海南省2023-2024学年高二下学期学业水平诊断（二）数学试题参考答案及评分细则

海南省2023—2024学年高二年级学业水平诊断(二)一、单项选择题:本题共8小题'每小题5分'共40分.1.A2.C3.D4.C5.A6.B7.B8.D二、多项选择题:本题共3小题'每小题6分'共18分.每小题全部选对的得6分'部分选对的得部分分'有选错的9.BC10.ACD11.ABD三、填空题:本题共3小题'每小题5分'共15分.四、解答题:本题共5小题'共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解析(I)第一种情况:比赛结束时恰好打了4局且甲获胜,则概率为P…………………(2分)第二种情况:比赛结束时恰好打了4局且乙获胜,则概率为P……………………(4分)所以比赛结束时恰好打了4局的概率为P=P1+P……(6分)(")依题意得X的所有可能取值为1,2,3,………………(7分)X的分布列为X123P 3 9 9（不列表扣1分）………………(11分)E…(…)………………(13分)………………(2分)又,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,…………………(4分)（5分）所以故an……………(6分)(")易得anan……………(8分)10分）…………………(11分)易知f在n∈N*时是递增的,所以………(14分)因此sn…………………………(15分)17.解析(I)因为AA1丄平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA1丄BD.……(1分)因为四边形ABCD为菱形,所以AC丄BD.…………………(2分)因为AA1∩AC=A,AA1,ACC平面ACC1A1,（条件不完整扣1分）所以BD丄平面ACC1A1,……………………(4分)又BDC平面BDD1B1,所以平面BDD1B1丄平面ACC1A1.…………(6分)(")在平面ABCD内,过点A作BC的垂线交BC于点N,以AN,AD,AA1所在直线分别为x轴、Y轴、Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.………………(7分)不妨设A1B1=1,则AB=3,AA1=1,因为匕ABC=60。,所以△ABC是等边三角形,故N是BC的中点,于是BN=,AN因为M是棱BC上靠近点C的三等分点,所以BM=2,NM故A(0,0,0),D1(0,1,1),M(33,,0),所以A—1=(0,1,1……(9分)记平面AMD1的法向量为n=(a,b,c),则b=0,（10分）…………………(11分)易知平面ADD1的一个法向量为m=(1,0,0),…………(12分)………(18.解析(I)设E的半焦距为c(c>0),由已知,得………………………(4分)故E的方程为+y2=1.……………………(5分)(")(i)由题可设l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+2代入y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+16kx+12=0.…………………(7分)所以即Q…………(9分)可得kOQ=-,所以k.kOQ=-,即直线l与OQ的斜率之积为定值.……………(11分)]…………(12分)又点O到直线l的距离d,所以△OAB的面积S△OABd.lABl……………………(13分)2-3=t,则t>0,S△OAB当且仅当t=2,即k=±、时等号成立,且满足Δ>0.…………………(15分)所以当△OAB的面积最大时,直线l的方程为、7x-2y+4=0或、7x+2y-4=0.……(17分)(2分)（求导正确得1分）19.解析(I)f,(x)=ex-2ax,则f,(0)=1,又f(0)=1(2分)（求导正确得1分）所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1.………………(4分)(")(i)f(x)的定义域为R,f,(x)=ex-2ax,设g(x)=f,(x),则g,(x)=ex-2a,令g,(x)=0,得x=ln2a.…………(6分)由g,(x)>0,得x>ln2a,由g,(x)<0,得x<ln2a,所以g(x)在(-∞,ln2a)上单调递减,在(ln2a,+∞)上单调递增.（7分）所以g(x)min=g(ln2a)=2a-2aln2a.……………………(8分)因为f(x)存在两个极值点,所以g(x)有两个零点,所以2a-2aln2a=2a(1-ln2a)<0,得a>………………(10分)又当x→-∞时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞,所以满足g(x)有两个零点,f(x)有两个极值点,故a的取值范围是……………(11分)(i)不妨设x1>x2,由(i)知ex1-2ax1=0,ex2-2ax2=0,两式相减,可得ex1-ex2-2a(x1-x2)=0,得2a……………(12分)x即证即证……………………(13分)-x2>0,则需证,即证(t-2)et+(t+2)>0.设h(t)=(t-2)et+(t+2),则当t>0时,hI(t)=(t-1)et+1,hⅡ(t)=tet>0,…………