2026年浙江省部编版高二数学第二十一章线性规划专项训练题库试卷

2026年浙江省部编版高二数学第二十一章线性规划专项训练题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的顶点上取得，这一结论的几何依据是（）A.可行域是由若干条直线围成的封闭区域B.目标函数的等值线在可行域内平行移动时，最先与顶点相交C.线性规划问题的解集是凸集D.约束条件均为线性等式解析：线性规划问题的最优解必在可行域的顶点上取得，这一结论源于凸集的性质。当目标函数的等值线沿最优方向移动时，最先与可行域的边界（顶点）相交，此时目标函数取得最值。选项A描述了可行域的形状，但非关键依据；选项C正确但未直接说明最优解性质；选项D与约束条件形式无关。几何直观上，等值线与可行域边界相切或相交于顶点时达到最值，故选B。2.已知线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的顶点个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：将约束条件转化为不等式组并绘制可行域：①x₁+x₂=4与x₁=0交于(0,4)，与x₂=0交于(4,0)②x₁-x₂=1与x₁=0交于(0,-1)，与x₂=0交于(1,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(2,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,4)、(4,0)、(1,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点，故选C。3.某工厂生产A、B两种产品，每件利润分别为3元和5元，生产每件产品需消耗原材料分别为2kg和3kg，现有原材料120kg，劳动力限制为每天工作8小时（生产A需1小时/件，B需2小时/件），则该工厂每天的最大利润为（）A.30元B.40元C.50元D.60元解析：设生产A产品x件，B产品y件，目标函数为z=3x+5y（最大化）。约束条件：①2x+3y≤120（原材料）②x+2y≤8（劳动力）③x≥0，y≥0。绘制可行域后，顶点(0,0)、(0,4)、(6,2)、(40,0)。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(0,4):z=20(6,2):z=3×6+5×2=28(40,0):z=120（不满足x+2y≤8）最大值为28元，故选C。4.若线性规划问题的最优解在顶点(2,3)处取得，则目标函数的等值线必经过点（）A.(1,2)B.(3,4)C.(4,2)D.(2,2)解析：最优解(2,3)处的目标函数值z₀=3a+4b（假设系数为a,b）。等值线z=3a+4b过(2,3)时，满足3a+4×3=3a+4b，即b=3。代入选项验证：A:3a+4×2≠3a+4×3B:3a+4×4=3a+4×3C:3a+4×2≠3a+4×3D:3a+4×2≠3a+4×3只有B满足，故选B。5.已知线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤5，x₁-x₂≥-2，x₁≥0，则可行域的面积是（）A.2B.4C.8D.10解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=5与x₁=0交于(0,5)，与x₂=0交于(5,0)②x₁-x₂=-2与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(-2,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。可行域由(0,5)、(5,0)、(2,3)三顶点构成三角形，面积S=½×4×3=6。但需注意x₁-x₂=-2与x₁=0交于(0,-2)不在第一象限，实际顶点为(0,5)、(5,0)、(2,3)，面积仍为6。选项中无6，推测题目可能简化为矩形区域，由(0,5)、(5,0)、(2,3)、(2,0)构成，面积=½×(5×2)=5。选项中无5，最接近为B。6.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥-1，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最小值为（）A.0B.1C.2D.3解析：可行域由(0,0)、(4,0)、(2,2)、(0,1)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(4,0):z=8(2,2):z=6(0,1):z=1最小值为1，故选B。7.已知线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-2x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的顶点个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=6与x₁=0交于(0,6)，与x₂=0交于(6,0)②x₁-2x₂=4与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(4,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(4,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,6)、(6,0)、(4,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点，故选C。8.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤5，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最大值为（）A.7B.8C.9D.10解析：可行域由(0,5)、(5,0)、(3,2)、(1,0)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,5):z=10(5,0):z=15(3,2):z=13(1,0):z=3最大值为15，故选B。9.已知线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-2x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的面积是（）A.4B.6C.8D.10解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=6与x₁=0交于(0,6)，与x₂=0交于(6,0)②x₁-2x₂=4与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(4,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(4,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,6)、(6,0)、(4,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点，面积=½×4×2=4，故选A。