《寻找密铺图形》教案（2课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学五年级上册

《寻找密铺图形》教案（2课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学五年级上册一、学情分析五年级学生已经掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正五边形、正六边形等平面图形的基本特征，能够计算多边形内角和，具备一定动手操作、小组合作探究的能力。学生在生活中见过地砖、墙面、拼图等密铺现象，有直观感知，但不清楚“密铺”的数学定义，不理解图形能够密铺的本质原因，容易将“无缝拼接”和“无重叠”两个条件割裂看待，也很难自主关联图形内角和与密铺之间的内在联系。同时，学生对不规则图形能否密铺缺乏猜想与验证意识，探究规律、归纳总结的数学推理能力仍需要在实践活动中进一步发展。二、教材分析《寻找密铺图形》是北师大版2026秋新教材五年级上册综合实践《小小设计师》中的核心课时内容，属于图形与几何领域综合实践课。教材以生活中的密铺实景图导入，从直观感知密铺现象入手，安排猜想、动手拼摆、数据记录、规律归纳等探究活动，先研究常见正多边形的密铺情况，再拓展到普通多边形，引导学生发现密铺的核心数学原理：拼接点处几个内角的和等于360°。教材不再直接灌输结论，而是突出“做中学”，依托拼摆实验积累直观经验，逐步抽象出数学规律，为后续学生自主开展“小小设计师”图案创作积累基础，承载发展空间观念、推理意识等核心素养的育人功能，衔接小学阶段平面图形认知与几何规律探究的学习主线。三、核心素养教学目标（依据2022版义务教育数学课程标准）空间观念：通过观察、拼摆各类平面图形，理解密铺的含义，能区分可以密铺和不能密铺的图形，感知图形拼接的空间特点，建立密铺的直观表象。推理意识：经历猜想、操作、记录、对比、归纳的探究过程，自主发现正多边形能够密铺的本质——拼接点内角之和为360°，能运用规律判断简单图形能否密铺。几何直观：借助拼摆实物、记录表格、内角计算等方式，把密铺的直观现象转化为数学数据，用可视化方式理解几何规律。应用意识：能联系生活识别密铺实例，感受密铺在建筑、装饰中的应用价值，愿意运用密铺知识参与后续小小设计师图案创作活动。四、教学重难点教学重点：认识密铺的含义；通过动手拼摆，知道哪些常见平面图形可以密铺。教学难点：理解密铺的本质原因——拼接点处所有内角之和等于360°，能运用该原理判断图形是否能够密铺。五、教学过程第1课时认识密铺，探究常见平面图形的密铺现象情境导入，初识密铺（依托教材实景图内容）师：同学们，请大家翻开教材《寻找密铺图形》，看一看教材上出示的几幅图片：小区地面地砖、浴室墙面瓷砖、广场石材地面、蜂巢结构图。仔细观察这些画面，想一想这些图形在拼接的时候有什么共同特点？大家可以同桌之间互相说一说。

预设学生回答：图形紧紧挨在一起；图形之间没有空隙；图形没有互相叠在一起。

师：大家观察得很仔细！像教材图片里这样，用一种或几种平面图形，既没有空隙，又不重叠地铺满一个平面，这种现象在数学上就叫做密铺，也叫平面镶嵌。今天我们综合实践的任务就是——寻找密铺图形。

