53）列算果为m5算是（ ）A．m•m2 ．m÷m m23 D．m+263图行箱齿密是位一数是0﹣9的个字箱发忘密码的最后一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（ ）1 1 1 1A．2 B．3 C．9 D．107（3分）如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为B，D．若AB∥CE，∠CAB＝36°，则∠CDB的度数为（ ）A．14° B．16° C．18° D．20°83分若整数m使关于x

�+

有且只有3个整数解，且关于y的分式方程2−3�=

4�−3＜�1−�

�−1的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣393）y=1x2与x轴，y轴交于ABy=�，D两点，2 �CE⊥x轴，垂足为E，连接DE．若OA＝2OE，则△CDE的面积是（ ）A．8 B．12 C．16 D．24103）yax+bcx（，0yC位于0，﹣2）和（0，﹣3）Px＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣12；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a=−2．其中正确的是（ ）3 2A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）�（3）若2�−1实范内意，实数x取范是 ．2123）算π10（−1﹣3+6结为 ．2133分上群车车人相等人车车人车步车多辆有多少人？设有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为 ．143CDE1CB⊙OC交于点CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为 ．15（3分）如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形O1A3，点A3在x轴上，且∠1O3＝60°，将点A3向右平移2个单位得到点以A4为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A4A5A6A7，点A7在x轴上再将点A7向右平移2个单位得到点以A8为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形点A11在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为 ．163图1点P矩形CD顶点A发沿→→→D方运至点D止接P，Q为AP的中点连接设点P的运动路程为线段BQ的长为图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系．当点P运动到CD中点时，BQ的长度为 ．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）�2+� �176）2−2+1÷2−2−1||1．188II助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调～1020类别平均数/分中位数/分众数/分数字人模型ab7AI助教模型88c请根据上述信息解答下列问题：（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ；（2）运营商准备对“AI2021632到2名男生的概率．197）CD中，C将△ABCABECFEAC上，请（；在（1）AB＝2，BC＝4，EFADGFG的长．20（8分）9020y（件）x（元）的函数关系如图所示．yx的函数表达式；525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元．218活动主题测算矩形广告牌的面积测量工具皮尺、无人机、计时器、计算器等活动过程测量过程ABCDCD11EF6.4N3米/秒的8MC67.4°，D36.°．模型建构参考数据cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．问题解决CD（1．22（10分如图，△C中，∠C90°，O是边B上一点，以OB为半径作⊙O，分别与C，B交D，EACFEF、BF．（求证：�=；（2）试用等式表示线段BE，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．2312分𝐴 2 ��（1）如图1，△ABC∽△ADE，𝐴=3．当点D，E分别在边AB和AC上时，��的是 ．【变式探究】中的△ADEAACBDO，CEBDF．��①求��的值；②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明．【联系拓广】ABCD中，AB＝3，BC＝6EBCBE＝2AE．FBC上的动点，作△AFG∽△ABECG，EG．①当点F在线段CB的延长线上，且EG＝EA时，求EF的长；2②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长．22413分如图，直线y＝x6与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线＝ax+bc经过AC两xBx3．求抛物线的表达式；3点D在抛物线上，横坐标为t，若点D到直线AC的距离为2 2，求出所有满足条件的t的值；2H为抛物线的顶点，PPH+5PO的最小值．2题号12345678910答案B．DCAADCBBA� 1【答案

＞2．2�−【解答】解：根据意义可知：2x﹣1≥0，且 ≠2�−2解得�≥1 �≠12� 1∴＞2，� 1故答案为：＞2．【答案】﹣3．2）（﹣1+−2）

16﹣3+16＝1+（﹣8）+4＝﹣3，故答案为：﹣3．4�+9=13(�−4�+9=【解答】解：∵五人同车三车空，∴5（x﹣3）＝y；∵四人同车九步行，∴4x+9＝y．∴根据题意可列出方程组5(�−3)=�．4�+9=�故答案为：5(�−3)=�．4�+9=�15142�．【解答】解：如图，连接AG，∵在正五边形ABCDE中，5∴AB＝CB＝10，∠𝐴�=(5−2)×180°=108°，52∴∠�𝐴=∠𝐴�=1(180°−∠𝐴�)=36°，2∵AB为⊙O的直径，2∴∠AGB＝90°，𝑂=𝐴=1𝐴=5，2∴∠FAG＝90°﹣∠ACB＝54°，∴∠GOF＝2∠GAF＝108°，∴� =108�×52=15�，扇形�𝐸15

