4.5《相似三角形的性质及应用》（1）-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

4.5《相似三角形的性质及应用》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练一、基础夯实1．（2024九下·宁波月考）如图所示，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，那么GE的长为（）

A．1 B．2 C．3 D．32．（2022九上·拱墅期中）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F.连接EF，若AB=4.4，AC=3.A．1.6 B．1.8 C．2.2 D．2.43．（2025九上·象山月考）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．44．（2023九上·鹿城月考）如图，在△ABC中，AD为中线，G为重心，且GD=2，则AD=．5．（浙教版2019年数学中考模拟试卷7）如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为米.6．（2019九上·海宁开学考）如图，△BDE∽△BCA，若BDBC=23，DE=6，则7．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G为△ABC的重心，求证：AD=3GD．8．（2022九上·温州期中）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．9．若两个相似三角形对应边上的中线长之比为3：1，则对应角的平分线长之比为()A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．3：110．如图，AD经过△ABC的重心，E是AC的中点，过点E作EG∥BC交AD于点G，若BC=12，则线段GE的长为()A．6 B．4 C．5 D．3二、能力提升11．如图，在△ABC中，BD，CE分别为边AC，AB上的中线，BD⊥CE.若BD=3，CE=5，则△ABC的面积为()A．20 B．16 C．15 D．1012．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（）A．12 B．8 C．6 D．413．如图，点A在函数y=kx（k>0，x>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别以AB，AC为边在矩形ABOC的外侧构造矩形ABDE，矩形ACFG，直线GE分别交x轴、y轴于点M，N，且NG：GE：EM=2：3：4A．52 B．83 C．13614．如图，在等边三角形ABC的边AC，BC上各取一点M，N，使AM=CN，AN，BM相交于点O．若AM=4，MO=2，则BO的长是（）A．5 B．6 C．7 D．815．（2024九上·海曙月考）如图，G是ΔABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E,P,Q分别是ΔBCE和ΔBCD的重心，则PQBC=16．（2024·嘉兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点A(2,4),B(2,0)，把△OAB向上平移m个单位长度，对应得到△O'A'B'，若反比例函数y=17．（2024·江北模拟）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则EFFC的值为18．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上的点，且AB（1）求证：A（2）若E是△ABC的重心，求AC2：AD2的值.19．如图，等边三角形ABC的边长为6，D是BC上一动点，∠EDF=（1）求证：△BDE∽△CFD．（2）当BD=1，FC=3．时，求BE的长．20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，F分别在线段AB，AD上，且∠EFD=（1）求证：△AFE∽△ADC．（2）若AEAC=45，AEEB三、综合拓展21．（2023·鄞州模拟）（1）【基础巩固】

如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AD.求证：∠ACB=∠ACD；（2）【迁移运用】

如图2，在(1)的条件下，取AB的中点E，连结DE交AC于点F，若∠AFE=∠ACD，EF=23，求DF的长；（3）【解决问题】

如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，在BC上取点E，使得DE=DC，恰有BE=AB.若AD=310，CE=6，求四边形ABCD的面积.22．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=2AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】三角形的重心及应用【解析】【解答】解：连结BG并延长交AC与F点，

∵G点是三角形的重心，

∴BG=2FG，

∵EG⊥AC，

∴∠GEA=∠BCA=90°，

∴EG∥BC，

∴△FGE∽△FBC

∴GFBF=GEBC=13，

∵BC=6cm，

∴【分析】连结BG并延长交AC与F点，根据重心定理BG=2FG，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EG∥BC，再由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△FGE∽△FBC，进而根据相似三角形对应边，得到GFBF=GEBC=2．【答案】A【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：如图：连接EF，

∵点G为△ABC的重心，∴点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，∴EF=1故答案为：A.【分析】三角形重心就是三角形三边中线的交点，据此得点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出EF=13．【答案】A【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：如图，取BC的中点I连接EI、DI∵P、Q为△BCE和△BCD的重心

∴P在线段EI上，Q在线段DI上，且IPIE=IQID=13

∴PQDE=13

∵G为△ABC的重心

∴

【分析】取BC的中点I并连接EI、DI，由重心的性质知P、Q在EI和DI上，同时PQ=13DE，由中位线定理知PQ=14．【答案】6【知识点】三角形的重心及应用【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD是中线，G是重心，

∴AGGD=21，

∴GDAD=1故答案为：6．【分析】利用三角形重心的性质可得AGGD=21，再求出5．【答案】1.4【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：由题意得，44+3解得h＝1.4.故答案为：1.4.