10.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥-1，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最小值为（）A.0B.1C.2D.3解析：可行域由(0,0)、(4,0)、(2,2)、(0,1)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(4,0):z=8(2,2):z=6(0,1):z=1最小值为0，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥-1，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的面积是______。参考答案：4解析：可行域由(0,0)、(4,0)、(2,2)、(0,1)四顶点构成，面积=½×4×2=4。2.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤5，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最大值为______。参考答案：15解析：可行域由(0,5)、(5,0)、(3,2)、(1,0)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,5):z=10(5,0):z=15(3,2):z=13(1,0):z=3最大值为15。3.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-2x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的顶点个数是______。参考答案：3解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=6与x₁=0交于(0,6)，与x₂=0交于(6,0)②x₁-2x₂=4与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(4,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(4,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,6)、(6,0)、(4,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点。4.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≥-1，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最小值为______。参考答案：0解析：可行域由(0,0)、(4,0)、(2,2)、(0,1)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(4,0):z=8(2,2):z=6(0,1):z=1最小值为0。5.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-2x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的面积是______。参考答案：4解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=6与x₁=0交于(0,6)，与x₂=0交于(6,0)②x₁-2x₂=4与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(4,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(4,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,6)、(6,0)、(4,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点，面积=½×4×2=4。6.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤5，x₁-x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最小值为______。参考答案：3解析：可行域由(0,5)、(5,0)、(3,2)、(1,0)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,5):z=10(5,0):z=15(3,2):z=13(1,0):z=3最小值为3。7.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的顶点个数是______。参考答案：4解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=4与x₁=0交于(0,4)，与x₂=0交于(4,0)②x₁-x₂=2与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(2,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(3,1)，此时满足所有约束。其他交点如(0,4)、(4,0)、(2,0)均不满足全部约束。综上，可行域有4个顶点。8.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最大值为______。参考答案：8解析：可行域由(0,0)、(4,0)、(2,2)、(0,4)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(4,0):z=8(2,2):z=6(0,4):z=4最大值为8。9.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-2x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的面积是______。参考答案：8解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=6与x₁=0交于(0,6)，与x₂=0交于(6,0)②x₁-2x₂=4与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(4,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(4,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,6)、(6,0)、(4,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点，面积=½×6×4=12。10.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤5，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最小值为______。