2026年浙江省部编版高一数学第七十一章排列组合同步练习题试卷

2026年浙江省部编版高一数学第七十一章排列组合同步练习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有（）种。A.60B.100C.120D.180解析：本题考查组合的混合问题。至少包含1名女生的选法可分为三类：1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生。分别计算：C(4,1)×C(5,2)=4×10=40，C(4,2)×C(5,1)=6×5=30，C(4,3)=4。总数为40+30+4=74种。选项D错误，正确答案为C。2.用5种不同的颜色给一个正方体的6个面染色，要求相邻面颜色不同，且正方体的两个对面必须同色，则不同的染色方案共有（）种。A.30B.60C.120D.240解析：本题考查排列组合的综合应用。先选定3对对面同色，有C(5,3)=10种选法。对于每对对面，有2种染色方式（如红-红、蓝-蓝），共2×2×2=8种。故总数为10×8=80种。选项A、B、C均错误，正确答案为D。3.某班级有男生20名，女生15名，现要组成一个10人的篮球队，要求男女人数比例至少为3:2，则不同的组队方案共有（）种。A.8400B.12600C.16800D.25200解析：根据男女人数比例至少为3:2，可分三种情况：7男3女、6男4女、5男5女。分别计算：C(20,7)×C(15,3)=77×455=34985，C(20,6)×C(15,4)=38760×1365=52962400，C(20,5)×C(15,5)=15504×3003=46676112。总数为34985+52962400+46676112=99692097种。选项均错误，正确答案为D。4.有6名同学排成一排，其中甲、乙两人不能相邻，则不同的排法共有（）种。A.240B.360C.480D.720解析：先排其他4人，有4!=24种。4人排好后形成5个空位，插入甲、乙两人有P(5,2)=20种。总数为24×20=480种。选项A、B、C错误，正确答案为D。5.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是偶数的概率为（）。A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2解析：总情况数为C(9,3)×3!=840。其中偶数情况：个位为2、4、6、8，有4×C(8,2)=112种。概率为112/840=1/7.5≈1/6。选项A正确。6.用6根火柴棒首尾相接拼成三角形（边长为整数），则能拼成的不同三角形的个数是（）个。A.3B.4C.5D.6解析：设三边为a、b、c，满足a+b>c。枚举：边长为1时，(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,1,4)、(1,1,5)、(1,1,6)共6种；边长为2时，(2,2,2)、(2,2,3)、(2,2,4)、(2,2,5)、(2,2,6)共5种；边长为3时，(3,3,3)、(3,3,4)、(3,3,5)、(3,3,6)共4种；边长为4时，(4,4,4)、(4,4,5)、(4,4,6)共3种；边长为5时，(5,5,5)、(5,5,6)共2种；边长为6时，(6,6,6)共1种。总数为6+5+4+3+2+1=21种。选项均错误，正确答案为D。7.某校举行数学竞赛，共有5道选择题，每题答对得3分，答错扣1分，不答得0分。某同学若要获得不低于10分的成绩，则他至少需要答对（）道题。A.3B.4C.5D.6解析：设答对x道题，答错y道题，不答z道题，满足x+y+z=5。得分S=3x-y。要使S≥10，即3x-y≥10。当x=3时，y≤-1无解；x=4时，y≤-2无解；x=5时，y≤-3无解；x=6时，y≤-4无解。但最多答5题，故x=5时，y=0，S=15。选项C正确。8.从甲地到乙地有3条直达公路，从乙地到丙地有2条直达公路，从甲地经乙地到丙地，且经过不同的公路，则不同的走法共有（）种。A.5B.6C.8D.9解析：从甲到乙有3种，从乙到丙有2种，且必须经过不同的公路。分两种情况：①甲到乙走1条，乙到丙走另一条，共3×1=3种；②甲到乙走2条，乙到丙走另一条，共3×1=3种。总数为3+3=6种。选项B正确。9.有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，要求每人至少得1本，则不同的分法共有（）种。A.60B.90C.120D.180解析：先分组再分配。将5本书分成三组：1、1、3；1、2、2。分组数分别为C(5,1)×C(4,1)×C(3,3)/3!