【分析】根据相似三角形对应边成比例得出44+36．【答案】9【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△BDE∽△BCA，∴DEAC即6AC解得：AC=9.故答案为：9.【分析】相似三角形的性质得出对应边成比例，即可得出AC的长度.7．【答案】证明：连结DE，如图．∵点G是△ABC的重心，∴E和D分别是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=∴△DEG∽△ACG，∴DEAC=GDGA【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定【解析】【分析】连接DE，由重心得DE为中位线，可得DE||AC，DE=12AC，8．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，∴15：（15+3）＝12：DE，解得DE＝725【知识点】相似三角形的性质【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得AB∶AD＝BC∶DE，然后将已知条件代入计算即可.9．【答案】C【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高线长之比为3：1，

∴这两个相似三角形对应边的比为3：1

​​​​​​​∴这两个相似三角形对应角的角平分线的比为3：1故答案为：C.【分析】先根据相似三角形对应高线之比确定相似比，再依据相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，得出对应角的平分线之比.10．【答案】D【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵AD经过△ABC的重心，

∴点D是BC中点，

∵BC=12，

∴CD=BD=6，

∵GE∥BC，

∴△AGE∽△ADC，

∵点E是AC中点，

∴AEAC=GECD=故答案为：D.【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到AEAC11．【答案】D【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：如图，设CE与BD交于点O.

∵BD，CE分别为边AC，AB上的中线，

∴O是△ABC的重心.

∴OC=23CE=103.∵BD⊥CE，

∴S△BDC故答案为：D.【分析】设CE与BD交于点O，由题意可知点O是△ABC的重心，根据重心性质的概念和性质(三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍)得到OC=212．【答案】A【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：∵G是重心，∴DG：DA＝1：3，∵GE∥AC，∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，∵DE＝2，∴CD＝6，∴BC＝2CD＝12，故答案为：A.【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.13．【答案】D【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵NG:∴NF:AG:设NF=2a，FG=2b，则AG=3a，DE=4a，AE=3b，DM=4b，∵矩形ABDE，ACFG，∴AC=FG=2b，BD=AE=3b，AB=DE=4a，∴A(∵阴影部分的面积为5，∴AC×AG+AB×BD=2b×3a+4a×3b=18ab=5，∴ab=5∵点A在函数y=k∴2b=k∴k=2b×4a=8ab=8×5故答案为：D.【分析】通过NG:GE:EM=2:3:4得出NF:AG:14．【答案】B【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°

在△ABM和△CAN中，

AM=CN∠BAM=∠ACNAB=AC

∴△ABM≌△CAN(SAS)

∴∠CAN=∠ABM

∵∠CAN+∠BAO=60°

∴∠BAO+∠ABM=60°

即∠AOM=60°

∵∠AOM=∠ACN=60°，∠CAN=∠OAM

∴△AOM~△ACN

∴AMAN=OMCN，即4AN=15．【答案】1【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，如图所示：∵G是ΔABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，

∴AE=BE，AD=DC，

∴ED∥BC，ED=12BC，

又∵P,Q分别是ΔBCE和ΔBCD的重心，

∴EPPF=DQQF=2，

∴PQ∥ED，PQ=13ED，

∴PQ=13×16．【答案】16【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：∵A(2,4),B(2,0)，∴OB中点坐标为C1,0，AB中点坐标为D设OD解析式为y=k1x，AC将D2,2代入得2=2k1，则k1=1∵A(2,4)，C1,0，