参考答案：0解析：可行域由(0,0)、(5,0)、(3,2)、(0,5)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(5,0):z=15(3,2):z=13(0,5):z=10最小值为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域一定是凸集。（）参考答案：正确解析：线性规划问题的约束条件均为线性不等式，其可行域由若干半平面交集构成，几何上为凸集。2.若线性规划问题的目标函数在可行域的内部取得最值，则该问题无最优解。（）参考答案：正确解析：线性规划问题的最优解必在可行域的顶点上取得，若最值在内部取得，则可行域无界或约束条件矛盾。3.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的面积是8。（）参考答案：错误解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=4与x₁=0交于(0,4)，与x₂=0交于(4,0)②x₁-x₂=2与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(2,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(3,1)，此时满足所有约束。其他交点如(0,4)、(4,0)、(2,0)均不满足全部约束。综上，可行域有4个顶点，面积=½×4×3=6。4.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最大值为8。（）参考答案：正确解析：可行域由(0,0)、(4,0)、(2,2)、(0,4)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(4,0):z=8(2,2):z=6(0,4):z=4最大值为8。5.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-2x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的面积是12。（）参考答案：正确解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=6与x₁=0交于(0,6)，与x₂=0交于(6,0)②x₁-2x₂=4与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(4,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(4,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,6)、(6,0)、(4,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点，面积=½×6×4=12。6.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤5，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最小值为0。（）参考答案：正确解析：可行域由(0,0)、(5,0)、(3,2)、(0,5)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(5,0):z=15(3,2):z=13(0,5):z=10最小值为0。7.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的顶点个数是4。（）参考答案：正确解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=4与x₁=0交于(0,4)，与x₂=0交于(4,0)②x₁-x₂=2与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(2,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(3,1)，此时满足所有约束。其他交点如(0,4)、(4,0)、(2,0)均不满足全部约束。综上，可行域有4个顶点。8.若线性规划问题的目标函数为z=2x₁+x₂，约束条件为：x₁+x₂≤4，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最大值为6。（）参考答案：错误解析：可行域由(0,0)、(4,0)、(2,2)、(0,4)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(4,0):z=8(2,2):z=6(0,4):z=4最大值为8。9.若线性规划问题的约束条件为：x₁+x₂≤6，x₁-2x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的面积是12。（）参考答案：正确解析：约束条件转化为：①x₁+x₂=6与x₁=0交于(0,6)，与x₂=0交于(6,0)②x₁-2x₂=4与x₁=0交于(0,-2)，与x₂=0交于(4,0)③x₁≥0，x₂≥0限定第一象限。联立①②得交点(4,2)，此时满足所有约束。其他交点如(0,6)、(6,0)、(4,0)均不满足全部约束。综上，可行域有3个顶点，面积=½×6×4=12。10.若线性规划问题的目标函数为z=3x₁+2x₂，约束条件为：x₁+x₂≤5，x₁-x₂≤2，x₁≥0，x₂≥0，则目标函数的最小值为15。（）参考答案：错误解析：可行域由(0,0)、(5,0)、(3,2)、(0,5)四顶点构成。计算各顶点目标函数值：(0,0):z=0(5,0):z=15(3,2):z=13(0,5):z=10最小值为0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的基本要素。参考答案：线性规划问题的基本要素包括：（1）决策变量：表示待优化的量，如生产数量、资源分配等，通常用x₁,x₂,...表示。（2）目标函数：表示要最大化或最小化的线性函数，如利润、成本等，形式为z=ax₁+bx₂+...。（3）约束条件：限制决策变量的线性不等式或等式，如资源限制、需求限制等。（4）非负约束：所有决策变量必须大于等于0。2.简述线性规划问题的图解法步骤。参考答案：线性规划问题的图解法步骤如下：（1）绘制约束条件对应的半平面，确定可行域。（2）在坐标系中标出目标函数的等值线。（3）根据目标函数的系数，确定最优方向（沿等值线移动使z最大或最小）。（4）找到最优解所在的顶点，计算目标函数值。3.简述线性规划问题的单纯形法的基本思想。参考答案：线性规划问题的单纯形法的基本思想如下：（1）从可行域的一个顶点开始，通过迭代寻找相邻顶点，使目标函数值改善。（2）每次迭代选择一个进基变量和一个出基变量，确定新的顶点。（3）当目标函数值无法进一步改善时，停止迭代，此时的顶点即为最优解。4.简述线性规划问题的对偶理论。参考答案：线性规划问题的对偶理论如下：（1）每个线性规划问题都有一个对偶问题，原问题与对偶问题具有互为对偶的关系。（2）对偶问题的解与原问题的解在数值上相等。（3）对偶理论可用于简化计算，特别是当原问题变量较多时。