+C(5,1)×C(4,2)/2!=10+10=20。分配方法为P(3,3)=6。总数为20×6=120种。选项D错误，正确答案为C。10.在一个不透明的袋中装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次从中随机取出1个小球，取出的球不放回，则第二次取出的球标号比第一次取出的球标号大的概率为（）。A.1/4B.1/3C.1/2D.2/5解析：总情况数为5×4=20。满足第二次标号大于第一次的情况：取1后可取2-5，共4种；取2后可取3-5，共3种；取3后可取4-5，共2种；取4后可取5，共1种；取5后无，共0种。总数为4+3+2+1=10。概率为10/20=1/2。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A×B中元素个数为______。解析：A×B表示A中元素为第一坐标，B中元素为第二坐标的有序对集合。共有4×4=16个元素。参考答案：16。2.用5种不同的颜色给一个正方体的5个面染色，要求相邻面颜色不同，且正方体的3组对面颜色各不相同，则不同的染色方案共有______种。解析：先选定3组对面颜色，有C(5,3)=10种。每组对面有2种染色方式，共2×2×2=8种。总数为10×8=80种。参考答案：80。3.从6名男生和4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有______种。解析：至少2名女生可分为2女2男、3女1男、4女。分别计算：C(4,2)×C(6,2)=90，C(4,3)×C(6,1)=80，C(4,4)=1。总数为90+80+1=171种。参考答案：171。4.有6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排法共有______种。解析：将甲、乙视为一个整体，与其他4人共5个元素排列，有5!=120种。甲、乙内部有2!=2种。总数为120×2=240种。参考答案：240。5.从1到10这10个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是奇数的概率为______。解析：总情况数为C(10,3)×3!=720。其中奇数情况：个位为1、3、5、7、9，有5×C(8,2)=140种。概率为140/720=7/36≈0.194。参考答案：7/36。6.用6根火柴棒首尾相接拼成四边形（边长为整数），则能拼成的不同四边形的个数是______个。解析：设四边形边长为a、b、c、d，满足a+b+c+d=6。枚举：6=1+1+1+3，5=1+1+2+2，4=1+1+3+1，4=1+2+2+1，3=1+2+3，3=2+2+2。共6种。参考答案：6。7.有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，要求每人至少得1本，则甲恰好得2本的不同分法共有______种。解析：先从5本书中选2本给甲，有C(5,2)=10种。剩余3本分给乙、丙，每人至少1本，有C(3,1)×C(2,1)=6种。总数为10×6=60种。参考答案：60。8.在一个不透明的袋中装有标号为1、2、3、4的4个小球，每次从中随机取出1个小球，取出的球不放回，则第三次取出的球标号为1的概率为______。解析：总情况数为4×3×2=24。第三次取到1的情况：前两次不能取1，有3×2=6种。概率为6/24=1/4。参考答案：1/4。9.从甲地到乙地有2条火车线路，从乙地到丙地有3条火车线路，从丙地到丁地有2条火车线路，则从甲地经乙地到丙地，再经丙地到丁地，且经过不同的火车线路，则不同的走法共有______种。解析：从甲到乙有2种，从乙到丙有3种，从丙到丁有2种，且必须经过不同线路。分两种情况：①甲到乙走1条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共2×2=4种；②甲到乙走2条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共1×1=1种。总数为4+1=5种。参考答案：5。10.有5名男生和4名女生，要排成一排，要求男生和女生必须相间排列，则不同的排法共有______种。解析：先排男生，有5!=120种。再排女生，有4!=24种。共有120×24=2880种。参考答案：2880。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则选出3名男生的概率与选出2名男生1名女生的概率相等。（）解析：选出3名男生的概率为C(6,3)/C(10,3)=20/120=1/6。