2026年部编版高三数学第二章极限与连续练习题库试卷

2026年部编版高三数学第二章极限与连续练习题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》教材中，关于数列极限的定义，下列表述正确的是（）A.数列{a_n}的极限存在，当且仅当对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|a_n-L|<ε成立B.数列{a_n}的极限存在，当且仅当对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n≥N时，|a_n-L|<ε成立C.数列{a_n}的极限存在，当且仅当存在ε>0，对于任意正整数N，使得当n>N时，|a_n-L|<ε成立D.数列{a_n}的极限存在，当且仅当存在ε>0，对于任意正整数N，使得当n≥N时，|a_n-L|<ε成立2.根据教材P35例3，函数f(x)=|x-1|在x→1时的极限值为（）A.0B.1C.-1D.不存在3.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，关于无穷小量的性质，下列说法错误的是（）A.有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量B.无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量C.两个无穷小量的商一定是无穷小量D.无穷小量是绝对值很小很小的量4.教材P48习题2.3中，函数f(x)=√(x^2+1)-1在x→∞时的极限为（）A.0B.1C.-1D.不存在5.根据教材P52例7，函数f(x)=sin(1/x)在x→0时的极限为（）A.0B.1C.-1D.不存在6.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，关于函数连续性的定义，下列说法正确的是（）A.函数f(x)在点x_0处有定义，则f(x)在x_0处连续B.函数f(x)在点x_0处极限存在，则f(x)在x_0处连续C.函数f(x)在点x_0处连续，则f(x)在x_0处极限存在D.函数f(x)在点x_0处连续，当且仅当f(x)在x_0处左右极限都存在且相等7.教材P62习题2.5中，函数f(x)=|x|在x=0处（）A.连续B.不连续C.可导D.不可导8.根据教材P68例12，函数f(x)=tan(x)在x=π/2处（）A.连续B.不连续C.可导D.不可导9.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，关于闭区间上连续函数的性质，下列说法错误的是（）A.闭区间上的连续函数必有界B.闭区间上的连续函数必存在最大值和最小值C.闭区间上的连续函数必存在零点D.闭区间上的连续函数的极限一定存在10.教材P75习题2.7中，函数f(x)=x^3-3x在[-2,2]上（）A.必存在零点B.必存在极值点C.必存在拐点D.必存在渐近线二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.根据教材P28例2，数列{a_n}={1/n}的极限为________。2.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，若lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=________，则该极限的值为________。3.无穷小量α和β满足lim(α/β)=0，则称________为β的高阶无穷小量。4.教材P43习题2.1中，函数f(x)=1/(x-1)在x→1时的极限为________。5.根据教材P59例9，函数f(x)=e^x在x→∞时的极限为________。6.函数f(x)在点x_0处连续的三个等价条件为：①________；②________；③________。7.教材P67习题2.4中，函数f(x)=ln(x)在x=1处________（填“连续”或“不连续”）。8.根据教材P72例11，函数f(x)=sin(x)在x=π处________（填“连续”或“不连续”）。9.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，闭区间上连续函数的介值定理表述为：若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)________，则对于任意k介于f(a)与f(b)之间，至少存在一点c∈(a,b)，使得________。10.教材P80习题2.8中，函数f(x)=1/x在x→0时的极限为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.根据教材P31例5，数列{a_n}={(-1)^n/n}的极限为0。（）2.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，若lim(x→x_0)f(x)不存在，则f(x)在x_0处必不连续。（）3.无穷小量是绝对值很小的量，因此0是无穷小量。（）4.教材P55习题2.2中，函数f(x)=1/x在x→0时的极限为0。（）5.根据教材P63例10，函数f(x)=x^2在x=0处连续。（）6.函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在x_0处必连续。（）7.