2026年部编版高二数学第二章极限与连续练习题库试卷

2026年部编版高二数学第二章极限与连续练习题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高中数学中，极限的定义是描述函数在某一点附近的变化趋势，以下关于极限的描述中，正确的是（）A.极限是函数在某一点处无定义时的一种延伸B.极限是函数在无穷远处的一种稳定值C.极限是函数在某一变化过程中无限接近的值D.极限是函数在某一点处左右极限不相等时的一种特殊情况【答案】C【解析】极限是描述函数在自变量变化过程中，函数值无限接近某一常数的情况。选项A错误，因为极限与函数是否定义无关；选项B错误，极限描述的是自变量变化过程中的函数值趋势，而非无穷远处的稳定值；选项C正确，极限的本质是函数值无限接近的值；选项D错误，左右极限不相等时函数在该点不连续，但极限仍可能存在。2.已知函数f(x)=(x²-1)/(x-1)，当x→1时，下列说法正确的是（）A.极限不存在，因为函数在x=1处无定义B.极限为0，因为分子分母同时趋近于0C.极限为2，因为分子分母约分后为x+1D.极限不存在，因为左右极限不相等【答案】C【解析】当x→1时，函数f(x)=(x²-1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)，约分后为x+1，因此极限为2。选项A错误，极限与函数是否定义无关；选项B错误，虽然分子分母同时趋近于0，但约分后极限存在；选项C正确；选项D错误，左右极限相等且极限存在。3.函数f(x)=sin(x)/x在x→0时的极限是（）A.1B.0C.-1D.不存在【答案】A【解析】根据重要极限公式，当x→0时，sin(x)/x的极限为1。选项A正确，其他选项错误。4.函数f(x)=|x|在x→0时的极限是（）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】C【解析】当x→0时，|x|无限接近0，因此极限为0。选项C正确，其他选项错误。5.函数f(x)=(x²-4)/(x-2)在x→2时的极限是（）A.0B.4C.8D.不存在【答案】C【解析】当x→2时，函数f(x)=(x²-4)/(x-2)=(x-2)(x+2)/(x-2)，约分后为x+2，因此极限为4。选项C正确，其他选项错误。6.函数f(x)=e^x在x→-∞时的极限是（）A.0B.1C.-∞D.不存在【答案】A【解析】当x→-∞时，e^x无限接近0，因此极限为0。选项A正确，其他选项错误。7.函数f(x)=log(x)在x→0+时的极限是（）A.0B.1C.-∞D.不存在【答案】C【解析】当x→0+时，log(x)无限接近-∞，因此极限为-∞。选项C正确，其他选项错误。8.函数f(x)=(1+1/x)^x在x→∞时的极限是（）A.1B.eC.0D.不存在【答案】B【解析】根据重要极限公式，当x→∞时，(1+1/x)^x的极限为e。选项B正确，其他选项错误。9.函数f(x)=(x-3)/(x²-9)在x→3时的极限是（）A.1/6B.1/3C.1/9D.不存在【答案】A【解析】当x→3时，函数f(x)=(x-3)/(x²-9)=(x-3)/(x-3)(x+3)，约分后为1/(x+3)，因此极限为1/6。选项A正确，其他选项错误。10.函数f(x)=sin(x)/tan(x)在x→0时的极限是（）A.1B.0C.-1D.不存在【答案】A【解析】当x→0时，sin(x)/tan(x)=sin(x)/(sin(x)/cos(x))=cos(x)，因此极限为1。选项A正确，其他选项错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.当x→2时，函数f(x)=(x²-4)/(x-2)的极限是________。【答案】4【解析】当x→2时，函数f(x)=(x²-4)/(x-2)=(x-2)(x+2)/(x-2)，约分后为x+2，因此极限为4。2.当x→0时，函数f(x)=sin(3x)/x的极限是________。【答案】3【解析】根据重要极限公式，当x→0时，sin(3x)/x=3•(sin(3x)/(3x))，因此极限为3。3.当x→∞时，函数f(x)=(2x+1)/(3x-2)的极限是________。【答案】2/3【解析】当x→∞时，函数f(x)=(2x+1)/(3x-2)=(2+1/x)/(3-2/x)，因此极限为2/3。4.当x→0+时，函数f(x)=e^(-1/x)的极限是________。【答案】0【解析】当x→0+时，-1/x→-∞，因此e^(-1/x)无限接近0，极限为0。5.