师：老师这里有两个反例，请大家对照教材文字里密铺的两个关键条件判断：第一种拼法，图形之间留有缝隙，是不是密铺？第二种拼法，图形互相重叠了，是不是密铺？

预设学生齐答：都不是密铺。

师：很好，我们把密铺的两个核心条件记下来：①无空隙②不重叠（板书）。只有同时满足这两点，才属于密铺。

设计意图：直接依托教材配图与文字定义，从生活实例抽象数学概念，建立密铺的基础认知，明确判断密铺的两个直观标准，为本节课后续拼摆探究划定判断依据。大胆猜想，梳理探究图形清单（依托教材探究任务）师：教材接下来提出了一个探究问题：我们学过的平面图形里，哪些图形可以单独密铺？请大家先大胆猜一猜。老师把大家熟悉的图形整理出来：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形、正五边形、正六边形。请大家先独立猜想，把自己认为能密铺的图形先标记出来。学生独立猜想后，组织学生口头汇报猜想结果，教师同步在黑板表格中记录猜想情况。图形猜想能不能单独密铺实际拼摆结果正方形长方形平行四边形三角形梯形正五边形正六边形师：大家的猜想各不相同，猜想只是我们的想法，数学结论需要动手验证。教材给我们准备的探究方式就是拼摆验证。接下来我们以4人为一个小组，拿出学具袋里对应的图形纸片，按照要求开展拼摆实验。

师明确小组任务：依次选用每一种图形，尝试平铺，看一看能不能做到无空隙、不重叠铺满平面，把真实拼摆结果填写到刚才的表格中。拼摆的时候重点观察：图形拼接交汇的那个点（我们叫做拼接点）是什么样子。

设计意图：遵循教材“先猜想再验证”的探究逻辑，用表格结构化记录探究信息，明确小组探究任务，培养学生严谨的实证意识。小组动手拼摆，交流初步实验结果学生分组动手拼摆各类图形，教师巡视各组，指导学生规范拼摆，提醒学生重点关注拼接处是否出现空隙或者重叠，及时记录结果。

小组完成拼摆后，组织全班汇报实验成果。

组1汇报：我们组拼了正方形，正方形可以密铺，拼在一起的时候，几个正方形的角凑在一点，严丝合缝，没有空隙，也没有重叠。长方形和正方形情况差不多，也可以密铺。

组2汇报：平行四边形也可以密铺，把平行四边形依次拼接，能够铺满平面。

组3汇报：任意三角形我们尝试拼摆，两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形，所以三角形也能够密铺；梯形同理，两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形，梯形也可以密铺。

组4汇报：正五边形拼的时候，拼到拼接点的位置，会出现缝隙，没办法做到无空隙，所以正五边形不能单独密铺。

组5汇报：正六边形可以密铺，蜂巢就是正六边形密铺，拼起来刚好严丝合缝。

师结合各组汇报，完善黑板表格，整理结论：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正六边形可以单独密铺；正五边形不能单独密铺。

师追问：为什么有的图形可以密铺，正五边形却不行呢？仅仅靠拼摆只能知道结果，我们要继续深挖背后的数学道理，这个问题我们留到下一节课重点研究。

设计意图：依托教材核心探究活动，通过实操获得直观事实，区分可密铺与不可密铺的基础图形，同时制造认知冲突，自然衔接第2课时对密铺本质原理的探究。第1课时课堂小结师：这一节课我们认识了密铺，知道密铺需要同时满足无空隙、不重叠两个条件；通过小组拼摆实验，验证了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正六边形能够单独密铺，正五边形不能单独密铺。下节课我们就一起探究，决定图形能否密铺背后隐藏的数学规律。第2课时探究密铺的本质规律，拓展图形密铺认知复习回顾，引出核心问题（衔接教材探究深入板块）师：上课，上一节课我们认识了密铺，还通过拼摆实验找到了能够单独密铺的图形，谁来回顾一下，什么是密铺？哪些图形可以单独密铺？

预设学生回答：密铺就是图形无空隙、不重叠铺满平面；长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正六边形可以单独密铺，正五边形不行。

师：大家记得很清楚。教材在实验之后提出了更深的思考问题：同样是正多边形，正四边形、正六边形能密铺，正五边形却不能，这里的秘密藏在图形的内角里。我们先回忆旧知识：多边形内角怎么计算？正多边形每个内角度数怎么求？

师生共同回顾：多边形内角和公式=（边数-2）×180°；正多边形每个内角度数=内角和÷边数。

师板书计算公式，接下来我们一起计算本节课研究的几种正多边形单个内角的度数，填写教材配套的数据记录表。

设计意图：复习旧知，从直观拼摆过渡到定量计算，落实教材由现象到本质的探究主线，搭建内角和与密铺规律之间的认知桥梁。计算内角，探究拼接点的数字规律师：我们先来依次计算正四边形（正方形）、正五边形、正六边形每个内角的度数，请大家跟着老师一起计算。