教材P68习题2.3中，函数f(x)=|x|在x=0处可导。（）8.根据教材P73例13，函数f(x)=cos(x)在x=π/2处连续。（）9.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，闭区间上连续函数必存在零点。（）10.教材P77习题2.6中，函数f(x)=tan(x)在x=π/4处连续。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.根据教材P29，简述数列极限的ε-N定义。2.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，举例说明无穷小量的性质。3.教材P44例4中，如何求函数f(x)=x/(x^2-1)在x→1时的极限？4.根据教材P60，简述函数极限的ε-δ定义。5.函数f(x)在点x_0处连续的三个等价条件是什么？6.教材P69例11中，如何判断函数f(x)=x^3-3x在x=0处是否可导？7.根据教材P74，简述闭区间上连续函数的性质。8.教材P79例14中，如何求函数f(x)=e^x在x→∞时的极限？五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.根据教材P32例6，求lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)。2.在《2026年部编版高三数学第二章极限与连续》中，求lim(x→0)(sin(x)/x)。3.教材P45习题2.2中，求lim(x→∞)(3x^2+2x)/(5x^2-1)。4.根据教材P62，求函数f(x)=|x|在x=0处的左极限和右极限，并判断是否连续。5.函数f(x)=x^2-4x+3，求lim(x→1)f(x)。6.教材P68例12中，求函数f(x)=tan(x)在x=π/4处的极限。7.根据教材P73，求函数f(x)=ln(x)在x=1处的连续性。8.教材P78习题2.5中，求函数f(x)=e^x在x→-∞时的极限。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：数列极限的ε-N定义要求对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|a_n-L|<ε成立。选项A正确描述了这一定义。选项B中“n≥N”不准确，因为当n=N时可能不满足条件。选项C和D中“存在ε>0”错误，因为ε应该是任意的。2.B解析：根据教材P35例3，函数f(x)=|x-1|在x→1时，左极限lim(x→1^-)|x-1|=0，右极限lim(x→1^+)|x-1|=0，且左右极限相等，因此极限值为1。3.C解析：无穷小量的商不一定是无穷小量。例如，α=x^2（无穷小量），β=x（无穷小量），但lim(x→0)(α/β)=lim(x→0)(x/x)=1，不是无穷小量。其他选项均正确。4.A解析：根据教材P48习题2.3，函数f(x)=√(x^2+1)-1在x→∞时，lim(x→∞)(√(x^2+1)-1)=lim(x→∞)((√(x^2+1)-1)/(x/∞))=lim(x→∞)((x^2+1-1)/(x√(x^2+1)+x))=lim(x→∞)(x/(√(x^2+1)+1))=1/2。5.D解析：根据教材P52例7，函数f(x)=sin(1/x)在x→0时，1/x振荡无界，因此sin(1/x)无极限。6.C解析：函数f(x)在点x_0处连续的三个等价条件为：①lim(x→x_0)f(x)存在；②f(x)在x_0处有定义；③lim(x→x_0)f(x)=f(x_0)。选项C正确。7.A解析：根据教材P62习题2.5，函数f(x)=|x|在x=0处，lim(x→0^-)|x|=0，lim(x→0^+)|x|=0，且左右极限相等，因此极限存在且f(0)=0，所以连续。8.D解析：根据教材P68例12，函数f(x)=tan(x)在x=π/2处无定义，因此不连续。9.C解析：闭区间上的连续函数必存在最大值和最小值（极值定理），但未必存在零点。例如f(x)=x^2在[0,1]上连续，但只有f(0)=0一个零点。其他选项均正确。10.B解析：根据教材P75习题2.7，函数f(x)=x^3-3x在[-2,2]上，f(-2)=-2，f(2)=2，且f(x)在[-2,2]上连续，因此根据介值定理，必存在c∈(-2,2)，使得f(c)=0，即存在零点。二、填空题1.0解析：根据教材P28例2，数列{a_n}={1/n}单调递减且有下界0，因此极限为0。2.4；4解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4。3.α解析：无穷小量α和β满足lim(α/β)=0，则称α为β的高阶无穷小量。4.-∞解析：根据教材P43习题2.1，函数f(x)=1/(x-1)在x→1时，1/(x-1)→∞或-∞，因此极限不存在。5.+∞解析：根据教材P59例9，函数f(x)=e^x在x→∞时，e^x→+∞。6.lim(x→x_0)f(x)存在且等于f(x_0)；lim(x→x_0^-)f(x)=lim(x→x_0^+)f(x)；f(x_0)存在解析：函数f(x)在点x_0处连续的三个等价条件如上所述。7.连续解析：根据教材P67习题2.4，函数f(x)=ln(x)在x=1处，f(1)=ln(1)=0，且lim(x→1)ln(x)=0，因此连续。8.连续解析：根据教材P72例11，函数f(x)=sin(x)在x=π处，f(π)=sin(π)=0，且lim(x→π)sin(x)=0，因此连续。