当x→1时，函数f(x)=(x³-1)/(x-1)的极限是________。【答案】3【解析】当x→1时，函数f(x)=(x³-1)/(x-1)=(x-1)(x²+x+1)/(x-1)，约分后为x²+x+1，因此极限为3。6.当x→∞时，函数f(x)=(x²-2x+1)/(x²+3x-4)的极限是________。【答案】1【解析】当x→∞时，函数f(x)=(x²-2x+1)/(x²+3x-4)=(1-2/x+1/x²)/(1+3/x-4/x²)，因此极限为1。7.当x→0时，函数f(x)=(1-cos(x))/x²的极限是________。【答案】1/2【解析】根据重要极限公式，当x→0时，1-cos(x)≈(x²)/2，因此(1-cos(x))/x²≈(x²/2)/x²=1/2，极限为1/2。8.当x→2时，函数f(x)=|x-2|/(x-2)的极限是________。【答案】-1【解析】当x→2+时，|x-2|/(x-2)=1，当x→2-时，|x-2|/(x-2)=-1，因此极限不存在，但左右极限分别为1和-1。9.当x→∞时，函数f(x)=(x-sin(x))/x的极限是________。【答案】1【解析】当x→∞时，sin(x)的值在-1和1之间，因此(x-sin(x))/x≈x/x=1，极限为1。10.当x→0时，函数f(x)=(e^x-1)/x的极限是________。【答案】1【解析】根据重要极限公式，当x→0时，(e^x-1)/x的极限为1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.如果函数f(x)在x=a处有定义，那么当x→a时，f(x)的极限一定存在。【答案】×【解析】函数在某点有定义与极限存在无关。例如，f(x)=x²在x=0处有定义，但f(x)=1/x在x=0处无定义且极限不存在。2.如果函数f(x)在x=a处的左右极限存在且相等，那么f(x)在x=a处的极限也存在。【答案】√【解析】根据极限的定义，如果左右极限存在且相等，则极限存在。3.当x→∞时，函数f(x)=1/x的极限是0。【答案】√【解析】当x→∞时，1/x无限接近0，因此极限为0。4.如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么f(x)在x=a处一定连续。【答案】×【解析】函数在某点极限存在不一定连续，例如f(x)=1/x在x=0处极限不存在，但f(x)=0在x=0处连续。5.当x→0时，函数f(x)=sin(x)/x的极限是1。【答案】√【解析】根据重要极限公式，当x→0时，sin(x)/x的极限为1。6.如果函数f(x)在x=a处的极限为L，那么当x→a时，f(x)无限接近L。【答案】√【解析】极限的定义就是函数值无限接近某一常数。7.当x→∞时，函数f(x)=(x²-1)/(x²+1)的极限是1。【答案】√【解析】当x→∞时，函数f(x)=(x²-1)/(x²+1)=(1-1/x²)/(1+1/x²)，因此极限为1。8.如果函数f(x)在x=a处的极限不存在，那么f(x)在x=a处一定不连续。【答案】√【解析】极限不存在意味着函数在该点不连续。9.当x→0时，函数f(x)=cos(x)/x的极限是1。【答案】×【解析】当x→0时，cos(x)/x无限振荡，极限不存在。10.如果函数f(x)在x=a处的极限为L，那么当x→a时，f(x)的值可能无限接近L但不等于L。【答案】√【解析】极限描述的是函数值无限接近某一常数，但不一定等于该常数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述极限的定义。【答案】极限是描述函数在自变量变化过程中，函数值无限接近某一常数的情况。具体来说，当自变量x无限接近某一值a时，函数f(x)无限接近某一常数L，则称L为f(x)在x→a时的极限。2.解释什么是左极限和右极限。【答案】左极限是指当自变量x从左侧无限接近某一值a时，函数f(x)无限接近的值；右极限是指当自变量x从右侧无限接近某一值a时，函数f(x)无限接近的值。如果左右极限存在且相等，则极限存在。3.列举两个重要极限公式。【答案】两个重要极限公式为：（1）当x→0时，sin(x)/x的极限为1；（2）当x→∞时，(1+1/x)^x的极限为e。4.解释函数在某点连续的定义。【答案】函数在某点连续是指：（1）函数在该点有定义；（2）函数在该点的极限存在；（3）函数在该点的极限等于函数值。5.说明极限不存在的几种情况。【答案】极限不存在的几种情况包括：（1）函数值无限振荡；（2）函数值无限增大；（3）左右极限存在但不相等。6.解释什么是无穷小量。【答案】无穷小量是指当自变量无限接近某一值时，函数值无限接近0的变量。