选出2名男生1名女生的概率为C(6,2)×C(4,1)/C(10,3)=60/120=1/2。概率不相等，错误。参考答案：×。2.用6根火柴棒首尾相接拼成一个五边形，则能拼成的不同五边形的个数是5个。（）解析：设五边形边长为a、b、c、d、e，满足a+b+c+d+e=6。枚举：6=1+1+1+1+2，5=1+1+1+2+1，5=1+1+2+1+1，5=2+1+1+1+1，4=1+1+2+2，4=1+2+1+2，4=2+1+1+2，4=2+2+1+1，3=1+2+3，3=2+2+2。共10种。参考答案：×。3.有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，要求每人至少得1本，则甲恰好得2本的不同分法共有60种。（）解析：同填空题17，答案正确。参考答案：√。4.从甲地到乙地有3条火车线路，从乙地到丙地有2条火车线路，从甲地经乙地到丙地，且经过不同的火车线路，则不同的走法共有6种。（）解析：同填空题9，答案错误。参考答案：×。5.在一个不透明的袋中装有标号为1、2、3的3个小球，每次从中随机取出1个小球，取出的球不放回，则第二次取出的球标号比第一次取出的球标号大的概率为1/2。（）解析：总情况数为3×2=6。满足第二次标号大于第一次的情况：取1后可取2，取2后可取3，共3种。概率为3/6=1/2。参考答案：√。6.有6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排法共有720种。（）解析：同填空题14，答案错误。参考答案：×。7.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是偶数的概率为1/2。（）解析：同填空题10，答案正确。参考答案：√。8.用5种不同的颜色给一个正方体的5个面染色，要求相邻面颜色不同，且正方体的3组对面颜色各不相同，则不同的染色方案共有80种。（）解析：同填空题12，答案正确。参考答案：√。9.有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，要求每人至少得1本，则不同的分法共有120种。（）解析：同填空题9，答案错误。参考答案：×。10.从6名男生和4名女生中选出4人参加座谈会，要求至少包含2名女生，则不同的选法共有171种。（）解析：同填空题13，答案正确。参考答案：√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出从集合A={1,2,3}和B={a,b}中任取一个元素组成有序对的集合。解析：有序对集合为{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}。2.解释什么是排列，并举例说明。解析：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列成一列。例如，从A、B、C三个元素中取出2个元素排列，有AB、AC、BA、BC、CA、CB共6种。3.解释什么是组合，并举例说明。解析：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不管顺序组成一组。例如，从A、B、C三个元素中取出2个元素组合，有AB、AC、BC共3种。4.说明排列数P(n,m)与组合数C(n,m)之间的关系。解析：P(n,m)=C(n,m)×m!。即排列数等于组合数乘以取出的元素的全排列数。5.解释什么是加法原理和乘法原理，并分别举例说明。解析：加法原理：如果完成一件事有k种不同的方法，每种方法都包含n1种情况，那么完成这件事共有n1+n2+...+nk种情况。例如，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地共有2+3=5条路。乘法原理：如果完成一件事需要k个步骤，第1步有n1种情况，第2步有n2种情况，...，第k步有nk种情况，那么完成这件事共有n1×n2×...×nk种情况。例如，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地共有2×3=6条路。6.说明什么情况下需要使用排列，什么情况下需要使用组合。解析：需要考虑顺序时使用排列，不需要考虑顺序时使用组合。例如，选代表是排列，选一组人组成团队是组合。7.解释什么是鸽巢原理，并举例说明。解析：鸽巢原理是指如果有n个鸽巢和m只鸽子，且m>n，那么至少有一个鸽巢中至少有⌈m/n⌉只鸽子。例如，10个学生参加考试，只有9个座位，那么至少有一个座位至少有2个学生坐。8.解释什么是二项式定理，并写出其展开式。解析：二项式定理是指(a+b)^n的展开式为C(n,0)a^n+b^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,n)a^0b^n。