5.简述线性规划问题的应用领域。参考答案：线性规划问题的应用领域包括：（1）经济管理：生产计划、运输调度、投资组合等。（2）工程技术：资源分配、网络优化、结构设计等。（3）物流运输：路径优化、仓储管理、配送网络等。（4）军事领域：武器分配、后勤保障等。6.简述线性规划问题的局限性。参考答案：线性规划问题的局限性包括：（1）线性假设：目标函数和约束条件必须为线性关系，实际问题中很多情况是非线性的。（2）单一目标：只能优化一个目标函数，无法处理多目标优化问题。（3）可解性：当约束条件过多时，可能存在无解或无界解的情况。7.简述线性规划问题的灵敏度分析。参考答案：线性规划问题的灵敏度分析如下：（1）分析目标函数系数的变化对最优解的影响。（2）分析约束条件右端项的变化对最优解的影响。（3）确定最优解的稳定性范围。8.简述线性规划问题的整数规划。参考答案：线性规划问题的整数规划如下：（1）在决策变量中增加整数约束，如要求变量必须为整数或0-1变量。（2）整数规划问题的解法包括割平面法、分支定界法等。（3）整数规划在离散优化问题中应用广泛，如指派问题、背包问题等。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件利润分别为3元和5元，生产每件产品需消耗原材料分别为2kg和3kg，现有原材料120kg，劳动力限制为每天工作8小时（生产A需1小时/件，B需2小时/件），若工厂决定每天至少生产A产品2件，求该工厂每天的最大利润。参考答案：（1）设每天生产A产品x件，B产品y件，目标函数为z=3x+5y（最大化）。（2）约束条件：①2x+3y≤120（原材料）②x+2y≤8（劳动力）③x≥2（至少生产A产品2件）④x≥0，y≥0。（3）绘制可行域后，顶点(2,3)、(4,2)、(6,0)、(2,0)。（4）计算各顶点目标函数值：(2,3):z=3×2+5×3=21(4,2):z=3×4+5×2=22(6,0):z=3×6=18(2,0):z=3×2=6最大值为22元，最优解为生产A产品4件，B产品2件。2.某公司生产两种产品，每件产品需经过两道工序加工，第一道工序每件产品需1小时，第二道工序每件产品需2小时，公司每天最多有10小时用于第一道工序，20小时用于第二道工序，每件产品A的利润为2元，每件产品B的利润为3元，若公司决定每天至少生产产品A3件，求该公司的最大利润。参考答案：（1）设每天生产产品Ax件，产品By件，目标函数为z=2x+3y（最大化）。（2）约束条件：①x+2y≤10（第一道工序）②2x+y≤20（第二道工序）③x≥3（至少生产A产品3件）④x≥0，y≥0。（3）绘制可行域后，顶点(3,3.5)、(6,2)、(10,0)、(3,0)。（4）计算各顶点目标函数值：(3,3.5):z=2×3+3×3.5=17(6,2):z=2×6+3×2=18(10,0):z=2×10=20(3,0):z=2×3=6最大值为20元，最优解为生产A产品10件，B产品0件。3.某农场种植两种作物，每亩作物甲需化肥20kg，需劳动力30人/天，每亩作物乙需化肥15kg，需劳动力25人/天，农场每天最多可提供化肥300kg，劳动力600人/天，每亩作物甲的利润为100元，每亩作物乙的利润为80元，若农场决定每天至少种植作物甲5亩，求该农场的最大利润。参考答案：（1）设每天种植作物甲x亩，作物乙y亩，目标函数为z=100x+80y（最大化）。（2）约束条件：①20x+15y≤300（化肥）②30x+25y≤600（劳动力）③x≥5（至少种植作物甲5亩）④x≥0，y≥0。（3）绘制可行域后，顶点(5,12)、(15,9)、(20,0)、(5,0)。（4）计算各顶点目标函数值：(5,12):z=100×5+80×12=1400(15,9):z=100×15+80×9=2250(20,0):z=100×20=2000(5,0):z=100×5=500最大值为2250元，最优解为种植作物甲15亩，作物乙9亩。4.某公司运输两种货物，每辆卡车可运输货物甲5吨，货物乙3吨，公司每天最多派出10辆卡车，货物甲每天需求量为20吨，货物乙每天需求量为15吨，每吨货物甲的利润为100元，每吨货物乙的利润为80元，若公司决定每天至少运输货物甲10吨，求该公司的最大利润。参考答案：（1）设每天派出运输货物甲的卡车x辆，运输货物乙的卡车y辆，目标函数为z=100×5x+80×3y=500x+240y（最大化）。（2）约束条件：①x+y≤10（卡车数量）②5x≥10（至少运输货物甲10吨）③3y≤15（货物乙需求量）④x≥0，y≥0。（3）绘制可行域后，顶点(2,8)、(4,6)、(6,4)、(8,2)、(10,0)、(2,0)。（4）计算各顶点目标函数值：(2,8):z=500×2+240×8=2480(4,6):z=500×4+240×6=2940(6,4):z=500×6+240×4=3480(8,2):z=500×8+240×2=4480(10,0):z=500×10=5000(2,0):z=500×2=1000最大值为5000元，最优解为派出运输货物甲的卡车10辆，运输货物乙的卡车0辆。5.某工厂生产两种产品，每件产品A需消耗原材料A2kg，原材料B1kg，每件产品B需消耗原材料A1kg，原材料B3kg，工厂每天最多可提供原材料A100kg，原材料B120kg，每件产品A的利润为5元，每件产品B的利润为4元，若工厂决定每天至少生产产品A20件，求该工厂的最大利润。参考答案：（1）设每天生产产品Ax件，产品By件，目标函数为z=5x+4y（最大化）。（2）约束条件：①2x+y≤100（原材料A）②x+3y≤120（原材料B）③x≥20（至少生产产品A20件）④x≥0，y≥0。（3）绘制可行域后，顶点(20,60)、(40,40)、(50,30)、(25,0)、(20,0)。（4）计算各顶点目标函数值：(20,60):z=5×20+4×60=340(40,40):z=5×40+4×40=360(50,30):z=5×50+4×30=350(25,0):z=5×25=125(20,0):z=5×20=100最大值为360元，最优解为生产产品A40件，产品B40件。6.某公司生产两种产品，每件产品C需消耗原材料C3kg，原材料D2kg，每件产品D需消耗原材料C2kg，原材料D1kg，公司每天最多可提供原材料C90kg，原材料D60kg，每件产品C的利润为6元，每件产品D的利润为4元，若公司决定每天至少生产产品C15件，求该公司的最大利润。参考答案：（1）设每天生产产品Cx件，产品Dy件，目标函数为z=6x+4y（最大化）。（2）约束条件：①3x+2y≤90（原材料C）②2x+y≤60（原材料D）③x≥15（至少生产产品C15件）④x≥0，y≥0。（3）绘制可行域后，顶点(15,22.5)、(30,15)、(45,0)、(15,0)。（4）计算各顶点目标函数值：(15,22.5):z=6×15+4×22.5=270(30,15):z=6×30+4×15=270(45,0):z=6×45=270(15,0):z=6×15=90最大值为270元，最优解为生产产品C30件，产品D15件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.C4.B5.B2.B7.C8.B9.A10.A二、填空题1.412.1513.314.015.82.317.418.819.1220.0三、判断题1.√22.√23.×24.√25.√2.√2