统考数学二考题及详细答案

统考数学二考题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。1.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是().(A)[-1/2,3/2](B)[-1/2,1/2](C)[0,1](D)[1/2,1]2.极限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2的值等于().(A)1/2(B)1(C)3/2(D)23.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值是().(A)-8(B)2(C)11(D)134.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则极限lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0-h)]/h等于().(A)2(B)4(C)1(D)05.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(x)>0，则由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S可表示为().(A)∫(atob)|f(x)|dx(B)∫(atob)√f(x)dx(C)∫(atob)f(x)dx(D)-∫(atob)f(x)dx二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。6.曲线y=ln(x^2+1)在点(0,0)处的切线方程为________.7.广义积分∫(1to+∞)(1/x^2)dx的值等于________.8.设函数f(x)满足f'(x)=1/x，且f(1)=1，则f(2)=________.9.设向量a=(1,2,-1)，b=(2,-3,1)，则向量a与b的向量积a×b=________.10.在线性方程组Ax=0中，若A是一个3阶矩阵，且其秩r(A)=1，则该方程组的基础解系所含解向量的个数为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(本小题满分10分)计算不定积分∫x*arctan(x)dx.12.(本小题满分12分)讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的单调性与极值点，并求其最大值和最小值。13.(本小题满分12分)计算定积分∫(0toπ/2)x*cos(x)dx.14.(本小题满分12分)设函数y=y(x)由方程x^2-xy+y^2=1所确定，求微分方程dy/dx的通解。15.(本小题满分10分)求向量a=(1,1,1)与b=(1,0,-1)的夹角θ(用反三角函数表示)。16.(本小题满分12分)设A是一个2阶矩阵，其行列式|A|=-2，且满足A^*(A的伴随矩阵)=(1/2)*[(3*I-A)*A]，其中I是2阶单位矩阵。求矩阵A的逆矩阵A^(-1)。试卷答案一、单项选择题：1.(C)2.(C)3.(D)4.(B)5.(C)二、填空题：6.y=x7.18.ln29.(-5,3,-7)10.2三、解答题：11.解：∫x*arctan(x)dx=(1/2)*∫arctan(x)d(x^2)=(1/2)*[x^2*arctan(x)-∫x^2*(1/(1+x^2))dx]=(1/2)*[x^2*arctan(x)-∫(1-1/(1+x^2))dx]=(1/2)*[x^2*arctan(x)-x+arctan(x)]+C=(1/2)*x^2*arctan(x)-(1/2)*x+(1/2)*arctan(x)+C12.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)令f'(x)=0，得x1=0,x2=2。列表：|x|(-∞,0)|0|(0,2)|2|(2,+∞)||--|||--||--||f'(x)|+|0|-|0|+||f(x)|↗|极大|↘|极小|↗|单调增区间：(−∞,0),(2,+∞)单调减区间：(0,2)极大值点：x=0，极大值f(0)=2极小值点：x=2，极小值f(2)=-4+2*4+2=2在端点处：f(-2)=-8-12+2=-14,f(3)=27-27+2=2比较得：最大值为max{2,2,2,-14}=2，最小值为min{-14,2}=-14。最大值：2，最小值：-14。13.解：∫(0toπ/2)x*cos(x)dx=[x*sin(x)]_(0toπ/2)-∫(0toπ/2)sin(x)dx=(π/2*sin(π/2)-0*sin(0))-[-cos(x)]_(0toπ/2)=(π/2*1-0)-[-cos(π/2)-(-cos(0))]=π/2-[0-(-1)]=π/2-114.解：方程x^2-xy+y^2=1对x求导，得2x-y-x*(dy/dx)+2y*(dy/dx)=0(2y-x)*(dy/dx)=y-2x(dy/dx)=(y-2x)/(2y-x)微分方程dy/dx=(y-2x)/(2y-x)的通解：令z=y/x，则y=zx，dy/dx=z+x*(dz/dx)代入方程：(z+x*(dz/dx))*(2z-1)=z2z^2-z+2x*(dz/dx)*z-x*(dz/dx)=z2x*(dz/dx)*z-x*(dz/dx)=z-2z^2+zx*(dz/dx)*(2z-1)=3z-2z^2(dz/dx)=(3z-2z^2)/[x*(2z-1)]分离变量：(2z-1)/(3z-2z^2)dz=1/xdx(2z-1)/[z(3-2z)]dz=1/xdx1/3*[(1/z)+2/(3-2z)-2/(3z)]dz=1/xdx1/3*[ln|z|-ln|3-2z|-2ln|z|]+C1=ln|x|+C21/3*[-ln|3-2z|-ln|z|^2]+C1=ln|x|+C2-ln|3-2z|-ln|z|^2=3ln|x|+C(令C=3C2-3C1)-ln|(3-2z)*z^2|=ln|x^3|+Cln|(3-2z)*z^2|=-ln|x^3|-Cln|(3-2z)*z^2|=ln|1/(x^3*e^C)|(3-2z)*z^2=C'/x^3(令C'=1/e^C)代回z=y/x，得(3-2y/x)*(y/x)^2=C'/x^3(3x^2-2y)*y^2=C'即y^2*(3x^2-2y)=C'或3x^2*y^2-2y^3=C'15.解：cosθ=(a·b)/(||a|*||b|)a·b=1*1+1*0+1*(-1)=0||a|=√(1^2+1^2+(-1)^2)=√3||b|=√(1^2+0^2+(-1)^2)=√2cosθ=0/(√3*√2)=0θ=arccos(0)=π/216.解：由A^*=(1/2)*[(3*I-A)*A]及A^*=|A|*A^(-1)，得|A|*A^(-1)=(1/2)*|3*I-A|*|A|*A^(-1)|A|*A^(-1)=(1/2)*|3*I|*|A|*A^(-1)(因为|3*I-A|=3^2*|I-(A/3)|=9*|I-(A/3)|，但这里直接用|3*I|=3^2=9)|A|*A^(-1)=(1/2)*9*|A|*A^(-1)|A|*A^(-1)=(9/2)*|A|*A^(-1)由于|A|=-2≠0，两边除以|A|*A^(-1)，得1=9/2此等式不成立，说明题设条件有误，或矩阵A不可逆。若按题目要求求逆，需假设此矛盾条件不存在或修正题目。假设题目有误，但按标准求逆步骤：由A^*=(1/2)*[(3*I-A)*A]2A^*=(3*I-A)*A2|A|*A^(-1)=|3*I-A|*|A|-4*A^(-1)=9*|A|*A^(-1)(因为|3*I-A|=9*|I-(A/3)|=9*1=9)-4*A^(-1)=9*(-2)*A^(-1)-4*A^(-1)=-18*A^(-1)14*A^(-1)=0A^(-1)=0此结果显然不合理。通常此类题目会设计成可求逆，例如|3*I-A|=6，则-4*A^(-1)=6*(-2)*A