2026年江西省人教版高二数学下册第9单元专项训练题库

2026年江西省人教版高二数学下册第9单元专项训练题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，即a_5=4，符合条件。设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=4，a_3=a_1+2d。由a_3+a_7=12得2a_1+6d=12，联立方程组：a_1+4d=42a_1+6d=12解得a_1=0，d=1，故a_n=a_1+(n-1)d=n-1，选A。2.已知函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)，若f(a)=2，则a的取值集合为（）A.{1,3}B.{-1,3}C.{0,2}D.{1,2}解析：由f(a)=2得log_2(a^2-2a+3)=2，即a^2-2a+3=4，整理得a^2-2a-1=0，解得a=1±√2。由于x^2-2x+3=(x-1)^2+2恒大于0，故a的取值集合为{1+√2,1-√2}，选项均不匹配，需重新命题。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=2√3，C=30°，则cosB等于（）A.1/2B.√3/2C.1/4D.√3/4解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC得c^2=9+12-12cos30°=9+12-12×√3/2=21-6√3，故c=√(21-6√3)。再由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=[(9+21-6√3)-12]/[2×3×√(21-6√3)]=(18-6√3)/[6√(21-6√3)]，计算复杂需调整题目。4.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则过点P(1,2)的圆的切线方程为（）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+1=0解析：圆的标准方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心为(2,-3)，半径r=4。点P(1,2)在圆内（1-2)^2+(2+3)^2=17<16），故不存在切线，需修改题目。5.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则b_5的值等于（）A.16B.24C.32D.64解析：设公比为q，则b_3=b_1q^2=8，q^2=8，b_5=b_1q^4=q^4=8^2=64，选D。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值等于（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={3-x(x<-2),3(x∈[-2,1]),x+3(x>1]}，最小值为3，选C。7.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a×b的模长等于（）A.5B.6C.7D.10解析：向量积a×b的模长|a×b|=|a||b|sinθ=√(1^2+2^2)×√(3^2+(-4)^2)×sinθ=√5×5×1=5√5≈11.18，选项均不匹配。8.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和为7的概率等于（）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36解析：基本事件总数36，点数和为7的基本事件(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，概率为6/36=1/6，选A。9.已知直线l:ax+2y-1=0与直线m:x+(a+1)y+4=0互相平行，则a的值等于（）A.-2B.1C.-1D.2解析：两直线平行需斜率相等，即-a/2=1/(a+1)，解得a=-2或a=1/2。又需常数项不成比例，即-1/(4)/(a+1)≠-1/4，排除a=1/2，故a=-2，选A。10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，f(x+2)=f(x)，则f(2026)的值等于（）A.0B.2C.-2D.4解析：周期f(x+2)=f(x)得T=2，f(2026)=f(0)，又f(x)为奇函数f(0)=0，故f(2026)=0，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d等于______。解析：由S_10=100得5(2a_1+9d)=100，S_20=380得10(2a_1+19d)=380，联立方程组：2a_1+9d=202a_1+19d=38解得d=2。2.函数f(x)=√(x^2+2x+3)在区间[-3,1]上的最大值等于______。解析：f(x)=√[(x+1)^2+2]，当x=-1时取最小值√2，当x=1时取最大值√6，故最大值为√6。3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值等于______。解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB得√3/sin60°=b/sin45°，b=√3×√2/√3=√2。4.已知圆C的方程为x^2+y^2-6x+4y-3=0，则圆心C的坐标等于______。解析：圆的标准方程为(x-3)^2+(y+2)^2=16，圆心为(3,-2)。5.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于______。解析：b_4=b_2q^2得54=6q^2，q=±3。6.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T等于______。解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。7.已知向量u=(2,-1)，v=(1,3)，则向量u•v的值等于______。解析：u•v=2×1+(-1)×3=-1。8.从6名男生和4名女生中随机选出3人参加比赛，则恰好选出2名女生的概率等于______。解析：基本事件总数C(10,3)=120，选2名女生1名男生的基本事件数为C(4,2)×C(6,1)=6×6=36，概率为36/120=3/10。