例如，当x→0时，x²是无穷小量。7.说明极限运算法则的应用条件。【答案】极限运算法则的应用条件包括：（1）参与运算的函数极限存在；（2）函数满足加、减、乘、除等运算的条件。8.解释函数在区间上的连续性。【答案】函数在区间上的连续性是指函数在该区间内的每一点都连续。对于闭区间[a,b]，函数在a处右连续，在b处左连续。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=(x²-1)/(x-1)在x→1时的极限。【答案】当x→1时，函数f(x)=(x²-1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)，约分后为x+1，因此极限为2。2.求函数f(x)=sin(2x)/x在x→0时的极限。【答案】根据重要极限公式，当x→0时，sin(2x)/x=2•(sin(2x)/(2x))，因此极限为2。3.求函数f(x)=(e^x-1)/x在x→0时的极限。【答案】根据重要极限公式，当x→0时，(e^x-1)/x的极限为1。4.求函数f(x)=(x³-8)/(x-2)在x→2时的极限。【答案】当x→2时，函数f(x)=(x³-8)/(x-2)=(x-2)(x²+2x+4)/(x-2)，约分后为x²+2x+4，因此极限为12。5.求函数f(x)=(1-cos(x))/x²在x→0时的极限。【答案】根据重要极限公式，当x→0时，1-cos(x)≈(x²)/2，因此(1-cos(x))/x²≈(x²/2)/x²=1/2，极限为1/2。6.求函数f(x)=(x-sin(x))/x在x→∞时的极限。【答案】当x→∞时，sin(x)的值在-1和1之间，因此(x-sin(x))/x≈x/x=1，极限为1。7.求函数f(x)=(2x+1)/(3x-2)在x→∞时的极限。【答案】当x→∞时，函数f(x)=(2x+1)/(3x-2)=(2+1/x)/(3-2/x)，因此极限为2/3。8.求函数f(x)=|x-3|/(x-3)在x→3时的极限。【答案】当x→3+时，|x-3|/(x-3)=1，当x→3-时，|x-3|/(x-3)=-1，因此极限不存在。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.A4.C5.C6.A7.C8.B9.A10.A解析：2.极限描述的是函数值无限接近的值，而非无定义或无穷远处的值。3.约分后极限为2，而非0或4。4.根据重要极限公式，sin(x)/x→1。5.|x|无限接近0，极限为0。6.约分后极限为4。7.e^x无限接近0，极限为0。8.log(x)无限接近-∞，极限为-∞。9.(1+1/x)^x→e。10.约分后极限为1/6。11.sin(x)/tan(x)=cos(x)→1。二、填空题1.42.33.2/34.05.36.17.1/28.-19.110.1解析：2.约分后极限为4。3.sin(3x)/x=3•(sin(3x)/(3x))→3。4.(2x+1)/(3x-2)→2/3。5.e^(-1/x)→0。6.约分后极限为3。7.(x²-2x+1)/(x²+3x-4)→1。8.1-cos(x)≈(x²)/2，(1-cos(x))/x²→1/2。9.|x-2|/(x-2)在x→2+时为1，在x→2-时为-1，极限不存在。10.(x-sin(x))/x≈x/x=1。11.(e^x-1)/x→1。三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√解析：2.函数在某点有定义与极限存在无关。3.左右极限相等则极限存在。4.1/x→0。5.极限存在不一定连续。6.sin(x)/x→1。7.极限的定义就是函数值无限接近某一常数。8.(x²-1)/(x²+1)→1。9.极限不存在意味着不连续。10.cos(x)/x无限振荡，极限不存在。11.极限描述的是函数值无限接近某一常数，但不一定等于该常数。四、简答题1.极限是描述函数在自变量变化过程中，函数值无限接近某一常数的情况。具体来说，当自变量x无限接近某一值a时，函数f(x)无限接近某一常数L，则称L为f(x)在x→a时的极限。2.左极限是指当自变量x从左侧无限接近某一值a时，函数f(x)无限接近的值；右极限是指当自变量x从右侧无限接近某一值a时，函数f(x)无限接近的值。如果左右极限存在且相等，则极限存在。3.两个重要极限公式为：（1）当x→0时，sin(x)/x的极限为1；（2）当x→∞时，(1+1/x)^x的极限为e。4.函数在某点连续是指：（1）函数在该点有定义；（2）函数在该点的极限存在；（3）函数在该点的极限等于函数值。5.极限不