360 2故答案为：2�．15125−．【解答】解：如图，过点A1作A1H⊥x轴于点H，∵所有菱形都两两全等，∴从A1开始，每8个点记为1组，∵126＝8×15+6，∴A126的位置和第1组中A6的位置相同，∵∠A1OA3＝60°，∴∠OA1H＝30°，∵菱形OA1A2A3的边长为2，∴OA1＝A1A2＝OA3＝2，2∴OH=1OA1＝1，2��12−��12−∴（，，

=3，∴（，，（20，由平移得，A3A4＝2，∴OA4＝OA3+A3A4＝4，∴（，0，A60，∵菱形OA1A2A3与菱形A4A5A6A7全等，（，−A1（1，−A（2，−3，∴6（58，−3，∴6×1（58×1，−3，∴112，−．125−．145162．【解答】解：由图2可知，当x＝a时，y取得最小值3，此时点P运动到点B，∵点P与点B重合，且点Q是AP的中点，2∴��=1𝐴=3，2∴AB＝6；∵当x＝b时，y＝5，此时点P运动到点C，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵点Q是AC的中点，2∴��=1𝐴=5，2∴AC＝10，Rt△ABC中，��

𝐴2−10𝐴2−102−62∴在矩形ABCD中，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6．延长BQ，CD，相交于点E，∵点Q是AP的中点，∴AQ＝PQ，∵在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABQ＝∠E，∠BAQ＝∠EPQ，△Q△Q（S，∴BQ＝EQ，PE＝AB＝6．∵点P是CD的中点，∴��=1��=1×6=3，2 2∴CE＝CP+PE＝3+6＝9，在矩形ABCD中，∠C＝90°，��2+82+92∴在��2+82+92∵BQ＝EQ，∴��=1��=145，