∴4=2k2+b0=k2解y=4x−4y=x，得x=43y=43，∵把△OAB向上平移m个单位长度，对应得到△O'A'B'，

∴∵点B'与△O'A'B'的重心都在反比例函数y=k∴k=16故答案为：163

【分析】先根据A、B两点的坐标，分别求得OB，AB两线段的中点C、D两点的坐标，设OD解析式为y=k1x，AC解析式为y=k2x+b，将D点的坐标代入y=k1x17．【答案】3−1【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】如图所示，过点C作CG⊥DE，垂足为点G，

依题意得∠E=30°，∠B=45°，BC∥DE，

∴∠D=60°，在Rt△CDG中，∠DCG=30°，

∴设CD=2t，则DG=t，DE=4t，∠GAC=∠ACB=45°，

∴∠ACG=45°，AG=CG，

由勾股定理得AG=CG=CD2−DG2=3t，

AC=CG2+AG2=6t，

同理BC=AC2+AB2=23t，18．【答案】（1）证明：∵AB∴△BAD∽△ACE.∴∠B=∠EAC.又∵∠ACB=∠DCA，∴△ABC∽△DAC.∴∴A（2）解：由(1)，知△BAD∽△ACE.∴∠BDA=∠AEC.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.∵E是△ABC的重心，∴BD=CD，BC=2BD=2CD，AE=∴BD=CE，AC2=BC⋅CD=∵△BAD∽△ACE，∴∴∴A∴【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS【解析】【分析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；

(2)利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，AE=219．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∵且∠∴∴△BDE∽△CFD．（2）由(1)知△BDE∼△CFD，∴∵BC=6，BD=1，∴CD=BC−BD=5，∴【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定【解析】【分析】(1)由一线三角知∠BED=∠FDC，再结合等边三角形的性质即可证明△BDE∽△CFD20．【答案】（1）证明：∵AD是角平分线，∴∵∴∴△AFE∽△ADC．（2）解：∵△AFE∽△ADC，∴∠∵∴∵∵∴DF=5k−4k=k．∵【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；角平分线的概念【解析】【分析】(1)直接由角平分线和∠EFD=∠BDF，再证明∠AFE=∠ADC，即可得△AFE∽△ADC21．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，AC=AC，∴△BAC≌△DAC（SAS），∴∠ACB=∠ACD；（2）解：如图，连结BD，

∵△ABD中，AB=AD，AC平分∠BAD，

∴AC垂直平分BD，

又∵DE是△ABD中AB上的中线，

∴F是△ABD两中线的交点，即点F是△ABD的重心，

∴DF=2EF=43；（3）解：如图，连接AC、BD，

∵AB=EB，BD=BD，DA=DC=DE，

∴△ABD≌△EBD（SSS），

∴∠BAD=∠BED，

∵DE=DC，

∴∠DEC=∠DCE，

∵∠BED+∠DEC=180°，

∴∠DAB+∠BCD=180°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ABC=90°，

设AB=EB=x，则BC=BE+EC=x+6，

由勾股定理得x2+（x+6）2=2×3102，

解得x=6（负值已舍），

∴AB=EB=6，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12×6×12+12×【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形的重心及应用【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC=∠DAC，从而用SAS证出△BAC≌△DAC，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠ACD；

（2）连结BD，根据等腰三角形的三线合一得AC垂直平分BD，进而可得点F是△ABD的重心，根据重心性质可得DF=2EF，从而可得答案；

（3）连接AC、BD，先利用SSS证△ABD≌△EBD，得∠BAD=∠BED，由等边对等角及邻补角定义推出∠DAB+∠BCD=180°，由四边形的内角和定理得∠ABC=90°，设AB=EB=x，则BC=BE+EC=x+6，由勾股定理得AB2+BC2=AC2=AD2+CD2，据此建立方程求出x的值，进而根据割补法并结合三角形的面积计算方法，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC列式计算即可.22．【答案】（1）【解答】解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）【解答】①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=5，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5；（III）当A′C′=BC′=5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，