高考数学一轮复习 11.4 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布

第四节两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布知识点1两点分布1.若随机变量服从两点分布,即其分布列为01其中,则称离散型随机变量服从参数为的两点分布.其中称为成功概率.注意:（1）两点分布的试验结果只有两个可能性,且其概率之和为1;（2）两点分布又称0-1分布、伯努利分布，其应用十分广泛.2.两点分布的均值与方差:若随机变量服从参数为的两点分布,则知识点2次独立重复试验1.定义一般地,在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.注意:独立重复试验的条件:①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.2.特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例.知识点3二项分布1.定义一般地,在次独立重复试验中,用表示事件发生的次数,设每次试验中事件发生的概率为,不发生的概率,那么事件恰好发生次的概率是于是得到的分布列01............由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值,称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布,记作,并称为成功概率.注意:由二项分布的定义可以发现,两点分布是一种特殊的二项分布,即时的二项分布,所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式.2.二项分布的适用范围及本质（1）适用范围:①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果:事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数.（2）本质:二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.3.二项分布的期望、方差若,则.知识点4超几何分布1.定义在含有件次品的件产品中,任取件,其中恰有件次品,则事件发生的概率为,其中,且,称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列,则称随机变量服从超几何分布.01......2.超几何分布的适用范围件及本质（1）适用范围:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布.（2）本质:超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.知识点5正态曲线1.定义:我们把函数（其中是样本均值,是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线,简称正态曲线.正态曲线呈钟形,即中间高,两边低.2.正态曲线的性质（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；（3）曲线在处达到峰值（最大值）；（4）曲线与轴之间的面积为1;（5）当σ一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示:（6）当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示::知识点6正态分布1.定义随机变量落在区间的概率为,即由正态曲线,过点和点的两条轴的垂线,及轴所围成的平面图形的面积,如下图中阴影部分所示,就是落在区间的概率的近似值.一般地,如果对于任何实数,随机变量满足,则称随机变量服从正态分布.正态分布完全由参数确定,因此正态分布常记作.如果随机变量服从正态分布,则记为.其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.2.原则若,则对于任意的实数为下图中阴影部分的面积,对于固定的和而言,该面积随着的减小而变大.这说明越小,落在区间的概率越大,即集中在周围的概率越大特别地,有由,知正态总体几乎总取值于区间之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,即为小概率事件.在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值,并简称之为原则.题型1两点分布例1设随机变量服从两点分布,若,则（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7例2若随机变量服从两点分布,其中分别为随机变量的均值与方差,则下列结论不正确的是（）A.B.C.D.例3某工厂生产某种电子产品,每件产品不合格的概率均为,现工厂为提高产品声誉,要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产品均检验一次,所需检验费用较多,该工厂提出以下检验方案:将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验,如此,每一组产品只需检验1次或次.设该工厂生产1000件该产品,记每件产品的平均检验次数为.（1）求的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当时，求使该方案最合理时的值及1000件该产品的平均检验次数.题型2次独立重复试验例4（2025·新高考I）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望_____.例5为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式,即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制）,最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的队员积2分,失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四,设每局比赛张三取胜的概率均为.（1）比赛结束后冠亚军（没有并列）恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为，求出的最大值点.题型3二项分布例6已知随机变量服从二项分布，则_____.例7（2025·天津）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为_____；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周,记合格周数为,则期望_____.例8第四届应急管理普法知识竞赛线上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”；（2）随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，用频率估计概率，请你写出的分布列.例9甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下:甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分;乙按约定的投篮点顺序依次投球,如投中可继续进行下一次投篮,如没有投中,投篮中止,且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负.（1）若乙得6分的概率，求；（2）由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？题型4超几何分布例10厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.则该商家拒收这批产品的概率是_____.例11袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球,已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.现从该袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,则_____.例12温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱，温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示.环境质量等级土壤各单项或综合质量指数灌溉水各单项或综合质量指数环境空气各单项或综合质量指数等级名称1≤0.7≤0.5≤0.6清洁20.7~1.00.5~1.00.6~1.0尚清洁3>1.0>1.0>1.0超标各环境要素的综合质量指数超标,灌溉水、环境空气可认为污染,土壤则应做进一步调研,若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染，某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植,对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到的相关数据如下:（1）若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；（2）现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数,求的分布列和数学期望.题型5二项分布与超几何分布的综合应用例13袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求:（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列、数学期望和方差；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列、数学期望和方差.例14.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查,得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位:小时）,并将样本数据分成,（16,18]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在（10，12）内的概率；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16）内的学生人数为，求的分布列和数学期望；（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率,其中.当最大时,写出的值.（只需写出结论）题型6正态密度函数及正态曲线的性质例15设随机变量的正态分布密度函数为,则参数的值分别是（）A.B.C.D.例16某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）A.甲学科总体的均值最小 B.乙学科总体的方差及均值都居中C.丙学科总体的方差最大 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同例17若随机变量，则下列选项错误的是（）A. B.C. D.例18（2025·天津）下列说法中错误的是（）A.若,则B.若,则C.越接近1,相关性越强D.越接近0,相关性越弱例19已知随机变量，且，则的最小值为_____.例20已知随机变量,则（）A. B.C. D.题型7正态分布的实际应用例21法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是,上下浮动不超过.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为,标准差为的正态分布.（1）已知如下结论:若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为,则随机变量,利用该结论解决下面问题.（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求;（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落