9.异号；f(c)=k解析：闭区间上连续函数的介值定理表述为：若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则对于任意k介于f(a)与f(b)之间，至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=k。10.-∞解析：根据教材P80习题2.8，函数f(x)=1/x在x→0时，1/x→∞或-∞，因此极限不存在。三、判断题1.错解析：根据教材P31例5，数列{(-1)^n/n}在n→∞时振荡衰减，因此极限为0。2.错解析：极限不存在不一定是由于不连续。例如f(x)={x^2ifxrational,-x^2ifxirrational}在x=0处极限不存在，但f(0)=0，因此连续。3.错解析：无穷小量是极限为0的变量，0是常数，不是变量，因此不是无穷小量。4.错解析：根据教材P55习题2.2，函数f(x)=1/x在x→0时，1/x→∞或-∞，因此极限不存在。5.对解析：根据教材P63例10，函数f(x)=x^2在x=0处，f(0)=0，且lim(x→0)x^2=0，因此连续。6.对解析：根据教材P64，函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在x_0处必连续。7.错解析：根据教材P68习题2.3，函数f(x)=|x|在x=0处，左导数lim(h→0)(|0+h|-|0|)/h=-1，右导数lim(h→0)(|0+h|-|0|)/h=1，左右导数不相等，因此不可导。8.对解析：根据教材P73例13，函数f(x)=cos(x)在x=π/2处，f(π/2)=0，且lim(x→π/2)cos(x)=0，因此连续。9.错解析：闭区间上连续函数必存在最大值和最小值（极值定理），但未必存在零点。例如f(x)=x^2在[0,1]上连续，但只有f(0)=0一个零点。10.错解析：根据教材P77习题2.6，函数f(x)=tan(x)在x=π/4处，f(π/4)=1，但lim(x→π/4)tan(x)不存在（因为tan(x)在x=π/2处无定义），因此不连续。四、简答题1.数列极限的ε-N定义：对于数列{a_n}，若存在常数L，使得对于任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，|a_n-L|<ε成立，则称数列{a_n}收敛于L，记作lim(n→∞)a_n=L。解析：根据教材P29，ε-N定义要求对于任意ε>0，总能找到一个正整数N，使得从第N项开始的所有项都落在(L-ε,L+ε)区间内。2.无穷小量的性质：（1）有限个无穷小量的和仍是无穷小量；（2）有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量；（3）无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。解析：根据教材P42，无穷小量是极限为0的变量，具有上述性质。例如α=x^2（无穷小量），β=sin(x)（有界变量），则αβ=x^2sin(x)是无穷小量。3.根据教材P44例4，求lim(x→1)(x/(x^2-1))：lim(x→1)(x/(x^2-1))=lim(x→1)(x/(x-1)(x+1))，当x→1时，分母→0，因此极限不存在。解析：需要先化简，但发现当x→1时分母→0，因此极限不存在。4.函数极限的ε-δ定义：对于函数f(x)，若存在常数A，使得对于任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-x_0|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，则称函数f(x)当x→x_0时收敛于A，记作lim(x→x_0)f(x)=A。解析：根据教材P60，ε-δ定义要求对于任意ε>0，总能找到一个δ>0，使得当x接近x_0但不等于x_0时，f(x)落在(A-ε,A+ε)区间内。5.函数f(x)在点x_0处连续的三个等价条件：（1）lim(x→x_0)f(x)存在；（2）f(x)在x_0处有定义；（3）lim(x→x_0)f(x)=f(x_0)。解析：根据教材P64，这三个条件等价，可以相互推出。6.根据教材P69例11，判断函数f(x)=x^3-3x在x=0处是否可导：f'(0)=lim(h→0)(f(0+h)-f(0))/h=lim(h→0)((h^3-3h)-0)/h=lim(h→0)(h^2-3)=-3，因此可导。解析：根据导数定义，计算左右导数是否相等，若相等则可导。7.根据教材P74，闭区间上连续函数的性质：（1）有界性：闭区间上的连续函数必有界；（2）最值定理：闭区间上的连续函数必存在最大值和最小值；（3）介值定理：若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则对于任意k介于f(a)与f(b)之间，至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=k。解析：这些性质是闭区间上连续函数的重要特征，在教材P74有详细证明。8.根据教材P79例14，求函数f(x)=e^x在x→∞时的极限：lim(x→∞)e^x=+∞。解析：根据教材P79，指数函数e^x在x→∞时单调递增且无上界，因此极限为+∞。五、应用题1.求lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)：lim(x→2)(x^3-8)/(x-2