六年级数学上册（苏教版）第一单元第10课时 正方体涂色面计数探究课导学案

六年级数学上册（苏教版）第一单元第10课时正方体涂色面计数探究课导学案

一、教学内容重构与目标定位

【教学背景分析】

本课隶属于苏教版六年级上册第一单元《长方体和正方体》后的综合与实践领域，是在学生掌握了正方体特征、表面积、体积等基础知识上开设的一节数学探究活动课。本节课不仅仅是计算小正方体的个数，更是一次从“定性认识”走向“定量刻画”，从“直观感知”走向“抽象建模”的思维飞跃。它将正方体的顶点、棱、面等元素与数的运算紧密勾连，承载着培养空间观念、推理意识和模型意识的核心素养任务。

【教学目标精准阐述】

1、【基础】知识与技能目标：学生通过观察、操作、想象、推理等活动，能够准确找出处于大正方体顶点、棱上、面中心及体内中心位置的小正方体，并正确计数棱等分份数为2、3、4时，三面涂色、两面涂色、一面涂色及无色小正方体的个数。

2、【重要】过程与方法目标：引导学生经历“具体操作—观察列表—猜想验证—归纳模型”的探究过程，体会从简单入手、以退为进的“化繁为简”策略，感悟分类计数、数形结合、归纳推理等数学思想，初步建立用字母表示数的代数模型。

3、【非常重要】情感态度与价值观目标：在小组协作探究中，培养科学严谨的探究态度和乐于分享的交流意识，通过对涂色规律的发现，感受数学的秩序感与结构美，激发探索数学奥秘的内生动力。

【教学重难点聚焦】

1、【教学重点】通过操作与观察，发现三面、两面、一面涂色小正方体的个数与大正方体顶点、棱、面之间的位置关系和数量关系。

2、【教学难点】【难点】建立“（n-2）”的数学模型，理解一面涂色小正方体个数为（n-2）²×6以及无色小正方体个数为（n-2）³的推导过程，并能将其迁移至一般化的数学表达中。

【教学准备】

教师准备：动态几何画板课件、3D打印的可拆解磁力正方体教具（2阶、3阶、4阶）。

学生准备：每小组配备可拆卸的2阶、3阶表面涂色正方体学具，学习任务单，彩色笔。

二、教学过程实施与思维进阶

（一）创设情境，激活经验——从“魔方”到“数学”

课始，教师手持一个三阶魔方，以生活化的情境切入。

师：同学们，魔方大家都不陌生。它是一个棱长被平均分成3份的正方体。如果老师把这个魔方的表面全部喷上红漆（假设可以拆卸），然后拆开，得到的所有小立方体中，每一块被涂色的面数会一样吗？

这一问题的抛出，立刻打破了学生原有的认知平衡。学生凭借生活经验会直觉反应“不一样”。教师顺势引导学生回顾正方体的基本特征：顶点（8个）、棱（12条）、面（6个）。并指出，这些特征将是我们破解涂色规律的金钥匙。由此引出课题，并将学生思维聚焦于“位置决定涂色面数”这一核心思想上。

（二）直观操作，建立表象——聚焦“二阶”与“三阶”魔方

活动一：解剖二阶魔方（棱2等分）

【探究任务】各小组利用2阶学具，拆卸并观察。

学生很快发现，2阶魔方由8个小立方体组成（2³=8）。经过观察与讨论，他们发现每一个小正方体都露出了3个面。此时教师在黑板上记录数据，并追问：为什么这8个小正方体都是三面涂色？引导学生观察它们的位置，发现这8个小正方体恰好对应了大正方体的8个顶点。由于大正方体棱长只被分成2份，中间没有棱上和面上的小方块，因此所有方块都占据了“顶点”位置。这一环节看似简单，实则【重要】，它固化了学生对“顶点处有三面涂色”的认知，为后续的对比研究奠定了基准点。

活动二：解剖三阶魔方（棱3等分）——分类计数

【核心探究】教师引导：如果棱平均分成3份，总块数为27（3³=27）。现在请大家拆卸三阶学具，并将拆下的小方块按照涂色面数进行分类摆放。

小组展开协作探究，教师巡视指导，重点关注学生分类的标准和计数的策略。

【小组汇报与互动质疑】

第一小组代表上台，利用实物投影展示分类结果：我们将涂色面数相同的放在一起，发现有8个是三面涂色的，有12个是两面涂色的，有6个是一面涂色的，还有1个竟然一点颜色都没有。