师提问1：正方形是正四边形，内角和是多少？每个内角多少度？

生：（4-2）×180°=360°，360÷4=90°，正方形每个内角90°。

师：如果在拼接点处用正方形密铺，几个90°可以凑成一圈？一圈是多少度？

生：一圈是360°，4个90°相加等于360°。

师板书：4×90°=360°。也就是说，在拼接点位置，4个正方形的内角刚好拼成一周，没有多余，也没有缺口，所以正方形可以密铺。

师提问2：我们再算正五边形，正五边形内角和、单个内角度数是多少？

生计算汇报：（5-2）×180°=540°，540÷5=108°，每个内角108°。

师：我们试着看一看，几个108°能刚好凑成360°？大家口算试一试。

生：3个108°=324°，不够360°，有空隙；4个108°=432°，超过360°，会重叠。

师总结：所以不管用几个正五边形的内角凑在同一个拼接点，都不能正好等于360°，这就是上节课我们拼正五边形会出现缝隙的根本原因。

师提问3：正六边形每个内角是多少度？拼接点需要几个？

生计算汇报：（6-2）×180°=720°，720÷6=120°；3×120°=360°。3个正六边形内角刚好凑成360°，所以正六边形可以密铺。

师：同学们，现在大家能不能试着总结，单一正多边形能够密铺的核心条件是什么？同桌互相交流。

学生交流后集体归纳，教师提炼板书：当围绕拼接点的几个内角加起来正好等于360°时，这种图形就可以单独密铺。

师继续拓展验证普通多边形，以三角形为例：任意三角形内角和是180°，6个相同三角形的内角汇聚在拼接点，6×60°（通用理解：拼接点汇聚6个角，总和360°），总和刚好360°，所以三角形可以密铺；梯形、平行四边形同理，相同图形内角在拼接点可以凑出360°，因此能够密铺。

设计意图：紧扣教材核心规律探究内容，通过计算、验证、归纳，把直观拼摆现象上升为数学原理，突破本节课难点，发展学生的推理意识与几何直观。运用规律，判断图形能否密铺（教材巩固思考内容）师：我们已经找到了密铺的核心规律，现在我们用这个规律来做教材上的思考习题，判断下面的图形能不能单独密铺，并说出理由。

出示习题1：正八边形，每个内角135°，能不能单独密铺？

学生独立思考后作答：2个135°=270°，3个135°=405°，无法凑出360°，正八边形不能单独密铺。

师：判断准确，依据就是拼接点内角和是否等于360°。

出示习题2：普通的四边形（非特殊）能不能单独密铺？

师引导思考：任意四边形内角和是360°，4个不同的内角汇聚到拼接点，刚好相加等于360°，所以任意四边形都可以单独密铺。

师补充教材拓展内容：我们前面研究的都是同一种图形单独密铺，教材还提到还有组合密铺，也就是两种及以上不同图形搭配在一起密铺，比如正八边形和正方形搭配，拼接点135°+135°+90°=360°，可以实现密铺。我们本节课重点掌握单一图形密铺规律，组合密铺的内容可以在后面《小小设计师》图案创作中尝试运用。

师组织学生小组互相出题，利用内角和规律自主判断图形密铺可能性，互相说理。

设计意图：依托教材配套思考练习，即时内化密铺核心规律，学会用数学原理说理，从“记住结果”转向“理解原理、自主判断”。辨析易混问题，完善认知师：这里有一个容易混淆的问题，请大家结合今天学到的知识辨析：只要图形形状一样，就一定可以密铺吗？

预设学生辨析回答：不对，比如形状相同的正五边形，形状统一，但是内角凑不成360°，不能密铺，能不能密铺关键看拼接点内角和能不能等于360°，不是看图形是否相同。

师：说得非常到位。图形相同只是我们实验里的条件，密铺的本质判定标准永远是拼接点内角之和等于360°。

师再引导学生联系教材开头的生活实例，说一说家里、街