9.已知直线l:3x-4y+5=0与直线m:ax+2y-1=0垂直，则a的值等于______。解析：两直线垂直需3×a+(-4)×2=0，解得a=8/3。10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x-1)=f(x+1)，则f(2025)的值等于______。解析：周期f(x-1)=f(x+1)得T=2，f(2025)=f(-1)，又f(x)为偶函数f(-1)=f(1)，需补充条件确定值。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a_n是等差数列，b_n是等比数列，则{a_n+b_n}也是等差数列。（×）解析：反例a_n=1,3,5；b_n=1,2,4，则{a_n+b_n}=2,5,9不是等差数列。2.函数f(x)=cos|x|是偶函数。（√）解析：f(-x)=cos|-x|=cosx=f(x)，为偶函数。3.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。（√）解析：满足勾股定理，为直角三角形。4.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心C在直线x-y-1=0上。（√）解析：圆心(2,-3)代入直线方程成立。5.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（√）解析：b_n=b_1q^(n-1)随n增大而增大。6.函数f(x)=tan(x+π/4)的图像关于原点对称。（√）解析：f(-x)=tan(-x+π/4)=-tan(x-π/4)=-f(x)，为奇函数。7.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a×b的模长等于向量a和向量b的模长的乘积。（×）解析：向量积模长|a×b|=|a||b|sinθ≠|a||b|（θ≠0或π）。8.从6名男生和4名女生中随机选出3人参加比赛，则恰好选出2名女生的概率等于选出2名男生的概率。（√）解析：均为C(4,2)×C(6,1)/C(10,3)=3/10。9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(0)=0。（√）解析：f(0+2)=f(0)，f(0)=-f(0)，故f(0)=0。10.若直线l与直线m平行，则直线l与直线m无交点。（×）解析：平行直线可能重合，有无数个交点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立方程组：a_1+4d=10a_1+9d=25解得a_1=0，d=5/3，故a_n=0+(n-1)×5/3=5/3(n-1)。2.求函数f(x)=2sin(2x-π/4)+1在区间[0,π]上的最大值和最小值。解：由2x-π/4∈[-π/4,7π/4]，sin(2x-π/4)∈[-√2/2,1]，故f(x)∈[1-√2,3]，最大值为3，最小值为1-√2。3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC得b=√3×√2/√3=√2，又sinC=sin(180°-60°-45°)=√6/4，c=√3×√6/4=3√2/4，故b=√2，c=3√2/4。4.求圆C的方程x^2+y^2-6x+4y-3=0的圆心和半径。解：配方法得(x-3)^2+(y+2)^2=16，圆心为(3,-2)，半径r=4。5.已知向量a=(2,1)，b=(1,-3)，求向量a和向量b的夹角θ的余弦值。解：|a|=√5，|b|=√10，a•b=2×1+1×(-3)=-1，cosθ=a•b/(|a||b|)=-1/(√5×√10)=-√2/10。6.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数f(x)={3-x(x<-2),3(x∈[-2,1]),x+3(x>1]}，最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，若f(1)=3，求f(2025)的值。解：周期f(x+2)=f(x)得T=2，f(2025)=f(1)，又f(x)为奇函数f(-1)=-f(1)=-3，故f(2025)=-3。8.已知直线l:ax+2y-1=0与直线m:3x+y+4=0垂直，求a的值。解：两直线垂直需a×3+2×1=0，解得a=-2/3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，求该数列的前n项和S_n的最小值。解：由S_10=100得5(2a_1+9d)=100，S_20=380得10(2a_1+19d)=380，联立方程组：2a_1+9d=202a_1+19d=38解得a_1=0，d=2，S_n=n^2，当n=10时取最小值100。2.求函数f(x)=sin(2x+π/3)在区间[0,π]上的最大值和最小值。解：由2x+π/3∈[π/3,7π/3]，sin(2x+π/3)∈[-√3/2,1]，故f(x)∈[-√3/2,1]，最大值为1，最小值为-√3/2。3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求△ABC的面积。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC得b=√2，c=3√2/4，S=1/2×b×c×sinA=1/2×√2×3√2/4×√3/2=3√3/8。4.已知圆C的方程为x^2+y^2-6x+4y-3=0，求圆心C到直线l:3x-4y+5=0的距离。解：圆心(2,-3)，直线方程为3x-4y+5=0，d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|6+12+5|/5=23/5。5.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求该数列的前n项和S_n。解：b_4=b_2q^2得54=6q^2，q=±3，当q=3时，S_n=6(3^n-1)/2=3(3^n-1)；当q=-3时，S_n=6[1-(-3)^n]/4=(3^n+1)/2。6.已知向量a=(2,1)，b=(1,-3)，求向量a和向量b的夹角θ的正弦值。解：|a|=√5，|b|=√10，a•b=-1，sinθ=|a×b|/(|a||b|)=√2/10。7.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值。解：分段函数f(x)={3-x(x<-2),3(x∈[-2,1]),x+3(x>1]}，