【追问与建模】

1、聚焦三面涂色（8个）：请小组指一指，你们是从哪里找到这些三面涂色小方块的？学生指出它们来自大正方体的“角尖”上。教师动态演示课件，剥离出顶点处的方块。师生共同总结：因为正方体只有8个顶点，所以【三面涂色的个数始终是8个】。这是一个【高频考点】，也是一个不变量。

2、聚焦两面涂色（12个）：这些方块藏在哪里？学生通过观察发现，它们在大正方体的“棱中间”，但不在顶点上。数一数每条棱上有几个两面涂色？学生指出每条棱上有1个。正方体有12条棱，所以是12×1=12个。教师引导思考：为什么每条棱上只有1个？（因为顶点被三面涂色的占用了，去掉两头的顶点，中间剩下的就是两面涂色的。）这里初步渗透了“（份数-2）”的模型思想。

3、聚焦一面涂色（6个）：这些方块又藏在哪里？学生在学具中寻找，发现它们位于每个面的正中央，但不在棱上。数一数每个面上有几个一面涂色？学生发现每个面上有1个。正方体有6个面，所以是6×1=6个。

4、聚焦无色方块（1个）：最后一个方块为什么一点颜色都没有？引导学生想象并观察，它原本在大正方体的什么位置？通过多媒体课件层层剥离（剥去外层涂色的方块），学生恍然大悟：原来它被包在最里面，哪一面都碰不到表面，因此是“0面涂色”。

【设计意图】此环节是本课的【重要】奠基部分。通过动手“拆解”与“分类”，将抽象的立体图形转化为触手可及的实物，让学生在具身认知中初步建立各类方块的空间位置感，为后续从“数”到“算”的抽象提供了丰富的感性支撑。

（三）空间想象，探寻规律——攻克“四阶”与“五阶”

活动三：想象四阶正方体（棱4等分）

【思维进阶】教师不再直接发放4阶实物，而是引导学生借助3阶的经验进行推理想象。

师：如果大正方体的棱长被平均分成4份，切开后总共有多少个小方块？学生回答4³=64个。

师：请大家不拆卸，只在头脑中想象，或者利用手中的3阶学具进行类比推理。完成学习任务单上的“4阶探究”部分。

【小组深度研讨】

1、关于三面涂色：学生依据前经验，快速答出顶点处，依然是8个。教师强调：不管棱被分成多少份，只要是一个规则的大正方体，三面涂色的永远只存在于顶点，永远是8个。再次强化不变量。

2、关于两面涂色【难点突破】：出现了分歧，有的组认为是24个，有的组数法不同。

教师引导学生重点讨论：一条棱上，除去两端的顶点（三面涂色），中间剩下几个两面涂色？学生结合图示或想象，发现棱被均分4段，有4个小方块，去掉头尾两个，中间有2个。所以每条棱上有2个两面涂色，12条棱就是12×2=24个。教师顺势板书：两面涂色个数=（每条棱上的方块数-2）×12，即（4-2）×12。

3、关于一面涂色【核心难点】：这往往是学生最容易出错的地方。教师引导学生从关注“棱”转向关注“面”。提问：一面涂色的在哪里？在每个面的“中心区域”。那一个面上，中心区域是个什么形状？通过课件动态展示，剥离出一个面，让学生数一数这个面上除去四周棱上的方块，中间剩下几个一面涂色？学生观察发现，大正方体的一个面被分成了4×4的小网格，去掉外围一圈（即上下两条棱和左右两条棱上的方块），中间剩下的是2×2的一个小正方形，即4个一面涂色的小方块。因为每个面都是如此，所以总数为（4-2）²×6=4×6=24个。

4、关于无色方块【高阶思维】：随着外层方块的剥离，内部的方块构成了一个什么图形？通过空间想象或课件演示，学生发现去掉外面一层涂色的，里面紧紧包裹着一个稍小的正方体。这个正方体的棱长是几段？学生得出是（4-2）段，即2段。所以无色小正方体的个数就是（4-2）³=2³=8个。