例如，(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某学校举行数学竞赛，共有5道选择题，每题答对得3分，答错扣1分，不答得0分。某同学若要获得不低于10分的成绩，且不答任何题，则他至少需要答对多少道题？解析：设答对x道题，答错y道题，不答z道题，满足x+y+z=5。得分S=3x-y。要使S≥10，且z=0，即3x-y≥10。当x=3时，y≤-1无解；x=4时，y≤-2无解；x=5时，y≤-3无解。但最多答5题，故x=5时，y=0，S=15。至少需要答对5道题。2.有6名男生和4名女生，要排成一排，要求男生和女生必须相间排列，则不同的排法共有多少种？解析：先排男生，有6!=720种。再排女生，有4!=24种。共有720×24=17280种。3.从甲地到乙地有3条火车线路，从乙地到丙地有2条火车线路，从丙地到丁地有2条火车线路，则从甲地经乙地到丙地，再经丙地到丁地，且经过不同的火车线路，则不同的走法共有多少种？解析：从甲到乙有3种，从乙到丙有2种，从丙到丁有2种，且必须经过不同线路。分两种情况：①甲到乙走1条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共3×2=6种；②甲到乙走2条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共1×1=1种。总数为6+1=7种。4.有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，要求每人至少得1本，则甲恰好得2本的不同分法共有多少种？解析：先从5本书中选2本给甲，有C(5,2)=10种。剩余3本分给乙、丙，每人至少1本，有C(3,1)×C(2,1)=6种。总数为10×6=60种。5.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是偶数的概率为多少？解析：总情况数为C(9,3)×3!=720。其中偶数情况：个位为2、4、6、8，有4×C(8,2)=140种。概率为140/720=7/36≈0.194。6.有6名同学排成一排，其中甲、乙两人不能相邻，则不同的排法共有多少种？解析：先排其他4人，有4!=24种。4人排好后形成5个空位，插入甲、乙两人有P(5,2)=20种。总数为24×20=480种。7.用6根火柴棒首尾相接拼成一个四边形，则能拼成的不同四边形的个数是几个？解析：设四边形边长为a、b、c、d，满足a+b+c+d=6。枚举：6=1+1+1+3，5=1+1+2+2，4=1+1+3+1，4=1+2+2+1，3=1+2+3，3=2+2+2。共6种。8.在一个不透明的袋中装有标号为1、2、3、4的4个小球，每次从中随机取出1个小球，取出的球不放回，则第三次取出的球标号为1的概率为多少？解析：总情况数为4×3×2=24。第三次取到1的情况：前两次不能取1，有3×2=6种。概率为6/24=1/4。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.D3.D4.D5.A6.B7.C8.B9.C10.C解析：1.至少1名女生可分为三类：1女2男、2女1男、3女。分别计算：C(4,1)×C(5,2)+C(4,2)×C(5,1)+C(4,3)=40+30+4=74。2.正方体3组对面同色，有C(5,3)=10种选法。每组对面有2种染色方式，共2×2×2=8种。总数10×8=80。3.男女人数比例至少为3:2，分三类：7男3女、6男4女、5男5女。分别计算：C(20,7)×C(15,3)+C(20,6)×C(15,4)+C(20,5)×C(15,5)=34985+52962400+46676112=99692097。4.甲乙不相邻：先排其他4人4!=24，4人排好后形成5个空位，插入甲乙P(5,2)=20。总数24×20=480。5.总情况C(9,3)×3!=840。偶数情况：个位为2、4、6、8，有4×C(8,2)=140种。概率140/840=1/6。6.边长为1时，(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,1,4)、(1,1,5)、(1,1,6)共6种；边长为2时，(2,2,2)、(2,2,3)、(2,2,4)、(2,2,5)、(2,2,6)共5种；边长为3时，(3,3,3)、(3,3,4)、(3,3,5)、(3,3,6)共4种；边长为4时，(4,4,4)、(4,4,5)、(4,4,6)共3种；边长为5时，(5,5,5)、(5,5,6)共2种；边长为6时，(6,6,6)共1种。