=145，2 2145故答案为：2．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）�+317−1﹣1．【解答】解：原式=�(�+1)⋅2(�−1)−1(�−1)2 �= = �−1=2�+2−�+1=�−1= = �−1∵|x|＝1且x﹣1≠0且x≠0，∴x＝﹣1，−1−1原式=−1+3=−1．−1−1181）7.7；；3；1（2）3．20（1�=56+87+5×8+29=7.，20∴a＝7.2；一共20个数据从小到大排列，第10和11个数据的平均数是中位数，由柱状图知第10和11个数据都是7，∴中位数为7，即b＝7；由扇形统计图可知“AI助教模型”中8分出现次数最多，∴c＝8；144∵扇形统计图中8分占百分比为：360×100%=40%，∴1﹣5%﹣15%﹣10%﹣40%＝30%，即m＝30；故答案为：7.2；7；8；30；（2）共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由2种，∴P（抽到2名男生）=2=1．6 3191（2）FG＝3．（1（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠ACB＝∠GAE，∵∠AEG＝∠B＝90°，∴△ABC∽△GEA，𝐴 ���∴��=�，�2 4∴��=2，∴GE＝1，∵EF＝BC＝4，∴FG＝EF﹣EG＝4﹣1＝3．201）﹣x70；（2）该款文创产品每件的售价为35元．（1设y与xykx，（3040（4，3代入得：�+�=40，40�+�=30解得：�=−1，�=70∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+70；（x20﹣70＝52，整理得：x2﹣90x+1925＝0，解得：x1＝35，x2＝55，∵尽可能的让利于顾客，∴x2＝55不符合题意，舍去，答：该款文创产品每件的售价为35元．【答案】ABCD62平方米．【解答】解：延长DC交MN于点H，则DH⊥MN，N3×＝2米，GMDH，∴∠GMD＝∠MDH＝36.9°，∠GMC＝∠MCH＝67.4°，CH＝x米，∵DC＝11米，∴DH＝DC+CH＝（x+11）米，Rt△DMH中，MH＝DH•tan36.9°≈0.75（x+11）米，在tCH中，HH•an67.°≈2.x米，∴2.x0.7（x，解得：x＝5，∴H2.4＝1米，∵EF＝6.4米，∴＝N﹣H﹣F＝2﹣1﹣6.5.6米，CD＝C•D＝5.×≈6平方米，∴矩形广告牌ABCD的面积约为62平方米．（1）OF，∵△ABCABOB为半径作AC相切于F，∴AC⊥OF，∴∠OFA＝90°，∵∠C＝90°，∴∠OFA＝∠C，∴OF∥BC，∴∠OFB＝∠DBF，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠EBF，∴∠EBF＝∠DBF，∴�=�．（2）BE﹣BD＝2CD，证明：连接DF，作FH⊥BE于点H，则∠EHF＝∠BHF＝∠C＝90°，∵�=�，∴EF＝DF，∵BF平分∠CBE，且FH⊥BE于点H，FC⊥BC于点C，∴FH＝FC，在Rt△HFE和Rt△CFD中，𝐸=��，��=��∴△HEt△DHL，∴HE＝CD，在Rt△HBF和Rt△CBF中，��=��，��=��∴△HFt△FHL，∴BH＝BC，∴BE﹣HE＝BD+CD，∴BE﹣CD＝BD+CD，∴BE﹣BD＝2CD．【解答】（1）证明：连接OF，∵△ABCABOB为半径作AC相切于F，∴AC⊥OF，∴∠OFA＝90°，∵∠C＝90°，∴∠OFA＝∠C，∴OF∥BC，∴∠OFB＝∠DBF，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠EBF，∴∠EBF＝∠DBF，∴�=�．（2）解：BE﹣BD＝2CD，证明：连接DF，作FH⊥BE于点H，则∠EHF＝∠BHF＝∠C＝90°，∵�=�，∴EF＝DF，∵BF平分∠CBE，且FH⊥BE于点H，FC⊥BC于点C，∴FH＝FC，在Rt△HFE和Rt△CFD中，𝐸=��，��=��∴△HEt△DHL，∴HE＝CD，在Rt△HBF和Rt△CBF中，��=��，��=��∴△HFt△FHL，∴BH＝BC，∴BE﹣HE＝BD+CD，∴BE﹣CD＝BD+CD，∴BE﹣BD＝2CD．2231）3；2（2）①3；②∠BAC＝∠BFC，证明如下：连接AF，由①得△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF，∴点A、B、C、F四点共圆，∴∠BAC＝∠BFC；36（3）①5；②13．（1△C∽△DE，𝐹 𝐴 2∴��=𝐴=3，∴𝐹=2��，𝐴=2𝐴，3 3∵点D，E分别在边AB和AC上，∴BD＝AB﹣AD，CE＝AC﹣AE，��

��−��

2(𝐴−��) 2∴ = =3 3 =3 =，�� 𝐴−�� 2

𝐴−�� 3故答案为：3；①∵△ABC∽△ADE，𝐴 𝐴∴𝐹=��，∠BAC＝∠DAE，𝐴 𝐹 2∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，𝐴=��=3，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，�� 𝐴 2∴��=𝐴=3；②∠BAC＝∠BFC，证明如下：连接AF，由①得△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF，∴点A、B、C、F四点共圆，∴∠BAC＝∠BFC；①ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，𝐴2+𝐴2+∵△AFG∽△ABE，

=13，∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，∵点F在线段CB的延长线上，∴∠AGF＝∠AEF，∴点A、F、G、E四点共圆，∴∠AFG+∠AEG＝180°，∴∠AEG＝90°，∵𝑂=��=��2+��2+∵∠FAG