活动四：验证五阶正方体（棱5等分）

【自主应用】有了4阶的推导经验，学生自主完成5阶的探究表格。汇报时重点核对：

两面涂色：（5-2）×12=36个；

一面涂色：（5-2）²×6=9×6=54个；

无色：（5-2）³=27个。

通过总块数验证：8+36+54+27=125=5³，从量上验证了分类计数的准确性和完备性。

【设计意图】从3阶到4阶，是思维从直观操作走向空间想象的转折点。通过“去两头，数中间”的策略，学生深刻理解了“减2”的几何意义——减去被更高一级涂色占用的顶点或棱端点。这一环节培养了学生“先看位置，再定个数”的逻辑思维，完成了从特殊到一般的归纳准备。

（四）抽象概括，建构模型——用字母“n”说话

【归纳提升】教师引导学生回顾刚才的所有探究数据（2阶、3阶、4阶、5阶），横向观察比较黑板上的板书。

师：如果用n表示大正方体每条棱被平均分成的份数（n≥2），那么：

1、小正方体总个数是多少？生：n³。

2、三面涂色的个数？生：8个。（板书：8）

3、两面涂色的个数？生：（n-2）×12。（板书）

4、一面涂色的个数？生：（n-2）²×6。（板书）

5、无色小正方体的个数？生：（n-2）³。（板书）

【模型解释】教师追问：为什么所有公式里都有“（n-2）”？这个“2”到底指的是什么？引导学生深入理解：这个“2”代表了每条棱两端的那两个“高一级涂色”的方块。在顶点处，它们被算作三面涂色；在棱上，两端被三面涂色的占用了，剩下的才是两面涂色；在面上，四周一圈被三面、两面涂色的占用了，剩下的才是单面涂色；在体内，外表一层全被占用了，里面缩进去一层，才是无色。

【特别注意】【高频考点】此处的字母模型是本节课的知识精华，也是后续解决一切此类问题的通法。教师要确保每一个学生都能用自己的语言解释公式的含义，并能将抽象的n与具体的图形位置对应起来。

（五）变式拓展，回归生活——应用与挑战

【基础应用】直接套用公式：

一个棱长被平均分成10份的大正方体，表面涂色后切开。

（1）三面涂色有几个？（2）两面涂色有几个？（3）一面涂色有几个？（4）无色有几个？

学生快速计算，巩固模型。

【变式挑战】逆向思维与空间重构：

已知一个表面涂色的大正方体，切开后数得两面涂色的小正方体有60个，请问这个大正方体的每条棱被平均分成了多少份？

这是一个逆向运用公式的问题。学生根据（n-2）×12=60，推出n-2=5，n=7。此题旨在考察学生对模型的理解深度，不仅会正向代入，还能逆向求解。

【高阶拓展】不完全涂色与组合图形（选做）：

如果将一个大正方体的表面涂色，但只涂了5个面（顶面不涂），切开后，三面、两面、一面涂色的个数还会是刚才的规律吗？

这一问题打破了标准模型，引导学生考虑“特例”。学生需要重新分析顶面顶点（只有2面涂色）、上层的棱（涂色面数变化）等，这是对空间观念的极限挑战，可作为课后探究作业，供学有余力的学生钻研。

三、板书设计结构化呈现

正方体涂色面计数探究

一、基本特征二、规律模型（n表示棱均分份数，n≥2）

顶点：8个

棱：12条1、总个数：n³

面：6个

2、三面涂色：8个（顶点处）

3、两面涂色：（n-2）×12（棱中间）

4、一面涂色：（n-2）²×6（面中心）

5、无色：（n-2）³（体内中心）

实例对照：

n=3:8,12,6,1

n=4:8,24,24,8

n=5:8,36,54,27

核心思想：位置决定数量化繁为简数形结合

四、教学反思与实施建议

本节课的设计遵循了“直观—半抽象—抽象”的认知轨迹。在教学实施中需注意以下几点：

1、【非常重要】充分保障操作时间：对于3阶的研究，必须给予充足的时间让学生拆解、分类、计数，这是后续所有推理的“锚点”。切不可为了赶进度而用课件演示代替实物感知。

2、【难点】处理好“n-2”的抽象过程：学生对“减2”的理解是检验是否真正掌握空