总数6+5+4+3+2+1=21。7.设答对x道题，答错y道题，不答z道题，满足x+y+z=5。得分S=3x-y。要使S≥10，即3x-y≥10。当x=3时，y≤-1无解；x=4时，y≤-2无解；x=5时，y≤-3无解。但最多答5题，故x=5时，y=0，S=15。至少需要答对5道题。8.总情况4×3×2=24。第三次取到1的情况：前两次不能取1，有3×2=6种。概率6/24=1/4。9.从甲到乙有3种，从乙到丙有2种，从丙到丁有2种，且必须经过不同线路。分两种情况：①甲到乙走1条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共3×2=6种；②甲到乙走2条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共1×1=1种。总数6+1=7种。10.先排男生，有5!=120种。再排女生，有4!=24种。共有120×24=2880种。二、填空题1.1612.8013.17114.24015.7/3616.617.6018.1/419.520.2880解析：11.集合A×B表示A中元素为第一坐标，B中元素为第二坐标的有序对集合。共有4×4=16个元素。2.正方体3组对面同色，有C(5,3)=10种选法。每组对面有2种染色方式，共2×2×2=8种。总数10×8=80种。3.至少2名女生可分为三类：2女2男、3女1男、4女。分别计算：C(4,2)×C(6,2)+C(4,3)×C(6,1)+C(4,4)=90+80+1=171种。4.将甲乙视为一个整体，与其他4人共5个元素排列，有5!=120种。甲乙内部有2!=2种。总数120×2=240种。5.总情况C(10,3)×3!=720。其中偶数情况：个位为2、4、6、8，有4×C(8,2)=140种。概率140/720=7/36≈0.194。6.设四边形边长为a、b、c、d，满足a+b+c+d=6。枚举：6=1+1+1+3，5=1+1+2+2，4=1+1+3+1，4=1+2+2+1，3=1+2+3，3=2+2+2。共6种。7.先从5本书中选2本给甲，有C(5,2)=10种。剩余3本分给乙、丙，每人至少1本，有C(3,1)×C(2,1)=6种。总数10×6=60种。8.总情况4×3×2=24。第三次取到1的情况：前两次不能取1，有3×2=6种。概率6/24=1/4。9.从甲到乙有2种，从乙到丙有3种，从丙到丁有2种，且必须经过不同线路。分两种情况：①甲到乙走1条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共2×2=4种；②甲到乙走2条，乙到丙走另一条，丙到丁走另一条，共1×1=1种。总数4+1=5种。10.先排男生，有5!=120种。再排女生，有4!=24种。共有120×24=2880种。三、判断题1.×22.×23.√24.×25.√26.×27.√28.√29.×30.√解析：21.选出3名男生的概率为C(6,3)/C(10,3)=20/120=1/6。选出2名男生1名女生的概率为C(6,2)×C(4,1)/C(10,3)=60/120=1/2。概率不相等，错误。2.设四边形边长为a、b、c、d，满足a+b+c+d=6。枚举：6=1+1+1+3，5=1+1+2+2，4=1+1+3+1，4=1+2+2+1，3=1+2+3，3=2+2+2。共6种。参考答案：×。3.同简答题17，答案正确。4.同应用题9，答案错误。5.总情况3×2=6。满足第二次标号大于第一次的情况：取1后可取2，取2后可取3，共3种。概率3/6=1/2。参考答案：√。6.同应用题14，答案错误。7.同填空题5，答案正确。8.同填空题12，答案正确。9.同应用题9，答案错误。10.同填空题13，答案正确。四、简答题1.有序对集合为{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}。2.排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列成一列。例如，从A、B、C三个元素中取出2个元素排列，有AB、AC、BA、BC、CA、CB共6种。3.组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不管顺序组成一组。例如，从A、B、C三个元素中取出2个元素组合，有AB、AC、BC共3种。4.排列数P(n,m)=n×(n-1)×...×(n-m+1)，组合数C(n,m)=P(n,m)/m!=n×(n-1)×...×(n-m+1)/m!。即排列数等于组合数乘以取出的元素的全排列数。5.加法原理：如果完成一件事有k种不同的方法，每种方法都包含n1种情况，